1、第14講 銳角三角函數(shù)知識縱橫 古希臘數(shù)學家和古代中國數(shù)學家為了測量的需要，他們發(fā)現(xiàn)并經(jīng)常利用下列幾何結(jié)論：在兩個大小不同的直角三角形中，只要有一個銳角相等，那么這兩個三角形的對應(yīng)邊的比值一定相等。正是古人對天文觀察和測量的需要才引起人們對三角函數(shù)的研究，1748年經(jīng)過瑞士的著名數(shù)學家歐拉的應(yīng)用，才逐漸形成現(xiàn)在的的通用形式。 三角函數(shù)揭示了直角三角形中邊與銳角之間的關(guān)系，是數(shù)學結(jié)合的橋梁之一，有一下豐富的性質(zhì)：1. 單調(diào)性2. 互余三角函數(shù)間的關(guān)系3. 同角三角函數(shù)之間的關(guān)系。平方關(guān)系商數(shù)關(guān)系倒數(shù)關(guān)系例題求解【例1】（1）如圖，在正方形中，是的中點，是上異于的點，且,則的值為 .（全國初中數(shù)學

2、聯(lián)賽題）(2) 已知在中，是銳角，且，則= .（黃岡市競賽題）思路點撥 對于（1），由，分別延長交于，可構(gòu)造等腰三角形，作于，通過相似三角形建立線段關(guān)系；對于（2），過作于，這樣由三角函數(shù)定義得到線段的比，,設(shè)，解題的關(guān)鍵是求出的值?！纠?】如圖，在中，則= A. B. C. D.（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）【例3】如圖，在直角坐標系中，已知中，,點的坐標分別為（1） 求過點直線的函數(shù)表達式.（2） 在軸上找一點，連接，使得與相似（不包括全等），并求點的坐標.（3） 在（2）的條件下，如果分別是和AD的動點，連接，設(shè)，問是否存在這樣的使得與相似，如存在，求出的值，如不存在，請說明理由。（濟南市中考

3、題）思路點撥 對于（3），根據(jù)相似三角形的傳遞性，把與相似的問題轉(zhuǎn)化為與相似的問題，按直角頂點分情況討論。解本例的關(guān)鍵是：是三個直角三角形的公共角，其正切值貫穿解題的始終?！纠?】已知O過點，點與點關(guān)于軸對稱，過作O的切線交軸于點（如圖1）（1）求O半徑；（2）的值；（3）如圖2，設(shè)O與軸正半軸交點，點是線段上的動點（與點不重合），連接并延長交O于點，直線交軸于點，若是以為底的等腰三角形，試探索的大小怎樣變化？請說明理由（寧波市中考題）思路點撥 連,運用切線性質(zhì)、垂徑定理是解題的基礎(chǔ)。對于（3），通過角的轉(zhuǎn)化，設(shè)法計算的值。【例5】已知：在中，是方程的兩個根（1）求實數(shù)應(yīng)滿足的條件；（2）若滿

4、足（1）的條件，方程的兩個根是否等于中兩銳角A、B的正弦？（江蘇省競賽題）思路點撥由韋達定理、三角函數(shù)關(guān)系建立等式，注意判別式、三角函數(shù)值的有界性，建立嚴密約束條件的不等式，才能準確求出實數(shù)應(yīng)滿足的條件。正弦、余弦的有界性【例6】設(shè)是直角三角形的三邊，為斜邊，整數(shù)，求證：（福建省競賽題）學歷訓練基礎(chǔ)夯實1. 如圖，已知是的直徑，弦,那么的值是 （成都市中考題） 第3題第2題第1題2. 如圖2，是放置在正方形網(wǎng)格中的一個角，則的值是 。（濟南市中考題）3. 如圖3，在中，,，則的面積為 。（2011年昆明市中考題）4.在中，均為銳角，,且,則的值為 （2008年浙江省中考題）第7題第6題第5題5

5、.如圖，在中，,則=( )A. B. C. D.（安徽省中考題）6. 如圖，在圖，在中，,則的值是（ ） A. B. C. D.（2011年荊州市中考題）7. 如圖，是平面鏡，光線從點出發(fā)經(jīng)上的點反射后照射到點，若入射角為（入射角等于反射角），于，于，且,則的值為（ ）A. B. C. D.（重慶市中考題）8. 如圖，直角三角紙片的兩直角邊長分別為，現(xiàn)將如圖那樣折疊，使點與點重合，折痕為,則的值是（ ）A. B. C. D.（泰安市中考題）9. 如圖，等腰梯形中，,翻折梯形，使點重合于點，折痕分別交邊于點，若，求（1）的長；（2）的正切值。（上海市中考題）10. 如圖，在中，以直徑的分別交于點

6、，點在延長線上，且。求證：(1) 直線是O的切線。(2) 若，求和的長。第10題（2011年北京市中考題）11. 如圖，在直角梯形中，.（1） 求梯形的面積；（2） 點分別是上的動點，點從點出發(fā)向點運動，點從點出發(fā)向點運動。若兩點均以每秒1個單位的速度同時出發(fā)，連接，求面積的最大值，并說明此時的位置。第11題（濟南市中考題）能力拓展12. 若且 。（武漢市選拔賽試題）13. 已知是兩個銳角，且滿足，則實數(shù)所有可能值的和為 。（2011年“數(shù)學周報杯”全國初中數(shù)學競賽題）14. 如圖，等腰直角三角形中，,為的中點，將折疊，使點與點重合。若為折痕，則的值為 ，的值為 .（第19屆江蘇省競賽題）第1

7、4題第15題第16題15. 如圖，在中，為邊上的一點，若的面積為，則= 。（2011年四川省競賽題）16. 如圖，在梯形中，是上的一點，則的值等于（ ）。A. B. C. D.（天津市競賽題）17. 如圖，已知為等腰直角三角形，若則和的大小關(guān)系為（ ）。A. B. C. D.無法確定18. 已知為實數(shù)，且是關(guān)于的方程的兩根，則的值為（ ）。A. B. C. D.（全國初中數(shù)學聯(lián)賽題）19. 如圖，銳角中，分別是上的高，則（ ）。A. B. C. D.第19題第20題第21題20. 如圖，在中，分別是斜邊上的高和中線，若,求的值。（第18屆江蘇省競賽題）21. 如圖，為O的切線，為切點，過作的垂線，垂足為點，交O于點。延長與O交于點，與的延長線交于點。（1） 求證：為O的切線；（2） 若，求的值。（2011年武漢市中考題）綜合創(chuàng)新22. 設(shè)角為銳角，求證