1、第一章數(shù)學(xué)建模和基本原理介紹用數(shù)學(xué)理論和方法研究實(shí)際問(wèn)題時(shí)，一般要建立合理的數(shù)學(xué)模型。 大多數(shù)情況下，所構(gòu)建的模型是一類具有偏微分方程的定解問(wèn)題。 本章分析幾個(gè)典型的實(shí)際問(wèn)題，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。 并結(jié)合這些模式，介紹本門課的主要數(shù)學(xué)概念和研究這類問(wèn)題的基本思想和方法。1.1數(shù)學(xué)模型的建立微分方程是本質(zhì)上有函數(shù)的局部平衡關(guān)系，其中包含了該函數(shù)導(dǎo)數(shù)。 初等數(shù)學(xué)中，已知包含未知數(shù)的方程式叫做方程式。 在建立方程的過(guò)程中，首先把求出的量作為未知數(shù)，找出滿足所研究問(wèn)題的等量關(guān)系式，最后利用一些基本關(guān)系式，從具有用已知量和未知數(shù)表示等量關(guān)系式兩側(cè)的三個(gè)步驟的一些物理學(xué)領(lǐng)域?qū)С鰸M足實(shí)際問(wèn)題的微分方程式和解

2、的條件。 除了運(yùn)用了幾個(gè)基本的物理式之外，還主要利用高等數(shù)學(xué)學(xué)生們學(xué)的“微元法”思想1.1.1弦振動(dòng)方程式和定解條件物理模型又長(zhǎng)又軟又均勻的細(xì)弦，緊張后，離開(kāi)平衡位置，用與弦線垂直的外力施加微小橫向振動(dòng)，求出弦線上任意點(diǎn)的任意時(shí)刻的位移在此，弦線“足夠柔軟”的假設(shè)意味著它在變形時(shí)抵抗伸長(zhǎng)，不抵抗彎曲，即只考慮弦線上不同部分間的張力的相互作用，而忽略弦線抵抗彎曲產(chǎn)生的力矩。 另一方面，“均勻”的意思是弦線的線密度一定。 “橫向振動(dòng)”是指弦的運(yùn)動(dòng)發(fā)生在同一平面內(nèi)，弦線上的各點(diǎn)的位移與平衡位置垂直。推導(dǎo)方程式以繩所處的平衡位置為軸，垂直于繩的位置，以通過(guò)繩一端的直線為軸，確立坐標(biāo)系(圖1.1 )。以

3、表示時(shí)刻弦線的橫軸為原點(diǎn)的點(diǎn)是從平衡位置的位移.設(shè)定弦的線密度(kgm )，作用于弦線，與平衡位置垂直的強(qiáng)制力密度(牛頓m )。 均取短弦線，不包含兩個(gè)端點(diǎn)(圖1.1 )。f0xu型圖1.1其中，和分別是弦線在兩端受到的張力，其馀部分弦線賦予該短語(yǔ)弦線的力是與水平方向的角度，和水平方向的角度。 得到的短語(yǔ)弦線近似質(zhì)點(diǎn)，從牛頓第二定律中得到(1.1 )式(1.1 )是弦的運(yùn)動(dòng)遵循的物理法則，在數(shù)學(xué)上是等量的關(guān)系式分別計(jì)算并簡(jiǎn)化(1.1 )的各項(xiàng)目的處理如下首先，包括以下三部分軸向成分軸向的成分強(qiáng)制外力(1.2).作為軸的正方向的單位向量，可以利用向量的點(diǎn)乘法獲得，(1.3 ). (1.4 )繩的

4、弧微分(1.5 )因?yàn)槔K子有微小的橫向振動(dòng)，所以十分小、因?yàn)榧僭O(shè)弦線均勻而柔軟，所以在弦線的各點(diǎn)張力的方向被認(rèn)為是弦線的切線方向，在弦線的各點(diǎn)張力的大小相等，所以有=(常數(shù)). (1.6 )其次，將繩近似質(zhì)點(diǎn)就能得到(1.7 )其中，通過(guò)將(1.6 )和(1.7 )代入(1.1 )而獲得(1.8 )假定具有二次連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，利用微分中值定理獲得(1.8 )式右端的前兩項(xiàng)(1.9 )其中. (1.9 )式的兩側(cè)一起分割的話，可以得到滿足的方程式(1.10 )其中有方程(1.10 )刻劃遵循柔軟均勻細(xì)弦微橫向振動(dòng)的一般規(guī)律，即局部等量關(guān)系，將其稱為弦振動(dòng)方程(vibrating string equ

5、ation )。弦特定的振動(dòng)狀況除了弦的振動(dòng)方程式之外，還依賴于初始時(shí)刻的弦的狀態(tài)和弦的兩端有外部的制約，因此為了判定特定的弦的振動(dòng)，除了滿足的方程式之外，還需要賦予適當(dāng)?shù)某跏紬l件和邊界條件.初始條件：給出弦線在時(shí)刻的位移和速度，分別稱為初始位移和初始速度，(1.11 )其中和是已知的函數(shù)邊界條件：一般有三種1 .知道端點(diǎn)的位移變化，即，(1.12 )當(dāng)時(shí)據(jù)說(shuō)弦線有固定端2 .已知端點(diǎn)垂直于弦線的外力，即，(1.13 )在此，在導(dǎo)出弦振動(dòng)方程式時(shí)，由于在小弦線左端為軸方向的張力的成分，在右端為軸方向的張力的成分，所以在端部，已知相當(dāng)于其端點(diǎn)的張力的外力.3 .在端點(diǎn)處與彈性物體連接.弦線兩端分

6、別具有彈性系數(shù)，2222222222222222222222222222222222222圖1.2從Hooke (鉤)法則可知，任意時(shí)刻的端彈簧的實(shí)際伸縮量，該端的彈性復(fù)原力(相當(dāng)于張力)通過(guò)取區(qū)間上的弦，可以用與建立弦振動(dòng)方程式完全相同的方法得到，令得，也就是說(shuō)，這里有同樣，在端邊界條件下2222222222222222卡卡因此，在具有彈性支承邊界中，弦線的邊界條件如下邊緣(1.14 )邊緣(1.15 )初始條件和邊界條件通常被稱為確定解的條件。 微分方程和確定與其對(duì)應(yīng)的解的條件構(gòu)成了確定解的問(wèn)題。 可以考慮的弦的長(zhǎng)度長(zhǎng)時(shí)，弦的長(zhǎng)度可以認(rèn)為是無(wú)限大的。 在這種情況下，確定解的條件沒(méi)有邊界條件

7、，只是初始條件。 這也是決定解的問(wèn)題。 有以下兩個(gè)問(wèn)題在解問(wèn)題(1.16)(1.18 )中，包含初始條件和邊界條件，通常被稱為弦振動(dòng)方程式的混合問(wèn)題，而在解問(wèn)題(1.19)(1.20 )中，僅包含初始條件，被稱為弦振動(dòng)方程式的初始值問(wèn)題(或Cauchy問(wèn)題) .考慮到注1膜的振動(dòng)和聲波在空氣中的傳播，可以利用和弦振動(dòng)方程式的類似過(guò)程導(dǎo)出膜振動(dòng)方程式.聲波在空氣中傳播的方程式.這些方程式統(tǒng)稱為波動(dòng)方程式(wave equation )。1.1.2熱傳導(dǎo)方程式和定解條件物理模型考慮三維空間中均勻各向同性的導(dǎo)熱體，假設(shè)其內(nèi)部有熱源，假設(shè)與周圍介質(zhì)有熱交換，求出物體內(nèi)部的溫度分布。這里，“均勻”表示熱

8、介質(zhì)的密度一定，“各向同性”表示在熱體內(nèi)的任何點(diǎn)向所有方向傳熱的特性都相同，只要熱傳導(dǎo)體由相同的金屬構(gòu)成，就可以認(rèn)為具有各向同性.推導(dǎo)方程式設(shè)導(dǎo)熱體在空間中所占區(qū)域(圖1.3 )，邊界為導(dǎo)熱體的密度(千克/米)，比熱為(焦耳/度千克)，熱源強(qiáng)度為(焦耳/千克秒) .取任一點(diǎn)，取該點(diǎn)足夠小的附近，其邊界為。 在足夠小的時(shí)間段，區(qū)域的熱變化滿足以下等量關(guān)系式(1.21):發(fā)燒發(fā)燒熱源產(chǎn)生熱通過(guò)邊界的流入量=_這個(gè)公式是熱力學(xué)第二定律的積分形式在大學(xué)的物理學(xué)中，地域足夠小，時(shí)間帶也足夠小，可以看作是常數(shù)o.o圖1.3(1.22 )(1.23 )(1.24 )其中，區(qū)域的體積為了計(jì)算邊界流入熱量，必須

9、利用Fourier熱定律：在一定條件下，導(dǎo)熱體內(nèi)的熱流量(焦耳/米秒)與溫度梯度成比例，即在其中熱傳導(dǎo)體內(nèi)的熱傳導(dǎo)率與介質(zhì)的性狀有關(guān)，負(fù)號(hào)表示熱從溫度高的地方向低的地方流動(dòng)。 因?yàn)榭紤]了均勻各向同性的熱傳導(dǎo)體均為正常數(shù)利用高等數(shù)學(xué)中的通量計(jì)算公式得到，(1.25 )這里的單位外法向量表示計(jì)算通過(guò)邊界的流入熱量假定空間變量具有二次連續(xù)偏導(dǎo)函數(shù)，時(shí)間變量具有一次連續(xù)偏導(dǎo)函數(shù)，則可以利用高斯公式獲得、(1.26 )在這里把(1.22)(1.26 )代入(1.21 )，可以用微分中值定理求出方程式的左端.把上式的兩側(cè)除以一樣因?yàn)槟阌凶杂伞?1.27 )或者只是(1.28 )其中，0；方程式(1.28

10、)對(duì)熱傳導(dǎo)體內(nèi)的溫度分布和變化遵循的一般規(guī)律進(jìn)行劃線，將其稱為三維熱傳導(dǎo)方程式(heat equation )注2如果熟悉高等數(shù)學(xué)中的微積分運(yùn)算，(1.21 )的各項(xiàng)也可以寫(xiě)入如下積分式，是.將上述各項(xiàng)代入(1.21 )，能夠用與上述同樣的方法導(dǎo)出(1.28 ) .注3方程式(1.28 )一般被稱為熱傳導(dǎo)方程式，但不只是表現(xiàn)熱傳導(dǎo)現(xiàn)象。 在自然界中，存在介質(zhì)(例如空氣、水、)中的分子擴(kuò)散等，可以用式(1.28 )劃線的現(xiàn)象很多，所以也稱為擴(kuò)散方程式。注4考慮到側(cè)面隔熱均勻的細(xì)棒和均勻的薄板的溫度分布，分別得到一維熱傳導(dǎo)方程式和二維熱傳導(dǎo)方程式，.為了具體地確定某個(gè)特定物體內(nèi)部的溫度分布，還需要

11、知道該物體內(nèi)部的初始溫度分布和在物體的邊界受到的制約和周圍介質(zhì)的影響初始條件：熱傳導(dǎo)體內(nèi)初始時(shí)刻的溫度分布，即、(1.29 )邊界條件：一般有3 .記載1 .已知邊界上的溫度分布，即(1.30 )2 .通過(guò)邊界的熱流量，即(1.31 )表示流入，表示流出，表示在邊界隔熱.已知有通過(guò)邊界與周圍介質(zhì)進(jìn)行熱交換.作為處理介質(zhì)的溫度，有兩種介質(zhì)間的熱交換系數(shù)(222222222222222222222222222222222222222222 ) .圖1.4上等量關(guān)系式(1.21 )成立，其中有如注釋2那樣的各種各樣的關(guān)系式，一部分是通過(guò)邊界從熱傳導(dǎo)體流入的熱量，另一部分是通過(guò)周圍介質(zhì)流入的熱量.將和

12、代入(1.21 )中，利用上式，因?yàn)槟阌凶杂伞?1.32 )顯示出傾向，在這種情況下，=、地區(qū)的體積有為零的傾向，(1.32 )中三重積分有為零的傾向，可以得到自由的任意性(1.33 )其中，(0， (1.33 )式被稱為熱傳導(dǎo)方程式的第三種邊界條件，其物理意義有時(shí)也記載為熱傳導(dǎo)體在邊界上與周圍的介質(zhì)按照Newton定律進(jìn)行自然的熱交換.注5我們比較詳細(xì)地給出了(1.14 )和(1.33 )的導(dǎo)出過(guò)程，主要目的是告訴學(xué)生們邊界條件的導(dǎo)出和方程式的導(dǎo)出過(guò)程基本相同，另一方面，在導(dǎo)出邊界條件時(shí)，取包含區(qū)間端點(diǎn)的小區(qū)間或包含的邊界的小區(qū)域.注6 (1.33 )式也可以用熱流量式直接給出。 導(dǎo)熱體的邊界內(nèi)部和外部的熱流量分別為和，在邊界上兩者必須相等，即，現(xiàn)在馬上、(1.34 )(1.34 )是(1.33 )式，請(qǐng)告訴我(1.14 )那樣的導(dǎo)出過(guò)程注7認(rèn)為如果熱傳導(dǎo)體的體積足夠大，則熱傳導(dǎo)體的體積無(wú)限大，在這種情況下，決定解的條件只有初始條件，沒(méi)有邊界條件，這種