1、北京市西城區(qū)2012屆高三4月第一次模擬考試試題 數(shù) 學(xué)（理科） 2012.4第卷（選擇題 共40分）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分. 在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1已知全集，集合，則（ ）（A）（B）（C）（D）2執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出的值為（ ）（A）（B）（C）（D）3若實(shí)數(shù)，滿足條件則的最大值為（ ）（A）（B）（C）（D）4已知正六棱柱的底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)相等，體積為其三視圖中的俯視圖如圖所示，則其左視圖的面積是（ ）（A）（B）（C）（D）5已知函數(shù)的最小正周期是，那么正數(shù)（ ）（A）（B）（C）（D）6若，則下列結(jié)論正確的是（ ）（A

2、）（B） （C）（D）7設(shè)等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，公比為，前項(xiàng)和為若對(duì)，有，則的取值范圍是（ ）（A）（B）（C）（D）8已知集合，其中，且.則中所有元素之和等于（ ）（A）（B）（C）（D）第卷（非選擇題 共110分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分.9. 某年級(jí)名學(xué)生在一次百米測(cè)試中，成績(jī)?nèi)拷橛诿肱c秒之間將測(cè)試結(jié)果分成組：，得到如圖所示的頻率分 布直方圖如果從左到右的個(gè)小矩形的面積之比為，那么成績(jī)?cè)诘膶W(xué)生人數(shù)是_10的展開(kāi)式中，的系數(shù)是_（用數(shù)字作答）11. 如圖，為的直徑，弦交于點(diǎn)若，則_ 12. 在極坐標(biāo)系中，極點(diǎn)到直線的距離是_13. 已知函數(shù) 其中那么的零點(diǎn)是_；若的值域

3、是，則的取值范圍是_14. 在直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)，分別在射線和上運(yùn)動(dòng)，且的面積為則點(diǎn)，的橫坐標(biāo)之積為_(kāi)；周長(zhǎng)的最小值是_三、解答題共6小題，共80分. 解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程. 15.（本小題滿分13分）在中，已知（）求角； （）若，求16.（本小題滿分13分）乒乓球單打比賽在甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員間進(jìn)行，比賽采用局勝制（即先勝局者獲勝，比賽結(jié)束），假設(shè)兩人在每一局比賽中獲勝的可能性相同（）求甲以比獲勝的概率；（）求乙獲勝且比賽局?jǐn)?shù)多于局的概率；（）求比賽局?jǐn)?shù)的分布列.17（本小題滿分14分）如圖，四邊形與均為菱形， ，且（）求證：平面；（）求證：平面；（）求二面角的余弦值 18.（

4、本小題滿分13分）已知函數(shù)，其中.（）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（）求的單調(diào)區(qū)間.19.（本小題滿分14分）已知橢圓的離心率為，定點(diǎn)，橢圓短軸的端點(diǎn)是，且.（）求橢圓的方程；（）設(shè)過(guò)點(diǎn)且斜率不為的直線交橢圓于，兩點(diǎn).試問(wèn)軸上是否存在定點(diǎn)，使平分？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由. 20.（本小題滿分13分）對(duì)于數(shù)列，定義“變換”：將數(shù)列變換成數(shù)列，其中，且，這種“變換”記作.繼續(xù)對(duì)數(shù)列進(jìn)行“變換”，得到數(shù)列，依此類(lèi)推，當(dāng)?shù)玫降臄?shù)列各項(xiàng)均為時(shí)變換結(jié)束（）試問(wèn)和經(jīng)過(guò)不斷的“變換”能否結(jié)束？若能，請(qǐng)依次寫(xiě)出經(jīng)過(guò)“變換”得到的各數(shù)列；若不能，說(shuō)明理由；（）求經(jīng)過(guò)有限次“變換”后能夠結(jié)束的充

5、要條件； （）證明：一定能經(jīng)過(guò)有限次“變換”后結(jié)束 數(shù)學(xué)（理科）參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 2012.4一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.1. C； 2. D； 3. A； 4.A； 5. B； 6. D； 7. A； 8. D .二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分. 9.； 10.； 11.； 12.； 13.和，； 14.，.注：13題、14題第一問(wèn)2分，第二問(wèn)3分.三、解答題：本大題共6小題，共80分. 15.（本小題滿分13分） （）解：原式可化為 3分 因?yàn)椋?所以 ， 所以 5分 因?yàn)椋?所以 6分 （）解：由余弦定理，得 8分 因?yàn)?， 所以 10分 因?yàn)?

6、， 12分所以 13分16.（本小題滿分13分）（）解：由已知，甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員在每一局比賽中獲勝的概率都是 1分記“甲以比獲勝”為事件，則 4分（）解：記“乙獲勝且比賽局?jǐn)?shù)多于局”為事件. 因?yàn)?，乙以比獲勝的概率為， 6分 乙以比獲勝的概率為， 7分所以 8分（）解：設(shè)比賽的局?jǐn)?shù)為，則的可能取值為 ， 9分 ， 10分 ， 11分 12分比賽局?jǐn)?shù)的分布列為： 13分17.（本小題滿分14分）（）證明：設(shè)與相交于點(diǎn)，連結(jié)因?yàn)?四邊形為菱形，所以，且為中點(diǎn) 1分又 ，所以 3分因?yàn)?， 所以 平面 4分 （）證明：因?yàn)樗倪呅闻c均為菱形，所以/，/， 所以 平面/平面 7分 又平面，所以/ 平面

7、8分 （）解：因?yàn)樗倪呅螢榱庑危?，所以為等邊三角形因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，故平面由兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 9分 設(shè)因?yàn)樗倪呅螢榱庑危瑒t，所以，所以 所以 ， 設(shè)平面的法向量為，則有所以 取，得 12分 易知平面的法向量為 13分 由二面角是銳角，得 所以二面角的余弦值為 14分18.（本小題滿分13分）（）解：當(dāng)時(shí)，2分由于，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程是 4分（）解：， 6分 當(dāng)時(shí)，令，解得 的單調(diào)遞減區(qū)間為；單調(diào)遞增區(qū)間為，8分當(dāng)時(shí)，令，解得 ，或 當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，；單調(diào)遞增區(qū)間為， 10分 當(dāng)時(shí)，為常值函數(shù)，不存在單調(diào)區(qū)間 11分 當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，；單調(diào)遞增區(qū)間為

8、， 13分19.（本小題滿分14分）（）解：由 ， 得 . 2分依題意是等腰直角三角形，從而，故. 4分所以橢圓的方程是. 5分（）解：設(shè)，直線的方程為. 將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去得 . 7分所以 ，. 8分若平分，則直線，的傾斜角互補(bǔ)，所以. 9分設(shè)，則有 .將 ，代入上式，整理得 ，所以 . 12分將 ，代入上式，整理得 . 13分由于上式對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，所以 . 綜上，存在定點(diǎn)，使平分. 14分20.（本小題滿分13分）（）解：數(shù)列不能結(jié)束，各數(shù)列依次為；從而以下重復(fù)出現(xiàn)，不會(huì)出現(xiàn)所有項(xiàng)均為的情形 2分?jǐn)?shù)列能結(jié)束，各數(shù)列依次為； 3分（）解：經(jīng)過(guò)有限次“變換”后能夠結(jié)束的充要

9、條件是4分若，則經(jīng)過(guò)一次“變換”就得到數(shù)列，從而結(jié)束5分當(dāng)數(shù)列經(jīng)過(guò)有限次“變換”后能夠結(jié)束時(shí)，先證命題“若數(shù)列為常數(shù)列，則為常數(shù)列”當(dāng)時(shí)，數(shù)列由數(shù)列為常數(shù)列得，解得，從而數(shù)列也為常數(shù)列其它情形同理，得證在數(shù)列經(jīng)過(guò)有限次“變換”后結(jié)束時(shí)，得到數(shù)列(常數(shù)列)，由以上命題，它變換之前的數(shù)列也為常數(shù)列，可知數(shù)列也為常數(shù)列 8分所以，數(shù)列經(jīng)過(guò)有限次“變換”后能夠結(jié)束的充要條件是（）證明：先證明引理：“數(shù)列的最大項(xiàng)一定不大于數(shù)列的最大項(xiàng)，其中”證明：記數(shù)列中最大項(xiàng)為，則令，其中因?yàn)椋?所以，故，證畢 9分現(xiàn)將數(shù)列分為兩類(lèi)第一類(lèi)是沒(méi)有為的項(xiàng)，或者為的項(xiàng)與最大項(xiàng)不相鄰（規(guī)定首項(xiàng)與末項(xiàng)相鄰），此時(shí)由引理可知， 第二類(lèi)是含有為的項(xiàng)，且與最大項(xiàng)相鄰，此時(shí)下面證明第二類(lèi)數(shù)列經(jīng)過(guò)有限次“變換”，一定可以得到第一類(lèi)數(shù)列不妨令數(shù)列的第一項(xiàng)為，第二項(xiàng)最大()（其它情形同理） 當(dāng)數(shù)列中只有一項(xiàng)為時(shí)，若()，則，此數(shù)列各項(xiàng)均不為或含有項(xiàng)但與最大項(xiàng)不相鄰，為第一類(lèi)數(shù)列；若，則；此數(shù)列各項(xiàng)均不為或含有項(xiàng)但與最大項(xiàng)不相鄰，為第一類(lèi)數(shù)列；若()，則，此數(shù)列各項(xiàng)均不為，為第一類(lèi)數(shù)列；若，則；，此數(shù)列各項(xiàng)均不為，為第一類(lèi)數(shù)列 當(dāng)數(shù)列中有兩項(xiàng)為時(shí)，若()，則，此數(shù)列各項(xiàng)均不為，為第一類(lèi)數(shù)列；若()，則，此數(shù)列各項(xiàng)均不為或含有項(xiàng)但