1、1,有限元程序設計,谷 音 福州大學土木工程學院 2012,梁單元，靜力問題,2,1. 介紹.,框架結構，例如桁架、橋梁,受彎構件 flexural elements 梁,軸力構件 axial elements 桿,平面梁單元 plane beam element,3,2. 經(jīng)典梁單元 (Bernoulli-Euler) Beam,平面梁假設 Plane-beam-assumption,中面法線在變形后仍保持和中面垂直的直法線假設,小變形理論,One-variable beam theory,幾何關系,物理關系（應力應變關系）,梁在純彎曲時的平面假設： 梁的各個橫截面在變形后仍保持為平 面，并

2、仍垂直于變形后的軸線，只是橫截 面繞某一軸旋轉了一個角度。,4,平衡方程,邊界條件,or,or,where,k 曲率,M, Q 彎矩，剪力,I 慣性矩,5,最小勢能原理,典型 C 1 連續(xù)問題,通常梁分析中常用2節(jié)點Hermite單元,6,其中,引入變形到最小 P , 得到,7,Pj 集中荷載;,Mj 彎矩力偶。,e.g. 對于均勻分布荷載,8,3. 鐵木辛柯梁理論,對剪切變形的影響,3.1 理論,只考慮剪切變形,變形后軸線切向與變形前軸線之間的轉角 ( x).,9,其中 (x) 為只考慮梁彎曲理論中的線性單元轉角.,假設 : 截面上均勻分布剪應變,彎曲產生的位移：,( x) 相應給出沿著中線

3、剪切角 xz,10,內部力,其中假設,11,實際上xz采用以下形式：,其中變量與z相關。,為了確定截面的不均勻剪應力分布，引入因素k修正剪應力：,12,其中k為與截面及泊松比相關的函數(shù),可從彈性理論推導得到,假設變形場的整體勢能為：,13,14,鐵木辛柯梁單元采用兩個獨立變量,3.2 離散公式,撓度 w,截面曲率，不考慮剪切,每個單元的節(jié)點數(shù)量,Lagrange插值函數(shù),15,16,17,撓度與轉動采用了同階的插值表示式。 dw/dx 與不同階，因此，泛函中的第二項中的dw/dx-的積分，對于柔性梁（l/n 趨于無窮大時）會被嚴重放大。 除非是常數(shù)（沒有彎曲變形），否則， dw/dx-不會為零

4、。這種現(xiàn)象稱為剪切閉鎖。 shear-locking,18,幾種方法避免產生剪切閉鎖,減縮積分 數(shù)值積分采用比精確積分要求少的積分點數(shù) 假設剪切應變 替代插值函數(shù),舉例說明,這種高斯積分階數(shù)低于被積函數(shù)所有項次精確積分所需要階數(shù)的積分方案稱之為減縮積分。實際計算表明：采用縮減積分往往可以取得較完全積分更好的精度。這是由于： 精確積分常常是由插值函數(shù)中非完全項的最高方次要求，而決定有限元精度的是完全多項式的方次。這些非完全的最高方次項往往不能提高精度，反而可能帶來不好的影響。取較低階的高斯積分，使積分精度正好保證完全多項式方次的要求，而不包括更高次的非完全多項式的要求，其實質是相當用一種新的插值

5、函數(shù)替代原來的插值函數(shù)，從而一定情況下改善了單元的精度。,19,基于最小位能原來基礎上建立的位移有限元，其解答具有下限性質。即有限元的計算模型具有較實際結構偏大的整體剛度。選取縮減積分方案將使有限元計算模型的剛度有所降低，因此可能有助于提高計算精度。 另外，這種縮減積分方案對于泛函中包含罰函數(shù)的情況也常常是必須的，用以保證和罰函數(shù)相應的矩陣的奇異性（見相應教程），否則將可能導致完全歪曲了的結果。,20,21,22,Timoshenko 梁 （采用精確積分）,23,采用縮減積分,24,25,結構離散,取桿件與桿件交點、集中力作用點、桿件與支承的交點為節(jié)點。相鄰兩節(jié)點間的桿件段是單元。節(jié)點編號時力

6、求單元兩端點號差最小。,26,坐標系,有限元中的坐標系有整體坐標系和局部坐標系。對于一個結構，整體坐標系一般只有一個；而局部坐標系有很多個，一個單元就有一個局部坐標。并且局部坐標系每一個單元的規(guī)定都是相同的，這樣，同類型單元剛度矩陣相同。,27,桿系結構單元主要有鉸接桿單元和梁單元兩種類型。它們都只有2個節(jié)點i、j。,約定：單元坐標系的原點置于節(jié)點i；節(jié)點i到j的桿軸（形心軸）方向為單元坐標系中x軸的正向。 y軸、z軸都與x軸垂直，并符合右手螺旋法則。 對于梁單元， y軸和z軸分別為橫截面上的兩個慣性主軸。,28,平面桁架桿單元（2D LINK1） 空間桿單元（3D LINK8） 平面剛架，B

7、EAM3 空間梁單元(BEAM4),29,2-D Elastic Beam,three degrees of freedom at each node,Ansys,30,BEAM3 is a uniaxial element with tension, compression, and bending capabilities,BEAM23 2-D Plastic Beam,a uniaxial element with tension-compression and bending capabilities,This element allows a different unsymmetri

8、cal geometry at each end and permits the end nodes to be offset from the centroidal axis of the beam,BEAM54 2-D Elastic Tapered Unsymmetric Beam,31,32,3-D Elastic Beam,BEAM4 is a uniaxial element with tension, compression, torsion, and bending capabilities.,six degrees of freedom at each node,BEAM24

9、 3-D Thin-walled Beam,The element has plastic, creep, and swelling capabilities in the axial direction as well as a user-defined cross-section.,This element allows a different unsymmetrical geometry at each end and permits the end nodes to be offset from the centroidal axis of the beam,BEAM44 3-D El

10、astic Tapered Unsymmetric Beam,33,34,35,BEAM188 3-D Linear Finite Strain Beam,BEAM188 is suitable for analyzing slender to moderately stubby/thick beam structures. This element is based on Timoshenko beam theory. Shear deformation effects are included.,This element is well-suited for linear, large r

11、otation, and/or large strain nonlinear applications.,36,37,BEAM189 3-D Quadratic Finite Strain Beam,BEAM189 is a quadratic (3-node) beam element in 3-D.,For a description of the low-order beam, see BEAM188.,38,39,有限元程序設計方法簡介,程序基本框圖 1、輸入基本數(shù)據(jù)（結構描述）： （1）控制數(shù)據(jù)：如結點總數(shù)、單元總數(shù)、約束條件總數(shù)等； （2）結點數(shù)據(jù)：如結點編號、結點坐標、約束條件等

12、； （3）單元數(shù)據(jù)：如單元編號、單元結點序號、單元的材料特性、幾何特性等； （4）載荷數(shù)據(jù)：包括集中載荷、分布載荷等。,40,2、單元分析,（1）各單元的bi,ci(i,j,m) ， 面積A； （2）應變矩陣B，應力矩陣S； （3）單元剛度矩陣k； （4）單元等價載荷列向量F。,3、系統(tǒng)分析 （1）整體剛度矩陣K的組裝； （2）整體載荷列陣P的形成；,K的存儲；約束引入；求解,41,總剛存貯,全矩陣存貯法：不利于節(jié)省計算機的存貯空間，很少采用。Ki,j 對稱三角存貯法：存貯上三角或下三角元素。 半帶寬存貯法 ：存貯上三角形（或下三角形）半帶寬以內的元素 。 一維壓縮存貯法 ：半帶寬存貯中仍包含

13、了許多零元素。存貯每一行的第一個非零元素到主對角線元素。,42,等帶寬形式,方陣形式,（1）半帶寬存貯法,43,方陣存貯和半帶寬存貯地址關系,半帶寬計算：設結構單元網(wǎng)格中相鄰結點編號的最大差值是d，則最大半帶寬為UBW：,結點編號：欲使最大半帶寬UBW最小，必須注意結點編號方法，使直接聯(lián)系的相鄰節(jié)點的最大點號差最小。,44,舉例,B = 2(4-1+1) = 8,B = 2(6-1+1) = 12,Advantages of 2D Storage 1)Space-saving; 2)Easy to be computerized Disadvantages of 2D Storage Enor

14、mous storage is required when local bandwidth is large.,45,例：計算下圖半帶寬。,結點數(shù)N=91，總剛K中的元素總數(shù)為： 82（912）（91 2 ）=33124 最大半帶寬UBW=(7+1) 2=16，半帶寬存儲矩陣元素總數(shù)為182 16=2912，約方陣元素的8.8%。,46,（2） 變帶寬存貯（一維壓縮存貯）,等帶寬存貯雖然已經(jīng)節(jié)省了不少內存，但認真研究半帶寬內的元素，還有相當數(shù)量的零元素。在平衡方程求解過程中，有些零元素只增加運算工作量而對計算結果不產生影響。如果這些零元素不存、不算，更能節(jié)省內存和運算時間，采用變帶寬存貯可以實

15、現(xiàn)（也稱一維數(shù)組存貯） 。變帶寬存貯編程技巧要求較高，程序較長。,47,對 稱,方陣形式的剛度矩陣K,頂線以上零元素無須存貯，僅頂線以下元素。,48,一維數(shù)組A存貯剛度矩陣K,49,變帶寬存貯：按列存貯方式。從左到右，逐列存放；對每一列，先存主對角線元素，然后由下而上順序存放，直到頂線下第一個元素為止。為避免混淆，我們把存貯K的一維數(shù)組稱為A。 實現(xiàn)變帶寬存貯的關鍵問題是：總剛中元素Kij在一維數(shù)組A中的地址是什么？為此，需要知道主元Kii在A中的位置和相應列高hi。 主元位置：采用一個一維數(shù)組MAXA存主元在A中位置。 MAXA =1,2,4,6,10,12,16,18，22。,列高hj：第

16、j行的左帶寬。,50,從第j列的主對角線元素起到該列上方第一個非零元素為止，所含元素的個數(shù)稱為第j列的列高，記為hj ；如果把第j列上方第1個非零元素的行號記為mj，則第j列的列高為 hj = j - mj + 1 其實，hj就是第j行的左帶寬，因而必有 UBW= max(hj) j=1,2, ,N,利用節(jié)點位移信息數(shù)組ID （去約束后節(jié)點位移自由度編碼），可容易地確定剛度矩陣K任何一列的列高。,51,例：求圖示框架結構h7=?。 利用ID數(shù)組得各單元的連接數(shù)組LM（假定小號為i）,（1）ID數(shù)組 節(jié)點號：1 2 3 4,按列，遇1變0，遇0加1。,52,連接數(shù)組： 1號單元： LM=0, 0

17、, 1, 0, 0, 2 2號單元： LM=0, 0, 2, 3, 4, 5 3號單元： LM=3, 4, 5, 6, 7, 8 4單元： LM=0, 0, 1, 6, 7, 8,1 2 3 4,53,a) 如果 ID（i, j ) = 0 則表明j號節(jié)點第i個自由度受有約束。,b) 如果 ID( i, j ) 0 則j號節(jié)點第i個自由度不受約束。并且， j號節(jié)點第i個位移分量在非約束節(jié)點位移列向量 f中的序號就是: ID( i, j ),54,主元在一維數(shù)組A中的地址,數(shù)組MAXA的長度是K的行或列數(shù)加1（N+1）。 K的任何一個主對角元在一維數(shù)組A中的地址：第j列主對角線元素Kjj在一維數(shù)組A中的地址等于前(j-1)列的列高之和加1，即,確定第j列列高的辦法是：從1號單元起，對所有單元逐個進行檢查。其中，與7號位移分量同在一個連接數(shù)組中的最小非零號碼就是m7。顯然有 m7 = 1 第7列的列高為：h7 = j - mj + 1 =7 1 + 1 = 7,55,MAXA(j) = h1 + hj-2 - hj-1 + 1 =（h1 + hj-2 + 1）+ hj-1 = MAXA（j - 1）