1、第三章 動量與角動量,3.1 沖量與動量定理,3.2動量守恒定律,3.3火箭飛行原理（自學(xué)）,3.4質(zhì)心,3.5 質(zhì)心運動定理,3.6 質(zhì)點的角動量和角動量定理,3.7 質(zhì)點系的角動量定理,3.1 沖量與動量定理,1、動量和沖量,動量：,沖量：,單位: 牛頓秒或Ns,動量定理的微分形式,動量定理的積分形式,注意：沖量是過程量，動量是狀態(tài)量！,2、動量定理,動量定理的分量式：,質(zhì)點動量定理的物理意義：在給定時間間隔內(nèi)，外力作用在質(zhì)點上的沖量等于質(zhì)點在此時間間隔內(nèi)的動量增量。,說明： 合外力的沖量方向和質(zhì)點的動量增量的方向 一致，但不一定和質(zhì)點的初動量和末動量的方向相同。,力的時間積累效應(yīng)取決于力

2、的大小和作用時間，是二者共同作用的結(jié)果。所以說很大的力在短時間內(nèi)和很小的力在較長的時間內(nèi)都可以產(chǎn)生較為可觀的動量變化效果。,沖力對碰撞時間的平均。,3、平均沖力,沖力的特點：作用時間極短，而力的大小變化極大，所以一般使用平均沖力概念，其定義如下：,動量定理結(jié)果,例1：一撐桿跳運動員質(zhì)量為60kg，從2.0m高度下落，到達(dá)地面后靜止，若與地面接觸時間僅0.01s，則地面對他的平均沖力為多少？若與地面接觸時間為1s，則地面對他的平均沖力變?yōu)槎嗌伲?解：撐桿跳運動員籃球到達(dá)地面的速率：,（m/s）,588N,378N,6,解:,直接用矢量公式求解。,例1一個質(zhì)量m=140g的壘球以 的速率沿水平方向

3、飛向擊球手，被擊后它以相同速率沿 的仰角飛出。求棒對壘球的平均打擊力。設(shè)棒和球的接觸時間為 t =1.2 ms。,7,3.2 動量守恒定律,一、質(zhì)點系的動量定理 由相互作用的若干個質(zhì)點組成的系統(tǒng)稱為質(zhì)點系（組）。,系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點間的相互作用力稱為內(nèi)力，總是成對出現(xiàn)。,系統(tǒng)外物體對系統(tǒng)內(nèi)任意質(zhì)點作用力稱為外力。,對每個質(zhì)點應(yīng)用牛頓運動定律：,對所有質(zhì)點（N個）求和,其中：,質(zhì)點系的動量定理,系統(tǒng)所受合外力的沖量等于系統(tǒng)總動量的增量。,是系統(tǒng)所受合外力,系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)點所受內(nèi)力之矢量和,系統(tǒng)在某一時刻的總動量,說明內(nèi)力對系統(tǒng)總動量無貢獻(xiàn)！,二、動量守恒定律,動量守恒定律,分量式：,質(zhì)點系所受合外力為零（

4、）時，這一質(zhì)點系的總動量不隨時間改變。,2. 外力與內(nèi)力相比小很多時，動量也守恒；,1.合外力沿某一方向為零，則該方向總動量守恒；,3.動量守恒定律只適用于慣性系；,4.動量守恒定律是比牛頓定律更普遍的最基本的定律。,炸裂時爆炸力是物體內(nèi)力，它遠(yuǎn)大于重力，故在爆炸前后，可認(rèn)為動量守恒。,例:一個靜止物體炸成三塊，其中兩塊質(zhì)量相等，且以相同速度30m/s沿相互垂直的方向飛開，第三塊的質(zhì)量恰好等于這兩塊質(zhì)量的總和。試求第三塊的速度（大小和方向）。,即：,解：,這三個動量必處于同一平面內(nèi),13,例2如圖，一個有1/4圓弧滑槽的大物體的質(zhì)量為M，停在光滑的水平面上，另一質(zhì)量為m的小物體自圓弧頂點由靜止

5、下滑。求當(dāng)小物體m滑到底時，大物體M在水平面上移動的距離。,14,解:,如圖，系統(tǒng)水平方向動量守恒。,對上式積分，有：,以 和 分別表示下滑過程中任一時刻m和M的速度，則應(yīng)該有,即：,15,以s和S分別表示m和M在水平方向移動的距離，則有,因而有,又,可得,3.4 質(zhì)心,N個質(zhì)點系統(tǒng)，可定義質(zhì)量中心質(zhì)心,mi,1、質(zhì)心位矢與坐標(biāo)系的選擇有關(guān)。,2、質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點相對位置不因坐標(biāo)系的改變而改變。,3、質(zhì)心相對于質(zhì)點系的位置不因坐標(biāo)系的改變而改變。,注意：,4、質(zhì)量均勻的規(guī)則物體的質(zhì)心在幾何中心。,利用質(zhì)心位矢沿直角坐標(biāo)系各坐標(biāo)軸的分量，可得質(zhì)心坐標(biāo)表示式如下：,例：任意三角形每個頂點有一質(zhì)量為m

6、的質(zhì)點，求質(zhì)心。,（x1，y1）,（x2，0),解：,建立如圖的直角坐標(biāo)系,對連續(xù)分布的物質(zhì)，可以將其分為N個小質(zhì)元,分量式：,對質(zhì)量連續(xù)分布的物體：,線分布：,面分布：,體分布：,如、和分別為質(zhì)量的線密度、面密度和體密度。,例：一段均勻鐵絲彎成半圓形，其半徑為R ，求此半圓形鐵絲的質(zhì)心。,由于半圓對y軸對稱,所以質(zhì)心應(yīng)該在 y軸上。,R,C,解:,設(shè)鐵絲質(zhì)量的線密度為,則：,做為質(zhì)量元,在鐵絲上取一線元,例:求腰長為a的等腰直角三角形均勻薄板的質(zhì)心位置。,因為等腰直角三角形對于直角的平分線對稱，所以質(zhì)心位于此分角線上。,解：,以此分角線為x軸，作坐標(biāo)軸如圖,在離原點x處取寬度為dx的面積元，

7、,設(shè)薄板質(zhì)量的線密度為,則：,其面積,例：確定半徑為R的均質(zhì)半球的質(zhì)心位置。,建立如圖所示坐標(biāo)系,取厚度為dy的薄圓盤為質(zhì)量元,dy,已知薄圓盤的質(zhì)心位于圓心，,解：,質(zhì)心在距球心3R/8處,r,質(zhì)心參考系,mi,系統(tǒng)的質(zhì)心在其中靜止的平動參考系稱為質(zhì)心系。,一般把質(zhì)心選作質(zhì)心系的坐標(biāo)原點。,兩邊求導(dǎo)：,質(zhì)心系又叫零動量參考系。,當(dāng)質(zhì)心系相對于慣性系勻速平動時，它也是慣性系；,動量守恒定律適用于慣性系，但在質(zhì)心系有例外。,說明系統(tǒng)對質(zhì)心系的總動量等于零。,當(dāng)質(zhì)心系相對于慣性系變速平動時，它是非慣性系。,質(zhì)點系對質(zhì)心系動量守恒。,設(shè)有一個質(zhì)點系，由N個質(zhì)點組成。,質(zhì)心的速度：,3.5 質(zhì)心運動定

8、理,質(zhì)心的位矢：,質(zhì)心運動定理,不管物體的質(zhì)量如何分布，也不管外力作用在物體的什么位置上，質(zhì)心的運動就象是物體的質(zhì)量全部都集中于此，而且所有外力也都集中于此的一個質(zhì)點的運動一樣。,實際上在質(zhì)心位置處可能既無質(zhì)量，又未受力。,兩邊求導(dǎo)得：,引入質(zhì)心概念后，應(yīng)用質(zhì)心運動定理對解決比較復(fù)雜的機(jī)械運動問題會很便利。,當(dāng)一質(zhì)點系所受的合外力為零時，系統(tǒng)對慣性系的總動量守恒。由質(zhì)心運動定理，aC=0 ,其質(zhì)心速度保持不變。,質(zhì)心是物體的質(zhì)量中心，重心則是地球?qū)ξ矬w各部分引力的合力（即重力）的作用點，兩者的定義是不同的。,當(dāng)物體遠(yuǎn)離地球，不受重力的作用，重心這個概念便失去意義，而質(zhì)心卻是依然存在的。,例：水

9、平桌面上拉動紙，紙上有一均勻球，球的質(zhì)量M=0.5kg，紙被拉動時與球的摩擦力為f=0.1N，求：該球的球心加速度ac和從靜止開始2秒后球相對桌面移動多少距離？,解：,當(dāng)拉動紙時，球體除平動外還有轉(zhuǎn)動，但質(zhì)心只做平動。,球體在水平方向只受摩擦力f,由質(zhì)心運動定理得,球心運動的距離為,例：如圖所示，無摩擦的水平面上有一小車，車長L，質(zhì)量M。一質(zhì)量為m的人站在靜止車的右端出發(fā)走到車的左端，求人和小車相對地面的移動距離。,解：建立如圖所示的一維坐標(biāo)系我們將人與車視為一個系統(tǒng)，則因為此系統(tǒng)水平合外力為零，所以系統(tǒng)的總動量守恒并等于零:,例：一根完全柔軟的質(zhì)量均勻分布的繩子豎直的懸掛著，其下段與地面接觸

10、，讓繩子從靜止開始下落，求下落長度剩為z時，地面對這根繩子的作用力。,解：方法二：將繩子看成質(zhì)點系。,繩子上端作自由落體運動：,質(zhì)心運動定理：,數(shù)學(xué)公式：,兩個矢量叉乘,結(jié)果仍是矢量。,其大?。?其方向：,由右手螺旋法則確定。,兩個矢量點乘,結(jié)果是標(biāo)量。,其大?。?微分：,角動量的大?。?角動量的方向：,3.6 質(zhì)點的角動量和角動量定理,1 角動量,一個動量為p的質(zhì)點，對慣性參考系中的某一固定點O的角動量定義為：,由右手螺旋定則確定。,描述質(zhì)點運動狀態(tài)的物理量,動量是對于一固定參考系而言，角動量是對固定參考系中的固定點而言。說明一個質(zhì)點的角動量時，必須指明是對哪一點。,質(zhì)點對點的角動量，不但與

11、質(zhì)點運動有關(guān)，且與參考點位置有關(guān)。同一運動物體對不同的參考點角動量不相等。,并非只有做曲線運動的質(zhì)點才有角動量。,確定質(zhì)點有無角動量，要看位矢是否存在繞參考點的轉(zhuǎn)動。,當(dāng) 同向或反向時，角動量為零。,由角動量定義知：,但車對路邊的點有角動量！,質(zhì)點做圓周運動時，由于r 垂直于p，質(zhì)點對圓心的角動量大小為,質(zhì)點做勻速圓周運動時，對圓心O的角動量為恒量,2 角動量定理,定義：,為力對同一點的力矩。,力矩的大?。?力矩的方向：,角動量定理：,質(zhì)點所受的合外力矩等于它的角動量對時間的變化率。,注意：定理中的力矩和角動量是對慣性系中的同一固定點而言的。,右螺旋法則確定。,3.7 角動量守恒定律,如果對于

12、某一固定點，質(zhì)點所受的合外力矩為零，則此質(zhì)點對該固定點的角動量矢量保持不變。,1 角動量守恒定律,力矩：,如F等于零，則M肯定等于零；,如F不等于零，則M也可以等于零；,小球?qū)A心的角動量守恒,例如：,小球在轉(zhuǎn)動中動量不守恒！,研究轉(zhuǎn)動時用角動量比用動量方便！,(2) 角動量守恒說明天體系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)盤狀結(jié)構(gòu),天體系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)盤狀結(jié)構(gòu),引力使星團(tuán) 壓縮，,慣性離心力,離心力與引力達(dá)到平衡 r 就一定了,z 軸方向無限制，最終壓縮成鐵餅狀。,脈沖星自轉(zhuǎn)周期不變，繞固定軸角動量守恒。轉(zhuǎn)速太快，應(yīng)為中子星（密度太小則被離心力撕裂）。,例：證明：一個質(zhì)點運動時如果不受外力作用，則它對于任意固定點的角動量矢量

13、保持不變。,證明：,不受外力，質(zhì)點將做勻速直線運動。,m在某一時刻經(jīng)過A點時，其對固定點O的角動量為,固定點O到軌跡直線的垂直距離只有一個值，所以角動量的大小恒定。,而角動量的方向恒垂直于固定點O和運動軌跡所決定的平面。,所以m對任意固定點的角動量矢量保持不變。,A,例 試?yán)媒莿恿渴睾愣? 證明關(guān)于行星運動的開普勒定律: 任一行星和太陽之間的聯(lián)線,在相等的時間內(nèi)掃過的面積相等, 即掠面速度不變.,行星對太陽O的角動量的大小為,其中,是徑矢 r 與行星的動量 p 或速度 v 之間的夾角.,表示,時間內(nèi)行星所走過的弧長, 則有,用,證明,3.8 質(zhì)點系的角動量定理,質(zhì)點系角動量,第i個質(zhì)點角動

14、量的時間變化率,質(zhì)點系的角動量定理,時,質(zhì)點系的角動量守恒,注意:,1) 若質(zhì)點所受外力是 有心力, 即,沿著或背著,這時質(zhì)點系的角動量守恒。,2) 若質(zhì)點系所受外力是重力, 即,則在質(zhì)心參考系中, 角動量總是守恒的。,3) 角動量定理、角動量守恒式都是矢量式， 它們對每個分量都成立。,的方向,例： 兩個同樣重的小孩 ，各抓著跨過滑輪繩子的兩端。一 個孩子用力向上爬，另一個則抓住繩子不動。若滑輪的質(zhì)量 和軸上的摩擦都可忽略，那一個小孩先到達(dá)滑輪？兩個小孩 重量不等時情況又如何？,解： 把每個小孩看成一個質(zhì)點，以滑輪的軸為參考點，把兩個小孩和滑輪看成我們的系統(tǒng)。規(guī)定角動量和力矩的正方向。,此系統(tǒng)的總角動量為,v1 ： 左邊小孩向上的速度；,v2 ： 右邊小孩向上的速度；,此系統(tǒng)所受外力矩只有兩個小孩所受重力矩，二者大小相等， 方向相反，彼此抵消。系統(tǒng)角動量守恒。,設(shè)兩個小孩起初都不動，即,以后，雖然 v1 ,v2 不再為零， 但總角動量繼續(xù)為零， 即 v1 , v2 隨時保持相等，所以他們將同時到達(dá)滑輪。,若兩個小孩重量不等，即,系統(tǒng)所受外力矩,系統(tǒng)總角動量,仍設(shè)起初兩個小孩都不動，,由角動量定理,若,有,輕的