1、高等數(shù)學(xué)第一卷的數(shù)據(jù)第一章和第二章功能、限制和連續(xù)性第三章導(dǎo)數(shù)和微分第四章微分中值定理及其應(yīng)用第五章不定積分第六章定積分第七章無(wú)窮級(jí)數(shù)第一章和第二章功能、限制和連續(xù)性第1課功能教學(xué)目的和要求：深刻理解一元函數(shù)的概念，熟悉函數(shù)的幾個(gè)特征和運(yùn)算，熟練繪制基本初等函數(shù)的圖形。知識(shí)點(diǎn)：一元函數(shù)的定義、函數(shù)的特征、函數(shù)的運(yùn)算、基本初等函數(shù)、分段函數(shù)。要點(diǎn)：一元函數(shù)的定義(強(qiáng)調(diào)自變量和因變量之間的單值對(duì)應(yīng))、函數(shù)的幾個(gè)特征和基本初等函數(shù)。難點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)教學(xué)方法：多媒體教學(xué)教學(xué)理念：本次講座實(shí)際上是對(duì)中學(xué)一元函數(shù)內(nèi)容的回顧。通過(guò)本課，學(xué)生將對(duì)一元函數(shù)y=f(x)有一個(gè)統(tǒng)一而準(zhǔn)確的理解，特別

2、是對(duì)x和y之間的單值對(duì)應(yīng)有一個(gè)深刻的理解，熟悉該函數(shù)的特點(diǎn)、運(yùn)算、圖形，并強(qiáng)調(diào)對(duì)分段函數(shù)的解釋，從而為以后講座函數(shù)的連續(xù)性和求導(dǎo)做好準(zhǔn)備。教學(xué)過(guò)程：一，功能的概念定義1讓A和B是兩組實(shí)數(shù)。映射f: AB被稱為一元函數(shù)，簡(jiǎn)稱為函數(shù)。它被寫成其中x是自變量，y是因變量，f(x)表示函數(shù)f在x處的函數(shù)值，A是f的域，表示為D(f)，f(A)=y | y=f(x)，xA是f的域，表示為R(f)。注意：函數(shù)的兩個(gè)基本元素：定義域和對(duì)應(yīng)規(guī)則。x和Y必須是單值對(duì)應(yīng)。常用函數(shù)表達(dá)式：列表法、圖解法和公式法。例1找到函數(shù)的域。解決方案：必須滿足以下條件：按需購(gòu)買函數(shù)的域是：(1，2)。例2找到函數(shù)的定義域。解決

3、方案：x必須滿足條件從1開(kāi)始，解決方案從2，當(dāng)，立即，2到，沒(méi)有解決方案。當(dāng)，也就是，當(dāng)，2變成，解決方案是：函數(shù)的域是：分段函數(shù)：使用不同的表達(dá)式來(lái)表示域的不同子集上的相應(yīng)規(guī)則的函數(shù)。示例3符號(hào)函數(shù)示例4舍入函數(shù)表示不超過(guò)x的最大整數(shù)例如：-3.2=-4 3.55=3示例5示例6也就是說(shuō)，示例7解決方法：稍微通過(guò)對(duì)分段函數(shù)的學(xué)習(xí)，我們可以進(jìn)一步理解函數(shù)的概念，擴(kuò)大學(xué)生對(duì)函數(shù)的理解范圍，為將來(lái)解釋函數(shù)的連續(xù)性創(chuàng)造條件。二、圖形的功能定義2指的是集合被稱為函數(shù)f的圖，并且被表示為G(f)。函數(shù)f的圖形是坐標(biāo)平面上一些特定點(diǎn)(x，y)的集合。注意：垂直于X軸的直線和函數(shù)曲線最多只能有一個(gè)交點(diǎn)。三、

4、功能的幾個(gè)特征1.函數(shù)的有界性假設(shè)函數(shù)的定義域是d，一組數(shù)，如果有一個(gè)正數(shù)m，那么它對(duì)所有的都是可用的那么這個(gè)函數(shù)在集合x(chóng)上是有界的，否則它在x上是無(wú)界的。2.函數(shù)的單調(diào)性讓函數(shù)的定義域?yàn)镈和區(qū)間。如果有的話，那么在區(qū)間I上就有，或者，那么就分別叫做單調(diào)增函數(shù)或者單調(diào)減函數(shù)。單調(diào)增加或減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)。3.函數(shù)奇偶性讓函數(shù)的定義域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。如果有，就叫奇函數(shù)。如果有，它被稱為偶數(shù)函數(shù)。奇數(shù)函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)樗苍趫D形上。同樣，可以解釋偶數(shù)函數(shù)的圖形關(guān)于軸是對(duì)稱的。4.函數(shù)的周期性設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)閐，如果有一個(gè)非零數(shù)t，那么對(duì)于任何一個(gè)，都有，和它被稱為周期函數(shù)，t被稱為

5、周期。如果T是一個(gè)周期，那么它也是一個(gè)周期。周期中的最小正值稱為最小正周期。通常，周期指的是最小正周期，如，例8證明下列函數(shù)在所示的區(qū)間內(nèi)有界1)2)證明1)是有界的，只要證明在地面上是單調(diào)的。設(shè)定，然后然而，有因此.由于因此也就是說(shuō)，它是一神教所以，這是奇怪的功能。案例10試用證書是奇數(shù)功能證據(jù)：如果，那么，由于如果，那么，由于因此，任何事物都有奇怪的功能。例11該函數(shù)是否為周期函數(shù)，如果是，則確定其最小正周期。解：對(duì)于任何x，都有一個(gè)整數(shù)n，然后。當(dāng)t是整數(shù)時(shí)，因?yàn)椋虼?，有是最小正周期?的周期函數(shù)。4.函數(shù)的運(yùn)算1.函數(shù)的四種運(yùn)算設(shè)f和g是域分別定義的函數(shù)，并定義f和g的和、差、積和商

6、如下：和特別是那個(gè)叫做f和。2.復(fù)合函數(shù)定義3有兩個(gè)函數(shù)和。如果函數(shù)映射集合，則函數(shù)映射集合。如果函數(shù)映射集合，將獲得從到的新函數(shù)。它也被稱為由函數(shù)和復(fù)合構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)。它被稱為中間變量。示例12設(shè)置、來(lái)查找復(fù)合函數(shù)。解決方法：因?yàn)樗梢詷?gòu)成一個(gè)復(fù)合函數(shù)，否則就不能構(gòu)成。如果定義4將函數(shù)的定義域設(shè)置為D，函數(shù)的范圍設(shè)置為f(D)，那么任何一個(gè)定義域都必須有唯一的原因，從而確定一個(gè)新的函數(shù)。這個(gè)函數(shù)稱為函數(shù)的反函數(shù)，記錄為它的域是f(D)，它的范圍是D注：它是單值對(duì)應(yīng)，但它的對(duì)立關(guān)系不一定是單值的，因此它可能不構(gòu)成單值函數(shù)。例如：函數(shù)的域和范圍是可互換的，所以xoy平面上的圖形是相同的，通常用反

7、函數(shù)來(lái)表示。如果點(diǎn)P(a，b)在的圖形上，那么Q(b，a)在其反函數(shù)的圖形上，反之亦然。P(a，b)和Q(b，a)關(guān)于直線y=x對(duì)稱，所以y=f(x)的圖形及其反函數(shù)關(guān)于直線y=x對(duì)稱五、基本初等函數(shù)常數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)。1.查看教材注意：你應(yīng)該像手掌一樣知道這些函數(shù)的定義、域、范圍、圖形和相關(guān)屬性。六.初等函數(shù)定義5是由基本初等函數(shù)和有限數(shù)量的四個(gè)運(yùn)算以及有限數(shù)量的復(fù)合步驟組成的函數(shù)，可以用一個(gè)表達(dá)式來(lái)表示，稱為初等函數(shù)。注意：一般來(lái)說(shuō)，分段函數(shù)不是初等函數(shù)，但是：它們是初等函數(shù)我們討論的函數(shù)通常是初等函數(shù)，例如：等等雙曲線函數(shù)：見(jiàn)教科書反

8、雙曲函數(shù)：見(jiàn)教科書摘要：抽象地說(shuō)，一元函數(shù)是討論兩個(gè)變量X和Y之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系。然而，它要求X和Y之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系是單值的，并且其相關(guān)的有界性、單調(diào)性、奇偶性和周期性將反映在這個(gè)動(dòng)態(tài)過(guò)程中。廣義地說(shuō)，如果世界上的一切都可以量化，難道不能把它看作是時(shí)間的一個(gè)獨(dú)立變量嗎？因?yàn)樗鼈兌茧S著時(shí)間而變化。第二講極限(1)教學(xué)目的和要求：深刻理解數(shù)列極限的定義，掌握數(shù)列極限的性質(zhì)，深刻理解x無(wú)限增加時(shí)函數(shù)極限的定義。知識(shí)點(diǎn)：數(shù)列極限的定義，數(shù)列極限的性質(zhì)，x無(wú)限增加時(shí)函數(shù)極限的定義。焦點(diǎn)：數(shù)列極限的兩個(gè)定義和性質(zhì)困難：當(dāng)X無(wú)限增加時(shí)函數(shù)極限的定義教學(xué)方法：多媒體教學(xué)教學(xué)思路：通過(guò)數(shù)列實(shí)例的變化趨勢(shì)引入數(shù)列極限的

9、定義，重點(diǎn)講解如何用精確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表達(dá)對(duì)“無(wú)限增長(zhǎng)”和“無(wú)限逼近”的直觀描述，然后將數(shù)列極限的定義推廣到x為無(wú)限增長(zhǎng)時(shí)的函數(shù)極限。教學(xué)過(guò)程：一、數(shù)列極限的概念以自然數(shù)為自變量的函數(shù)的函數(shù)值按自然數(shù)的順序排列，形成一個(gè)序列。簡(jiǎn)言之，xn是通用術(shù)語(yǔ)。例如1)2)3)4)5)這些系列的幾個(gè)項(xiàng)目在數(shù)軸上表示。那時(shí)，當(dāng)觀察它們的變化規(guī)律時(shí)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)它們?cè)跓o(wú)限增加，無(wú)限接近0，無(wú)限接近1，并且變化趨勢(shì)是不確定的。1.2.3.4.如果當(dāng)n無(wú)限增加時(shí)，xn無(wú)限接近某個(gè)常數(shù)a，那么xn被稱為以a為極限，或者xn收斂于a，并且是以(3)為例。當(dāng)時(shí)，序列的每個(gè)項(xiàng)都無(wú)限接近1。也就是說(shuō)，隨著N的增加，序列的每個(gè)項(xiàng)

10、和1之間的差的絕對(duì)值(即點(diǎn)和1之間的距離)可以越來(lái)越小，任意小，盡可能小，并且小于任何給定的正數(shù)。也就是說(shuō)，對(duì)于任何給定的正數(shù)，不管它有多小，只要n足夠大，它就可以被生成，換句話說(shuō)，只要有一個(gè)正整數(shù)n，nN的所有項(xiàng)都滿足不等式。例如，如果N=100，則必須有N。也就是說(shuō)，系列從項(xiàng)目101開(kāi)始，并且所有后續(xù)項(xiàng)目與1之間的距離小于0.01。再拿一次定義1提供了一個(gè)序列。如果有一個(gè)常數(shù)A，對(duì)于任何給定的正數(shù)(不管它有多小)，總是有一個(gè)正整數(shù)N，所以當(dāng)nN成立時(shí)，序列被稱為有一個(gè)極限，而極限A被稱為寫為或。這時(shí)，它也被稱為序列收斂到A或收斂序列，否則它被稱為發(fā)散序列。上述定義用邏輯符號(hào)表示如下：當(dāng)nN

11、為常數(shù)時(shí)，a稱為序列的極限。注：在定義中，正數(shù)是任意給定的，可以足夠小。它表征了xn接近A的程度。正數(shù)n足夠大，可以用nN來(lái)表示。這是一個(gè)保證條件。對(duì)于給定的數(shù)，N不是唯一的。以a為極限的幾何意義：對(duì)于數(shù)軸上點(diǎn)a的任何給定鄰域，總是有一個(gè)自然數(shù)N，因此點(diǎn)序列的所有點(diǎn)，從第N 1項(xiàng)開(kāi)始，都落在該鄰域內(nèi)，并且在該鄰域外至多只有有限個(gè)項(xiàng)。因此，我們知道序列的收斂性與其先前的有限項(xiàng)無(wú)關(guān)。例1用數(shù)列極限的定義證明：【分析】證明：用n的定義來(lái)證明關(guān)鍵是正確的，把n看作一個(gè)未知的數(shù)，通過(guò)不容易求n，人們可以試著把它適當(dāng)?shù)財(cái)U(kuò)大到，然后，求，再取，因?yàn)椋?，也就是，或，所以，取，?dāng)nN時(shí)，有：.例2由數(shù)列極限的

12、定義證明，證據(jù)：因?yàn)?。所以，做，只要，就是，所以，?duì)，拿當(dāng)nN時(shí)，恒定性成立。.例3用“語(yǔ)言”證明：證據(jù)：原因和所以，要使，只要，即所以，是的，取，當(dāng)nN，常數(shù)成立。例4用“語(yǔ)言”證明：證據(jù)：當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然是正確的?，F(xiàn)在設(shè)置，因?yàn)?，為了使，取?duì)數(shù)：那是(不妨的)。所以，當(dāng)nN為常數(shù)時(shí)。.二、數(shù)列極限的性質(zhì)定理1(極限的唯一性)收斂序列的極限是唯一的證明：使用反證法，如果，當(dāng)N2是當(dāng)N為N時(shí)，上述兩個(gè)不等式都成立。確實(shí)如此。矛盾，假設(shè)不成立，定理成立。設(shè)置序列xn。如果序列是常數(shù)，那么xn有一個(gè)上限L。相似可定義xn有一個(gè)下限。如果xn既有上界又有下界，那么xn就是有界的，否則xn就是無(wú)界的。定

13、理2(收斂序列的有界性)。如果序列收斂，序列必須有界。證明了如果，對(duì)于，有一個(gè)正整數(shù)n，當(dāng)nN，是的，因此拿著，那時(shí)候有序列xn是有界的。注：有界性是序列收斂的一個(gè)必要條件，而不是一個(gè)充分條件，即有界序列不一定收斂，如序列，有界但不收斂。如果序列xn是無(wú)界的，它必須發(fā)散，例如序列是無(wú)界的，因此發(fā)散。子序列的概念：從序列xn中隨機(jī)抽取無(wú)限數(shù)量的項(xiàng)目，并保持這些項(xiàng)目在原始序列xn中的順序。這樣獲得的序列被稱為原始序列xn的子序列(subsequence)。例如xn。定理3(收斂序列和子序列之間的關(guān)系)。如果序列xn收斂到A，那么它的任何子序列也收斂，極限是A.證明了如果序列是序列xn的任何子序列，

14、因?yàn)椋瑑烧叨紴?，?dāng)nN常數(shù)已經(jīng)建立。取K=N，那時(shí)，所以它被建立了.注意：如果子序列收斂，但原始序列xn不一定收斂，例如思考問(wèn)題：獵犬的奔跑速度為10米/秒，兔子的奔跑速度為5米/秒，獵犬直線跟隨兔子，兔子提前一秒開(kāi)始奔跑，如圖所示，當(dāng)兔子跑到b點(diǎn)時(shí)，狗追上a點(diǎn)，當(dāng)兔子跑到c點(diǎn)時(shí)，獵犬追上b點(diǎn)，看來(lái)獵犬永遠(yuǎn)追不上兔子，為什么？第三，當(dāng)自變量x無(wú)限增加時(shí)函數(shù)的極限x無(wú)限增加包括三種情況：如果函數(shù)值在過(guò)程中無(wú)限接近常數(shù)a，那么a就被稱為當(dāng)時(shí)函數(shù)的極限。定義2假設(shè)f:是一個(gè)函數(shù)，其中如果有一個(gè)常數(shù)，則滿足以下關(guān)系：，使得在那個(gè)時(shí)候，不變。然后把A稱為f(x)的極限，記為或者在這個(gè)時(shí)候，我們說(shuō)，在那個(gè)

15、時(shí)候，f(x)極限存在。當(dāng)時(shí)，定義中的定義被更改為可用的定義。當(dāng)時(shí)，定義被更改為可用的定義。定義的幾何意義：是的，一個(gè)點(diǎn)X總是可以在X軸上找到，所以函數(shù)圖形的右邊部分和直線的左邊部分都位于平面條上。定理4證據(jù)：必要性的定義表明：因?yàn)?，在那個(gè)時(shí)候，也就是說(shuō)，什么時(shí)候或者適當(dāng)因?yàn)椋谀莻€(gè)時(shí)候，因?yàn)椋谀莻€(gè)時(shí)候，拿著，當(dāng)時(shí)恒友已經(jīng)成立.示例5證據(jù)：原因使，只要，即所以，為，取，在那個(gè)時(shí)候，成立了摘要：當(dāng)自變量無(wú)限增加時(shí)，序列的極限實(shí)際上是一元函數(shù)極限的特例。數(shù)列的極限是自變量n“離散地”取正整數(shù)無(wú)限增加時(shí)函數(shù)值的變化趨勢(shì)。然而，當(dāng)自變量無(wú)限增加時(shí)，一元函數(shù)的極限是自變量x“連續(xù)”取實(shí)數(shù)無(wú)限增加，函數(shù)值的變化趨勢(shì)是“離散變量”和“連續(xù)變量”。第三課是極限(2)教學(xué)目的和要求：深刻理解函數(shù)極限的定義，掌握用定義證明函數(shù)極限的方法，熟悉函數(shù)極限的性質(zhì)。知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)極限的定義