1、1,第三章 扭轉(zhuǎn),2,31 工程實(shí)際中的扭轉(zhuǎn)概述,3,軸：工程中以扭轉(zhuǎn)為主要變形的構(gòu)件。如：機(jī)器中的傳動(dòng)軸、石油鉆機(jī)中的鉆桿等。,扭轉(zhuǎn)：外力的合力為一力偶，且力偶的作用面與直桿的軸線 垂直，桿發(fā)生的變形為扭轉(zhuǎn)變形。,扭轉(zhuǎn)角（）：任意兩截面繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)而發(fā)生的角位移,4,工 程 實(shí) 例,5,32 扭矩時(shí)的內(nèi)力,6,一、傳動(dòng)軸的外力偶矩 已知某傳動(dòng)軸的傳遞功率為(kW），轉(zhuǎn)速為（rpm), 求該軸上作用的外力偶矩M。作用在軸上的外力偶矩M在每秒鐘內(nèi)完成的功應(yīng)等于給軸輸入的功：,7,3 扭矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定： “T”的轉(zhuǎn)向與截面外法線方向滿足右手螺旋規(guī)則為正，反之為負(fù)。,二、扭矩及扭矩圖 1 扭矩：構(gòu)件受

2、扭時(shí)，橫截面上的內(nèi)力偶矩，記作“T”。 2 截面法求扭矩,8,4 扭矩圖：表示各橫截面上扭矩沿桿件軸線變化的圖線。,目 的,x,T,9,例1已知：一傳動(dòng)軸， n =300r/min，主動(dòng)輪輸入 P1=500kW，從動(dòng)輪輸出 P2=P3=150kW，P4=200kW，試?yán)L制扭矩圖。,10,解：計(jì)算外力偶矩,11,求扭矩（扭矩按正方向設(shè)）,12,繪制扭矩圖,BC段為危險(xiǎn)截面。,x,T (kN.m),4.78,9.56,6.37,13,33 薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn),14,一、實(shí)驗(yàn)：,加載前：,繪縱向線，圓周線。 施加一對(duì)外力偶 M。,15,施加一對(duì)外力偶 M后：,圓周線不變； 縱向線變成斜直線。 （小變形）

3、,3.結(jié)論：圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改 變，只是繞軸線作了相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。 各縱向線均傾斜了同一微小角度 。 所有矩形網(wǎng)格均歪斜成同樣大小的平行四邊形。,16,無(wú)正應(yīng)力 橫截面上各點(diǎn)處，只產(chǎn)生垂直于半徑的均勻分布的切應(yīng)力 ，沿周向大小不變，方向與該截面的扭矩方向一致。, 與 的關(guān)系：,微小矩形單元體如圖所示：,17,二、薄壁圓筒切應(yīng)力 大?。?A0：平均半徑所作圓的面積。,18,三、切應(yīng)力互等定理：,上式稱為切應(yīng)力互等定理。 該定理表明：在相互垂直的兩個(gè)平面上，切應(yīng)力必然成對(duì)出現(xiàn)，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平面的交線，其方向則共同指向或共同背離該交線。,19,四、剪切胡克定律：,單元

4、體的四個(gè)側(cè)面上只有切應(yīng)力而無(wú)正應(yīng)力作用，這種情況稱為純剪切。,20,T=M,剪切胡克定律：當(dāng)切應(yīng)力不超過(guò)材料的剪切比例極限時(shí)（ p)，切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比。,21,式中：G是材料的一個(gè)彈性常數(shù)，稱為剪切彈性模量，因 無(wú)量綱，故G的量綱與 相同，不同材料的G值可通過(guò)實(shí)驗(yàn)確定，鋼材的G值約為80GPa。,剪切彈性模量、彈性模量和泊松比是表明材料彈性性質(zhì)的三個(gè)常數(shù)。對(duì)各向同性材料，這三個(gè)彈性常數(shù)之間存在下列關(guān)系：,可見，在三個(gè)彈性常數(shù)中，只要知道任意兩個(gè)，第三個(gè)量就可以推算出來(lái)。,（剪切胡克定律）,22,34 圓軸在扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力 強(qiáng)度條件,23,等直圓軸橫截面應(yīng)力,變形幾何關(guān)系 物理關(guān)系 靜力關(guān)系,

5、1. 橫截面變形后仍為平面； 2. 軸向無(wú)伸縮； 3. 縱向線變形后仍為平行。,一、等直圓軸扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)觀察：,24,二、等直圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力：,1. 變形幾何關(guān)系：,距圓心為 任一點(diǎn)處的切應(yīng)變與該點(diǎn)到圓心的距離成正比。, 扭轉(zhuǎn)角 沿軸線的變化率。,25,T,2. 物理關(guān)系：,胡克定律： 代入上式得：,26,靜力學(xué)關(guān)系：,令,代入物理關(guān)系式 得：,稱為橫截面對(duì)形心的極慣性矩。,橫截面上距圓心為處任一點(diǎn)剪應(yīng)力計(jì)算公式。,27,4. 公式討論： 僅適用于各向同性、線彈性材料，在小變形時(shí)的等截面 圓軸。, 式中：T橫截面上的扭矩，由截面法通過(guò)外力偶矩求得。 該點(diǎn)到圓心的距離。 Ip極慣性矩，純幾

6、何量，無(wú)物理意義。,28,單位：長(zhǎng)度4, 盡管由等直實(shí)心圓軸推出，但同樣適用于等直空心圓軸，也近似適用于截面沿軸線變化緩慢的小錐度圓軸。,D,d,O,29,O,d,30, 應(yīng)力分布,T,t,max,t,max,t,max,T,（實(shí)心圓截面）,（空心圓截面）,工程上采用空心截面構(gòu)件：提高強(qiáng)度，節(jié)約材料，重量輕， 結(jié)構(gòu)輕便，應(yīng)用廣泛。,31, 確定最大剪應(yīng)力：,Wt 抗扭截面系數(shù)（抗扭截面模量），幾何量，單位：長(zhǎng)度3。,32,三、圓軸扭轉(zhuǎn)破壞現(xiàn)象,低碳鋼試件： 沿橫截面斷開。,鑄鐵試件： 沿與軸線約成45的螺旋面斷開。,33,四、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算,強(qiáng)度條件：,對(duì)于等截面圓軸： 對(duì)變截面圓軸:,

7、 稱為許用切應(yīng)力。,強(qiáng)度計(jì)算三方面：, 校核強(qiáng)度：, 設(shè)計(jì)截面尺寸：, 計(jì)算許可載荷：,34,例1 功率為150kW，轉(zhuǎn)速為924r/min的電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子軸如圖， 許用切應(yīng)力 =30M Pa, 試校核其強(qiáng)度。,35,解：計(jì)算扭矩,計(jì)算并校核切應(yīng)力強(qiáng)度,此軸滿足強(qiáng)度要求。,36,35 等直圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形 剛度條件,37,一、扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形,知：長(zhǎng)為 l一段桿兩截面間相對(duì)扭轉(zhuǎn)角 為,38,二、單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn) 角：,或,三、剛度條件,或,GIp反映了桿件抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力，稱為桿件的抗扭剛度。, 稱為許用單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角。,39,剛度計(jì)算的三方面：, 校核剛度：, 設(shè)計(jì)截面尺寸：, 計(jì)算許可載荷：,40,

8、例2 某傳動(dòng)軸設(shè)計(jì)要求轉(zhuǎn)速n = 500 r / min，輸入功率P1 = 368 kW， 輸出功率分別 P2 = 148kW及 P3 = 220kW，已知：G=80GPa ， =70M Pa， =1/m ，試確定： AB 段直徑 d1和 BC 段直徑 d2 ？ 若全軸選同一直徑，應(yīng)為多少？ 主動(dòng)輪與從動(dòng)輪如何安排合理？,41,解：扭矩如圖,T,x,7.03,4.2,(kN.m),(),(),42,AB段:,BC段:,由強(qiáng)度條件得：,43,綜上：,全軸選同一直徑時(shí),BC段:,AB段:,由剛度條件得：,44, 軸上的絕對(duì)值最大的扭矩越小越合理，所以，1輪和2輪應(yīng) 該換位。換位后,軸的扭矩如圖所示,此時(shí),軸的最大直徑才 為 75mm。,T,x,4.2,(kNm),2.8,(),(),45,例3長(zhǎng)為 L=2m 的空心圓軸受均布力偶 m=20N.m/m 的作用，如圖，若軸的內(nèi)外徑之比為 =0.8 ，G=80GPa ，許用切應(yīng)力 =30MPa，試設(shè)計(jì)軸的外