1、第十章 重積分第1節(jié) 二重積分的概念與性質教學目的：深刻理解二重積分的概念、性質、方法和 基本技巧教學重點：利用二重積分的性質計算教學難點：二重積分的幾何意義教學方法：講解法教學手段：多媒體課件授課教學內容：一、二重積分的概念1. 曲頂柱體的體積設有一空間立體,它的底是面上的有界區(qū)域,它的側面是以的邊界曲線為準線,而母線平行于軸的柱面,它的頂是曲面。當時,在上連續(xù)且,以后稱這種立體為曲頂柱體。曲頂柱體的體積可以這樣來計算:(1) 用任意一組曲線網(wǎng)將區(qū)域分成個小區(qū)域，以這些小區(qū)域的邊界曲線為準線,作母線平行于軸的柱面,這些柱面將原來的曲頂柱體分劃成個小曲頂柱體，。 （假設所對應的小曲頂柱體為,這

2、里既代表第個小區(qū)域,又表示它的面積值, 既代表第個小曲頂柱體,又代表它的體積值。)圖9-1-1從而 (將化整為零)(2) 由于連續(xù),對于同一個小區(qū)域來說,函數(shù)值的變化不大。因此,可以將小曲頂柱體近似地看作小平頂柱體,于是(以不變之高代替變高, 求的近似值)(3) 整個曲頂柱體的體積近似值為(4) 為得到的精確值,只需讓這個小區(qū)域越來越小,即讓每個小區(qū)域向某點收縮。為此,我們引入?yún)^(qū)域直徑的概念:一個閉區(qū)域的直徑是指區(qū)域上任意兩點距離的最大者。所謂讓區(qū)域向一點收縮性地變小,意指讓區(qū)域的直徑趨向于零。設個小區(qū)域直徑中的最大者為, 則2.平面薄片的質量設有一平面薄片占有面上的區(qū)域, 它在處的面密度為,

3、這里,而且在上連續(xù),現(xiàn)計算該平面薄片的質量。圖9-1-2將分成個小區(qū)域 ，用記的直徑, 既代表第個小區(qū)域又代表它的面積。 當很小時, 由于連續(xù), 每小片區(qū)域的質量可近似地看作是均勻的, 那么第小塊區(qū)域的近似質量可取為于是 兩種實際意義完全不同的問題, 最終都歸結同一形式的極限問題。因此,有必要撇開這類極限問題的實際背景, 給出一個更廣泛、更抽象的數(shù)學概念,即二重積分。3. 二重積分的定義設是閉區(qū)域上的有界函數(shù), 將區(qū)域分成個小區(qū)域,其中,既表示第個小區(qū)域, 也表示它的面積, 表示它的直徑。 作乘積 作和式 若極限 存在,則稱此極限值為函數(shù)在區(qū)域上的二重積分,記作 。即 其中: 稱之為被積函數(shù),

4、稱之為被積表達式,稱之為面積元素,稱之為積分變量,稱之為積分區(qū)域,稱之為積分和式。4. 幾個事實(1) 二重積分的存在定理若在閉區(qū)域上連續(xù), 則在上的二重積分存在。聲明: 在以后的討論中,我們總假定在閉區(qū)域上的二重積分存在。(2)中的面積元素象征著積分和式中的。圖9-1-3由于二重積分的定義中對區(qū)域的劃分是任意的,若用一組平行于坐標軸的直線來劃分區(qū)域,那么除了靠近邊界曲線的一些小區(qū)域之外,絕大多數(shù)的小區(qū)域都是矩形,因此,可以將記作(并稱為直角坐標系下的面積元素),二重積分也可表示成為 。(3) 若,二重積分表示以為曲頂,以為底的曲頂柱體的體積。二、二重積分的性質二重積分與定積分有相類似的性質1

5、. 線性性其中: 是常數(shù)。2. 對區(qū)域的可加性若區(qū)域分為兩個部分區(qū)域,則3. 若在上, 為區(qū)域的面積,則幾何意義: 高為1的平頂柱體的體積在數(shù)值上等于柱體的底面積。4. 若在上,則有不等式特別地,由于，有5. 估值不等式設與分別是在閉區(qū)域上最大值和最小值,是的面積,則6. 二重積分的中值定理設函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù), 是的面積,則在上至少存在一點,使得例1 估計二重積分的值,是圓域。解 求被積函數(shù)在區(qū)域上可能的最值是駐點,且 ；在邊界上,于是有小結： 二重積分的定義（和式的極限）二重積分的幾何意義（曲頂柱體的體積）二重積分的性質作業(yè)：P154 EX4（1）（2）(3)， 第2節(jié) 二重積分的計算法教

6、學目的：深刻理解二重積分的計算方法和基本技巧教學重點：熟練掌握二重積分計算教學難點：二重積分在極坐標下的計算教學方法：講解法教學手段：多媒體課件授課教學內容：利用二重積分的定義來計算二重積分顯然是不實際的,二重積分的計算是通過兩個定積分的計算(即二次積分)來實現(xiàn)的。一、利用直角坐標計算二重積分我們用幾何觀點來討論二重積分的計算問題。討論中,我們假定；假定積分區(qū)域可用不等式 表示,其中在上連續(xù)。 圖9-2-1 圖9-2-2據(jù)二重積分的幾何意義可知, 的值等于以為底,以曲面為頂?shù)那斨w的體積。圖9-2-3在區(qū)間上任意取定一個點,作平行于面的平面,這平面截曲頂柱體所得截面是一個以區(qū)間為底,曲線為曲

7、邊的曲邊梯形,其面積為一般地,過區(qū)間上任一點且平行于面的平面截曲頂柱體所得截面的面積為利用計算平行截面面積為已知的立體之體積的方法,該曲頂柱體的體積為從而有 (1)上述積分叫做先對,后對的二次積分,即先把看作常數(shù),只看作的函數(shù),對計算從到的定積分,然后把所得的結果( 它是的函數(shù) )再對從到計算定積分。這個先對, 后對的二次積分也常記作在上述討論中,假定了，利用二重積分的幾何意義,導出了二重積分的計算公式(1)。但實際上,公式(1)并不受此條件限制,對一般的 (在上連續(xù)),公式(1)總是成立的。例1 計算 解 類似地,如果積分區(qū)域可以用下述不等式表示,且函數(shù),在上連續(xù), 在上連續(xù),則 (2) 圖

8、9-2-4 圖9-2-5顯然,(2)式是先對,后對的二次積分。二重積分化二次積分時應注意的問題1. 積分區(qū)域的形狀前面所畫的兩類積分區(qū)域的形狀具有一個共同點:對于I型(或II型)區(qū)域, 用平行于軸(軸 )的直線穿過區(qū)域內部,直線與區(qū)域的邊界相交不多于兩點。如果積分區(qū)域不滿足這一條件時,可對區(qū)域進行剖分,化歸為I型(或II型)區(qū)域的并集。2. 積分限的確定二重積分化二次積分, 確定兩個定積分的限是關鍵。這里,我們介紹配置二次積分限的方法 - 幾何法。畫出積分區(qū)域的圖形(假設的圖形如下 )圖9-2-6在上任取一點,過作平行于軸的直線,該直線穿過區(qū)域,與區(qū)域的邊界有兩個交點與,這里的、就是將,看作常

9、數(shù)而對積分時的下限和上限；又因是在區(qū)間上任意取的,所以再將看作變量而對積分時,積分的下限為、上限為。例2 計算, 其中是由拋物線及直線所圍成的區(qū)域。解 積分區(qū)域可用下列不等式表示例3 求由曲面及所圍成的立體的體積。解 1. 作出該立體的簡圖, 并確定它在面上的投影區(qū)域圖9-2-7消去變量得一垂直于面的柱面,立體鑲嵌在其中,立體在面的投影區(qū)域就是該柱面在面上所圍成的區(qū)域2. 列出體積計算的表達式 3. 配置積分限, 化二重積分為二次積分并作定積分計算圖9-2-8而 由的對稱性有 所求立體的體積為二、利用極坐標計算二重積分1. 變換公式按照二重積分的定義有圖9-2-9現(xiàn)研究這一和式極限在極坐標中的

10、形式。用以極點0為中心的一族同心圓常數(shù) 以及從極點出發(fā)的一族射線常數(shù),將剖分成個小閉區(qū)域。除了包含邊界點的一些小閉區(qū)域外,小閉區(qū)域的面積可如下計算其中,表示相鄰兩圓弧半徑的平均值。在小區(qū)域上取點,設該點直角坐標為,據(jù)直角坐標與極坐標的關系有于是即由于也常記作, 因此,上述變換公式也可以寫成更富有啟發(fā)性的形式 (1)(1)式稱之為二重積分由直角坐標變量變換成極坐標變量的變換公式,其中,就是極坐標中的面積元素。(1)式的記憶方法:2. 極坐標下的二重積分計算法極坐標系中的二重積分, 同樣可以化歸為二次積分來計算。(1) 積分區(qū)域可表示成下述形式其中函數(shù),在上連續(xù)。圖9-2-10則 (2) 積分區(qū)域

11、為下述形式圖9-2-11顯然,這只是(1)的特殊形式 ( 即極點在積分區(qū)域的邊界上 )。故 (3) 積分區(qū)域為下述形式圖9-2-12顯然,這類區(qū)域又是情形二的一種變形( 極點包圍在積分區(qū)域的內部 ),可剖分成與,而故 則 由上面的討論不難發(fā)現(xiàn), 將二重積分化為極坐標形式進行計算, 其關鍵之處在于: 將積分區(qū)域用極坐標變量表示成如下形式3. 使用極坐標變換計算二重積分的原則(1) 積分區(qū)域的邊界曲線易于用極坐標方程表示( 含圓弧,直線段 )；(2) 被積函數(shù)表示式用極坐標變量表示較簡單( 含, 為實數(shù) )。例4 計算解 此積分區(qū)域為區(qū)域的簡圖為圖9-2-13該區(qū)域在極坐標下的表示形式為小結： 二

12、重積分計算公式直角坐標系下 X型 Y型極坐標系下 作業(yè)：P154-156 EX2（1）(4), EX6(1)(3)(5), EX13(2)(3), EX14(1). EX15(1)(4)第3節(jié) 三重積分教學目的：深刻理解三重積分的概念、計算方法教學重點：熟練掌握三重積分的計算教學難點：計算三重積分時坐標系的選擇教學方法：講解法教學手段：多媒體課件授課教學內容：一、三重積分的概念設是空間閉區(qū)域上的有界函數(shù),將任意地分劃成個小區(qū)域 ，其中表示第個小區(qū)域,也表示它的體積。在每個小區(qū)域上任取一點, 作乘積，作和式， 以記這個小區(qū)域直徑的最大者,若極限 存在,則稱此極限值為函數(shù)在區(qū)域上的三重積分,記作,

13、即 =.其中叫體積元素。自然地,體積元素在直角坐標系下也可記作成。1、三重積分的存在定理若函數(shù)在區(qū)域上連續(xù), 則三重積分存在。2、三重積分的物理意義如果表示某物體在處的質量密度, 是該物體所占有的空間區(qū)域,且在上連續(xù),則和式 就是物體質量的近似值, 該和式當時的極限值就是該物體的質量。故 = 特別地, 當=1時,的體積.二、三重積分的計算法1、利用直角坐標計算三重積分假設積分區(qū)域的形狀如下圖所示.在面上的投影區(qū)域為, 過上任意一點, 作平行于軸的直線穿過內部, 與邊界曲面相交不多于兩點。 亦即, 的邊界曲面可分為上、下兩片部分曲面。 , 其中, 在上連續(xù), 并且 。圖9-4-1如何計算三重積分

14、呢?不妨先考慮特殊情況=1,則即 一般情況下,類似地有顯然積分只是把看作的函數(shù)在區(qū)間上對求定積分, 因此,其結果應是的函數(shù), 記那么 如上圖所示, 區(qū)域可表示為從而 綜上討論, 若積分區(qū)域可表示成則 這就是三重積分的計算公式, 它將三重積分化成先對積分變量, 次對,最后對的三次積分。 如果平行于 軸且穿過內部的直線與邊界曲面的交點多于兩個,可仿照二重積分計算中所采用的方法, 將剖分成若干個部分,(如),使在上的三重積分化為各部分區(qū)域( )上的三重積分,當然各部分區(qū)域 () 應適合對區(qū)域的要求。 例1 計算, 其中為球面及三坐標面所圍成的位于第一卦限的立體。解 (1) 畫出立體的簡圖圖9-4-2

15、(2) 找出立體在某坐標面上的投影區(qū)域并畫出簡圖在面上的投影區(qū)域為 (3) 確定另一積分變量的變化范圍在內任取一點, 作一過此點且平行于軸的直線穿過區(qū)域, 則此直線與邊界曲面的兩交點之豎坐標即為的變化范圍。即(4) 選擇一種次序,化三重積分為三次積分小結： 三重積分的定義和計算（化三重積分為三次積分） 直角坐標系下的體積元素作業(yè)：P164 EX1(2)(3)(4)，EX5，EX6第3節(jié) 三重積分（利用柱面坐標和球面坐標計算三重積分）教學目的：掌握三重積分的計算教學重點：熟練掌握三重積分在柱面坐標和球面坐標下的計算教學難點：計算時選擇坐標系教學方法：講解法教學手段：多媒體課件授課教學內容：對于某

16、些三重積分,由于積分區(qū)域和被積函數(shù)的特點,往往要利用柱面坐標和球面坐標來計算。一、利用柱面坐標計算三重積分1. 柱面坐標設為空間的一點,該點在面上的投影為,點的極坐標為,則三個數(shù)稱作點的柱面坐標。圖9-5-1規(guī)定的取值范圍是，柱面坐標系的三組坐標面分別為=常數(shù),即以軸為軸的圓柱面；=常數(shù),即過軸的半平面；=常數(shù),即與面平行的平面。點的直角坐標與柱面坐標之間有關系式 (1)2.三重積分在柱面坐標系中的計算公式圖9-5-2用三組坐標面=常數(shù),=常數(shù),=常數(shù),將分割成許多小區(qū)域,除了含的邊界點的一些不規(guī)則小區(qū)域外,這種小閉區(qū)域都是柱體?？疾煊筛魅〉梦⑿≡隽克傻闹w,該柱體是底面積為,高為的柱體,其

17、體積為這便是柱面坐標系下的體積元素, 并注意到(1)式有 (2)(2)式就是三重積分由直角坐標變量變換成柱面坐標變量的計算公式。(2)式右端的三重積分計算,也可化為關于積分變量的三次積分,其積分限要由在中的變化情況來確定。3. 用柱面坐標表示積分區(qū)域的方法(1) 找出在面上的投影區(qū)域, 并用極坐標變量表示之；(2) 在內任取一點, 過此點作平行于軸的直線穿過區(qū)域, 此直線與邊界曲面的兩交點之豎坐標( 將此豎坐標表示成的函數(shù) )即為的變化范圍。例1 用柱坐標計算三重積分,其中是球體位于第一卦限內的部分。解 二、利用球坐標計算三重積分1. 球面坐標如圖所示,空間任意一點也可用三個數(shù)唯一表示。圖9-

18、5-3其中： 為原點到點的距離；為有向線段與軸正向所成夾角；為從正軸來看自軸依逆時針方向轉到有向線段的角度,而點是點在面上的投影點。規(guī)定的取值范圍為 , , 不難看出,點的直角坐標與球面坐標間的關系為 (3)2. 球面坐標系的特點=常數(shù),是以原點為心的球面；=常數(shù),是以原點為頂, 軸為軸的圓錐面；=常數(shù),是過軸的半平面。粗略地講, 變量刻劃點到原點的距離,即“遠近”；變量刻劃點在空間的上下位置,即“上下”；變量刻劃點在水平面上的方位,即“水平面上方位”。3. 三重積分在球面坐標系下的計算公式用三組坐標面=常數(shù), =常數(shù), =常數(shù),將分劃成許多小區(qū)域,考慮當各取微小增量 所形成的六面體,若忽略高

19、階無窮小,可將此六面體視為長方體,其體積近似值為這就是球面坐標系下的體積元素。圖9-5-4由直角坐標與球面坐標的關系式(3)有 (4)(4)式就是三重積分在球面坐標系下的計算公式。(4)式右端的三重積分可化為關于積分變量的三次積分來實現(xiàn)其計算,當然,這需要將積分區(qū)域用球面坐標加以表示。4. 積分區(qū)域的球面坐標表示法積分區(qū)域用球面坐標加以表示較復雜,一般需要參照的幾何形狀,并依據(jù)球坐標變量的特點來決定。實際中經常遇到的積分區(qū)域是這樣的, 是一包圍原點的立體, 其邊界曲面是包圍原點在內的封閉曲面,將其邊界曲面方程化成球坐標方程,據(jù)球面坐標變量的特點有例如, 若是球體 , 則的球坐標表示形式為曲面的

20、球坐標方程為于是 例2 求曲面與曲面所圍成的立體的體積。解 的圖形為圖9-5-5下面根據(jù)圖形及球坐標變量的特點決定的球坐標表示式。(1) 在面的投影區(qū)域包圍原點,故變化范圍應為；(2) 在中為軸轉到錐面的側面,而錐面的半頂角為,故的變化范圍應為；(3) 在內任取一值, 作射線穿過,它與有兩個交點,一個在原點處,另一個在曲面上,用球坐標可分別表示為及 。因此, 故 小結 三重積分換元法柱面坐標的體積元素 球面坐標的體積元素 作業(yè) P164 EX9（2），EX10(1), EX11(1)第4節(jié) 重積分的應用教學目的：掌握二（三）重積分的幾何和物理方面的應用教學重點：利用二（三）重積分的解決實際問題

21、教學難點：二（三）重積分的思想如何用于實際問題教學方法：講解法教學手段：多媒體課件授課教學內容：定積分應用的元素法也可推廣到二重積分,使用該方法需滿足以下條件：1. 所要計算的某個量對于閉區(qū)域具有可加性(即:當閉區(qū)域分成許多小閉區(qū)域時, 所求量相應地分成許多部分量,且。2. 在內任取一個直徑充分小的小閉區(qū)域時, 相應的部分量可近似地表示為 , 其中, 稱為所求量的元素, 并記作。3. 所求量可表示成積分形式 一、曲面的面積設曲面由方程給出, 為曲面在面上的投影區(qū)域,函數(shù)在上具有連續(xù)偏導數(shù)和,現(xiàn)計算曲面的面積。圖9-3-1在閉區(qū)域上任取一直徑很小的閉區(qū)域 (它的面積也記作),在內取一點,對應著曲

22、面上一點,曲面在點處的切平面設為。 以小區(qū)域的邊界為準線作母線平行于軸的柱面, 該柱面在曲面上截下一小片曲面,在切平面上截下一小片平面,由于的直徑很小,那一小片平面面積近似地等于那一小片曲面面積。曲面在點處的法線向量( 指向朝上的那個 )為它與軸正向所成夾角的方向余弦為而 所以 這就是曲面的面積元素, 故即 例1 求球面含在柱面() 內部的面積。解 所求曲面在面的投影區(qū)域 圖9-3-2曲面方程應取為 , 則 , 曲面在面上的投影區(qū)域為圖9-3-3據(jù)曲面的對稱性,有若曲面的方程為或,可分別將曲面投影到面或面,設所得到的投影區(qū)域分別為或,類似地有或二、（平面薄片的）質心1. 平面上的質點系的質心設在平面上有個質點,它們分別位于點處,質量分別為.由力學知道,該質點系的質點的坐標為 , 2. 平面薄片的質心設有一平面薄片,占有面上的閉區(qū)域,