1、數(shù)列通項(xiàng)公式的十種求法類型1 解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累加法(逐差相加法)求解。例1. 已知數(shù)列滿足，求。變式: 已知數(shù)列，且a2k=a2k1+(1)k, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,.（I）求a3, a5；（II）求 an的通項(xiàng)公式.類型2 解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例1:已知數(shù)列滿足，求。例2:已知， ，求。變式:（2004，全國I,理15）已知數(shù)列an，滿足a1=1， (n2)，則an的通項(xiàng) 類型3 （其中p，q均為常數(shù)，）。解法（待定系數(shù)法）：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。例:已知數(shù)列中，求.變式:（

2、2006，重慶,文,14）在數(shù)列中，若，則該數(shù)列的通項(xiàng)_變式:（2006. 福建.理22.本小題滿分14分）已知數(shù)列滿足（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）若數(shù)列bn滿足證明：數(shù)列bn是等差數(shù)列；（）證明：類型4 （其中p，q均為常數(shù)，）。 （或,其中p，q, r均為常數(shù)） 。解法：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數(shù)列（其中），得：再待定系數(shù)法解決。例:已知數(shù)列中，,，求。變式:（2006，全國I,理22,本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和，（）求首項(xiàng)與通項(xiàng)；（）設(shè)，證明：類型5 遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）。解法一(待定系數(shù)法)：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為其中s，t滿足解法二(特征

3、根法)：對(duì)于由遞推公式，給出的數(shù)列，方程，叫做數(shù)列的特征方程。若是特征方程的兩個(gè)根，當(dāng)時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組）；當(dāng)時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組）。解法一（待定系數(shù)迭加法）:數(shù)列：， ，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。例:已知數(shù)列中，,，求。變式:1.已知數(shù)列滿足（I）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（II）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（III）若數(shù)列滿足證明是等差數(shù)列 2.已知數(shù)列中，,，求3.已知數(shù)列中，是其前項(xiàng)和，并且，設(shè)數(shù)列，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；設(shè)數(shù)列，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和。類型6 遞推公式為與的關(guān)系

4、式。(或)解法：這種類型一般利用與消去 或與消去進(jìn)行求解。例：已知數(shù)列前n項(xiàng)和.（1）求與的關(guān)系；（2）求通項(xiàng)公式.（2）應(yīng)用類型4（其中p，q均為常數(shù)，）的方法，上式兩邊同乘以得：由.于是數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以變式:（2006，陜西,理,20本小題滿分12分) 已知正項(xiàng)數(shù)列an，其前n項(xiàng)和Sn滿足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比數(shù)列，求數(shù)列an的通項(xiàng)an 變式: (2005,江西,文,22本小題滿分14分）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足SnSn2=3求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.類型7 解法：這種類型一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，即令，與已知遞推式比較，解

5、出,從而轉(zhuǎn)化為是公比為的等比數(shù)列。例:設(shè)數(shù)列：，求.變式:（2006，山東,文,22,本小題滿分14分）已知數(shù)列中，在直線y=x上，其中n=1,2,3 ()令 ()求數(shù)列()設(shè)的前n項(xiàng)和,是否存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在試求出 不存在,則說明理由.類型8 解法：這種類型一般是等式兩邊取對(duì)數(shù)后轉(zhuǎn)化為，再利用待定系數(shù)法求解。例：已知數(shù)列中，求數(shù)列變式:（2005，江西,理,21本小題滿分12分）已知數(shù)列（1）證明 （2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式an.變式:（2006,山東,理,22,本小題滿分14分）已知a1=2，點(diǎn)(an,an+1)在函數(shù)f(x)=x2+2x的圖象上，其中=1，2，3，（1） 證

6、明數(shù)列l(wèi)g(1+an)是等比數(shù)列；（2） 設(shè)Tn=(1+a1) (1+a2) (1+an)，求Tn及數(shù)列an的通項(xiàng)；記bn=，求bn數(shù)列的前項(xiàng)和Sn，并證明Sn+=1 類型9 解法：這種類型一般是等式兩邊取倒數(shù)后換元轉(zhuǎn)化為。例：已知數(shù)列an滿足：，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。變式:（2006，江西,理,22,本大題滿分14分）1.已知數(shù)列an滿足：a1，且an（1） 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2） 證明：對(duì)于一切正整數(shù)n，不等式a1a2an2n！2、若數(shù)列的遞推公式為，則求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。3、已知數(shù)列滿足時(shí)，求通項(xiàng)公式。4、已知數(shù)列an滿足：，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。5、若數(shù)列a中，a=1，a= n

7、N，求通項(xiàng)a 類型10 解法：如果數(shù)列滿足下列條件：已知的值且對(duì)于，都有（其中p、q、r、h均為常數(shù)，且），那么，可作特征方程,當(dāng)特征方程有且僅有一根時(shí),則是等差數(shù)列;當(dāng)特征方程有兩個(gè)相異的根、時(shí)，則是等比數(shù)列。例：已知數(shù)列滿足性質(zhì)：對(duì)于且求的通項(xiàng)公式. 例：已知數(shù)列滿足：對(duì)于都有（1）若求（2）若求（3）若求（4）當(dāng)取哪些值時(shí)，無窮數(shù)列不存在？變式:（2005，重慶,文,22,本小題滿分12分）數(shù)列記（）求b1、b2、b3、b4的值； （）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列的前n項(xiàng)和類型11 或解法：這種類型一般可轉(zhuǎn)化為與是等差或等比數(shù)列求解。例：（I）在數(shù)列中，求 （II）在數(shù)列中，求類型12 歸納猜

8、想法解法：數(shù)學(xué)歸納法變式:（2006，全國II,理,22,本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且方程x2anxan0有一根為Sn1，n1，2，3，（）求a1，a2；（）an的通項(xiàng)公式 類型13雙數(shù)列型解法：根據(jù)所給兩個(gè)數(shù)列遞推公式的關(guān)系，靈活采用累加、累乘、化歸等方法求解。例：已知數(shù)列中，；數(shù)列中，。當(dāng)時(shí)，,，求,.類型14周期型 解法：由遞推式計(jì)算出前幾項(xiàng)，尋找周期。例：若數(shù)列滿足，若，則的值為_。變式:（2005，湖南,文，5）已知數(shù)列滿足，則=（ ）A0BCD一、公式法例1 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：兩邊除以，得，則，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的

9、通項(xiàng)公式，得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，說明數(shù)列是等差數(shù)列，再直接利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。公式法：已知（即）求，用作差法：。例2已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由當(dāng)時(shí)，有，經(jīng)驗(yàn)證也滿足上式，所以點(diǎn)評(píng)：利用公式求解時(shí)，要注意對(duì)n分類討論，但若能合寫時(shí)一定要合并練一練：已知的前項(xiàng)和滿足，求；數(shù)列滿足，求；二、累加法例2 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由得則所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式。例3 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。由得則所以評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是

10、把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式。例4 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：兩邊除以，得，則，故因此，則評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求數(shù)列的通項(xiàng)公式。累加法：若求：。例3. 已知數(shù)列滿足，求。解：由條件知：分別令，代入上式得個(gè)等式累加之，即所以，如已知數(shù)列滿足，則=_ ；三、累乘法例5 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)椋?，則，故所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式。例6 （2004年全國I第15題，原題是填空題）已知數(shù)列滿足，求的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)樗杂檬绞降脛t故所

11、以由，則，又知，則，代入得。所以，的通項(xiàng)公式為評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，從而可得當(dāng)?shù)谋磉_(dá)式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。累乘法：已知求，用累乘法：。例4. 已知數(shù)列滿足，求。解：由條件知，分別令，代入上式得個(gè)等式累乘之，即又，如已知數(shù)列中，前項(xiàng)和，若，求四、待定系數(shù)法例7 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：設(shè)將代入式，得，等式兩邊消去，得，兩邊除以，得代入式得由及式得，則，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，則，故。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。例8 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公

12、式。解：設(shè)將代入式，得整理得。令，則，代入式得由及式，得，則，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，因此，則。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求數(shù)列的通項(xiàng)公式。例9 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：設(shè) 將代入式，得，則等式兩邊消去，得，解方程組，則，代入式，得 由及式，得則，故數(shù)列為以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，因此，則。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。五、對(duì)數(shù)變換法例10 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)椋?。在式兩邊取常用?duì)數(shù)

13、得設(shè)將式代入式，得，兩邊消去并整理，得，則，故代入式，得 由及式，得，則，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以5為公比的等比數(shù)列，則，因此則。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是通過對(duì)數(shù)變換把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。六、迭代法例11 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)?，所以又，所以?shù)列的通項(xiàng)公式為。評(píng)注：本題還可綜合利用累乘法和對(duì)數(shù)變換法求數(shù)列的通項(xiàng)公式。即先將等式兩邊取常用對(duì)數(shù)得，即，再由累乘法可推知，從而。七、數(shù)學(xué)歸納法例12 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由及，得由此可猜測，往下用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論。（1）當(dāng)時(shí)，所以等式成立。（2）

14、假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立，即，則當(dāng)時(shí)，由此可知，當(dāng)時(shí)等式也成立。根據(jù)（1），（2）可知，等式對(duì)任何都成立。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是通過首項(xiàng)和遞推關(guān)系式先求出數(shù)列的前n項(xiàng)，進(jìn)而猜出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。八、換元法例13 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：令，則故，代入得即因?yàn)椋蕜t，即，可化為，所以是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，因此，則，即，得。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是通過將的換元為，使得所給遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化形式，從而可知數(shù)列為等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。九、不動(dòng)點(diǎn)法例14 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：令，得，則是函數(shù)的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。因?yàn)?。所以?shù)

15、列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，故，則。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是先求出函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，即方程的兩個(gè)根，進(jìn)而可推出，從而可知數(shù)列為等比數(shù)列，再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。例15 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：令，得，則是函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)。因?yàn)椋?。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是通過將的換元為，使得所給遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化形式，從而可知數(shù)列為等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。十、已知遞推關(guān)系求，用構(gòu)造法（構(gòu)造等差、等比數(shù)列）。（1）形如、（為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為的等比數(shù)列后，再求。解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。例5. 已知數(shù)列中，求.解：設(shè)遞推公式可以轉(zhuǎn)化為即.故遞推公式為,令，則,且所以是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則,所以.解法：該類型較類型3要復(fù)雜一些。一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數(shù)列（其中），得：再應(yīng)用的方法解決.。例6. 已知數(shù)列中，,，求。解：在兩邊乘以得：令，則,應(yīng)用例7解法