1、1985年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題（共5小題，每小題3分，滿分15分）1（3分）如果正方體abcdabcd的棱長(zhǎng)為a，那么四面體aabd的體積是（）abcd2（3分）的（）a必要條件b充分條件c充分必要條件d既不充分又不必要的條件3（3分）在下面給出的函數(shù)中，哪一個(gè)函數(shù)既是區(qū)間上的增函數(shù)又是以為周期的偶函數(shù)？（）ay=x2（xr）by=|sinx|（xr）cy=cos2x（xr）dy=esin2x（xr）4（3分）極坐標(biāo)方程=asin（a0）的圖象是（）abcd5（3分）用1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字，可以組成比20000大，并且百位數(shù)不是數(shù)字3的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，共有（）a

2、96個(gè)b78個(gè)c72個(gè)d64個(gè)二、解答題（共13小題，滿分90分）6（4分）求方程解集7（4分）設(shè)|a|1，求arccosa+arccos（a）的值8（4分）求曲線y2=16x+64的焦點(diǎn)9（4分）設(shè)（3x1）6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，求a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值10（4分）設(shè)函數(shù)f（x）的定義域是0，1，求函數(shù)f（x2）的定義域11（7分）解方程log4（3x）+log0.25（3+x）=log4（1x）+log0.25（2x+1）12（7分）解不等式13（15分）如圖，設(shè)平面ac和bd相交于bc，它們所成的一個(gè)二面角為45，p為平

3、面ac內(nèi)的一點(diǎn)，q為面bd內(nèi)的一點(diǎn)，已知直線mq是直線pq在平面bd內(nèi)的射影，并且m在bc上又設(shè)pq與平面bd所成的角為，cmq=（090），線段pm的長(zhǎng)為a，求線段pq的長(zhǎng)14（15分）設(shè)o為復(fù)平面的原點(diǎn)，z1和z2為復(fù)平面內(nèi)的兩動(dòng)點(diǎn)，并且滿足：（1）z1和z2所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)的輻角分別為定值和；（2）oz1z2的面積為定值s求oz1z2的重心z所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)的模的最小值15（15分）已知兩點(diǎn)p（2，2），q（0，2）以及一條直線：l：y=x，設(shè)長(zhǎng)為的線段ab在直線l上移動(dòng)，如圖，求直線pa和qb的交點(diǎn)m的軌跡方程（要求把結(jié)果寫成普通方程）16（14分）設(shè)，（1）證明不等式對(duì)所有的正整數(shù)n都成立；

4、（2）設(shè)，用定義證明17（12分）設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，a=（x，y）|x=n，y=na+b，n是整數(shù)，b=（x，y）|x=m，y=3m2+15，m是整數(shù)，c=（x，y）|x2+y2144，是平面xoy內(nèi)的點(diǎn)集合，討論是否存在a和b使得（1）ab（表示空集），（2）（a，b）c同時(shí)成立18已知曲線y=x36x2+11x6在它對(duì)應(yīng)于x0，2的弧段上求一點(diǎn)p，使得曲線在該點(diǎn)的切線在y軸上的截距為最小，并求出這個(gè)最小值1985年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題（共5小題，每小題3分，滿分15分）1（3分）如果正方體abcdabcd的棱長(zhǎng)為a，那么四面體aabd的體積是（）abc

5、d考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積專題：計(jì)算題分析：畫出圖形，直接求解即可解答：解：如圖四面體aabd的體積是v=故選d點(diǎn)評(píng)：本題考查棱錐的體積，是基礎(chǔ)題2（3分）的（）a必要條件b充分條件c充分必要條件d既不充分又不必要的條件考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷 專題：計(jì)算題分析：先解出tanx=1的解，再判斷兩命題的關(guān)系解答：解：由tanx=1得，當(dāng)k=1時(shí)，x=，固由前者可以推出后者，所以tanx=1是的必要條件故選a點(diǎn)評(píng)：此題要注意必要條件，充分條件的判斷，掌握正切函數(shù)的基本性質(zhì)，比較簡(jiǎn)單3（3分）在下面給出的函數(shù)中，哪一個(gè)函數(shù)既是區(qū)間上的增函數(shù)又是以為周期的偶函數(shù)？（）ay=x2（x

6、r）by=|sinx|（xr）cy=cos2x（xr）dy=esin2x（xr）考點(diǎn)：三角函數(shù)的周期性及其求法 專題：壓軸題分析：根據(jù)函數(shù)的周期性和三角函數(shù)的單調(diào)性對(duì)選項(xiàng)逐一驗(yàn)證即可解答：解：y=x2（xr）不是周期函數(shù)，故排除ay=|sinx|（xr）周期為，且根據(jù)正弦圖象知在區(qū)間上是增函數(shù)故選b點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的最小正周期和三角函數(shù)的圖象4（3分）極坐標(biāo)方程=asin（a0）的圖象是（）abcd考點(diǎn)：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程 專題：計(jì)算題；壓軸題分析：先將原極坐標(biāo)方程兩邊同乘以后化成直角坐標(biāo)方程，再利用直角坐標(biāo)方程進(jìn)行判斷解答：解：極坐標(biāo)方程=asin（a0）2=asin，x2+y2

7、=ay，它表示圓心在（0，）的圓故選c點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫點(diǎn)的位置，體會(huì)在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中刻畫點(diǎn)的位置的區(qū)別，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系，即利用cos=x，sin=y，2=x2+y2，進(jìn)行代換即得5（3分）用1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字，可以組成比20000大，并且百位數(shù)不是數(shù)字3的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，共有（）a96個(gè)b78個(gè)c72個(gè)d64個(gè)考點(diǎn)：排列、組合的實(shí)際應(yīng)用 專題：計(jì)算題；壓軸題；分類討論分析：根據(jù)題意，分析首位數(shù)字，要求這個(gè)五位數(shù)比20000大，則首位必須是2，3，4，5這4個(gè)數(shù)字，由于百位數(shù)

8、不是數(shù)字3，分2種情況討論，百位是3，百位是2，4，5，分別求得其情況數(shù)目，由乘法原理，計(jì)算可得答案解答：解：根據(jù)題意，要求這個(gè)五位數(shù)比20000大，則首位必須是2，3，4，5這4個(gè)數(shù)字，分2種情況討論，當(dāng)首位是3時(shí)，百位數(shù)不是數(shù)字3，有a44=24種情況，當(dāng)首位是2，4，5時(shí)，由于百位數(shù)不能是數(shù)字3，有3（a44a33）=54種情況，綜合可得，共有54+24=78個(gè)數(shù)字符合要求，故選b點(diǎn)評(píng)：本題考查排列、組合的應(yīng)用，注意結(jié)合題意，進(jìn)行分類討論，特別是“百位數(shù)不是數(shù)字3”的要求二、解答題（共13小題，滿分90分）6（4分）求方程解集考點(diǎn)：任意角的三角函數(shù)的定義 專題：計(jì)算題分析：直接化簡(jiǎn)方程，

9、利用正弦函數(shù)的定義，求出方程的解解答：解：方程化為： 所以方程解集為：點(diǎn)評(píng)：本題考查任意角的三角函數(shù)的定義，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題7（4分）設(shè)|a|1，求arccosa+arccos（a）的值考點(diǎn)：反三角函數(shù)的運(yùn)用 專題：計(jì)算題分析：直接應(yīng)用反函數(shù)的運(yùn)算法則，求解即可解答：解：arccosa+arccos（a）=arccosa+arccosa=點(diǎn)評(píng)：本題考查反函數(shù)的運(yùn)算，是基礎(chǔ)題8（4分）求曲線y2=16x+64的焦點(diǎn)考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì) 專題：計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想分析：先把曲線方程整理成標(biāo)準(zhǔn)方程，設(shè)x4=t，則可求得y2=16t的焦點(diǎn)坐標(biāo)，則拋物線y2=16（x4）的焦點(diǎn)坐標(biāo)可得解答：解：整理

10、曲線方程可得y2=16（x4）令x4=t，則y2=16t，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0）y2=16（x4）的焦點(diǎn)為（0，0）點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)考查了學(xué)生對(duì)拋物線基礎(chǔ)的靈活運(yùn)用9（4分）設(shè)（3x1）6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，求a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) 專題：計(jì)算題分析：對(duì)等式中的x賦值1求出各項(xiàng)系數(shù)和解答：解：令x=1得26=a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0故a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0=26點(diǎn)評(píng)：本題考查賦值法是求展開式的各項(xiàng)系數(shù)和的重要方法10（4分）設(shè)函數(shù)f（x）的定義域是0，1

11、，求函數(shù)f（x2）的定義域考點(diǎn)：函數(shù)的定義域及其求法 分析：函數(shù)f（x）的定義域是0，1，函數(shù)f（x2）中x20，1，求解即可解答：解：函數(shù)f（x）的定義域是0，1，函數(shù)f（x2）中x20，1，解得x1，1點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的定義域及其求法，是基礎(chǔ)題11（7分）解方程log4（3x）+log0.25（3+x）=log4（1x）+log0.25（2x+1）考點(diǎn)：對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域 專題：計(jì)算題分析：把方程移項(xiàng)，再化為同底的對(duì)數(shù)，利用對(duì)數(shù)性質(zhì)解出自變量的值，由于不是恒等變形，注意驗(yàn)根解答：解：由原對(duì)數(shù)方程得，解這個(gè)方程，得到x1=0，x2=7檢驗(yàn)：x=7是增根，故x=0是原方程的根點(diǎn)

12、評(píng)：本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域12（7分）解不等式考點(diǎn)：其他不等式的解法 專題：計(jì)算題；分類討論分析：分類討論，當(dāng)時(shí)不等式成立，解出不等式解集即可，當(dāng)時(shí)，將不等式的兩邊平方，解出解集即可，最后求出兩個(gè)解集的并集即可解答：解：，解得；（4分）或，解得1x2；（8分）綜上所述，解得（12分）點(diǎn)評(píng)：此題主要考查根號(hào)下的不等式的求解13（15分）如圖，設(shè)平面ac和bd相交于bc，它們所成的一個(gè)二面角為45，p為平面ac內(nèi)的一點(diǎn)，q為面bd內(nèi)的一點(diǎn)，已知直線mq是直線pq在平面bd內(nèi)的射影，并且m在bc上又設(shè)pq與平面bd所成的角為，cmq=（090），線段pm的長(zhǎng)為a，求線段pq的長(zhǎng)考點(diǎn)

13、：平面與平面之間的位置關(guān)系 專題：計(jì)算題分析：過(guò)點(diǎn)p作平面bd的垂線，垂足為r，由pq與平面bd所成的角為，要求pq，可根據(jù)，故我們要先求pr值，而由二面角的平面角為45，我們可得nr=pr，故我們要先根據(jù)mr=，及a2=pr2+mr2，求出nr的值解答：解：自點(diǎn)p作平面bd的垂線，垂足為r，由于直線mq是直線pq在平面bd內(nèi)的射影，所以r在mq上，過(guò)r作bc的垂線，設(shè)垂足為n，則pnbc（三垂線定理因此pnr是所給二面角的平面角，所以pnr=45由于直線mq是直線pq在平面bd內(nèi)的射影，所以pqr=在rtpnr中，nr=prcot45，所以nr=pr在rtmnr中，mr=，在rtpmr中，又

14、已知090，所以在rtprq中，故線段pq的長(zhǎng)為點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面與平面間的位置關(guān)系，二面角，解三角形，根據(jù)已知條件由未知的結(jié)論利用分析法尋求解題思路是解題的關(guān)鍵14（15分）設(shè)o為復(fù)平面的原點(diǎn)，z1和z2為復(fù)平面內(nèi)的兩動(dòng)點(diǎn)，并且滿足：（1）z1和z2所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)的輻角分別為定值和；（2）oz1z2的面積為定值s求oz1z2的重心z所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)的模的最小值考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的基本概念；復(fù)數(shù)求模 專題：綜合題分析：設(shè)出z1，z2和z對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1，z2和z，由于z是oz1z2的重心，表示其關(guān)系，求解即可解答：解：設(shè)z1，z2和z對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1，z2和z，其中z1=r1（co+isi

15、n），z2=r2（coisin）由于z是oz1z2的重心，根據(jù)復(fù)數(shù)加法的幾何意義，則有3z=z1+z2=（r1+r2）cos+（r1r2）isin于是|3z|2=（r1+r2）2cos2+（r1r2）2sin2=（r1r2）2cos2+4r1r2cos2+（r1r2）2sin2=（r1r2）2+4r1r2cos2又知oz1z2的面積為定值s及，所以，即由此，故當(dāng)r1=r2=時(shí)，|z|最小，且|z|最小值=點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)數(shù)的基本概念，復(fù)數(shù)求模，是中檔題15（15分）已知兩點(diǎn)p（2，2），q（0，2）以及一條直線：l：y=x，設(shè)長(zhǎng)為的線段ab在直線l上移動(dòng)，如圖，求直線pa和qb的交點(diǎn)m的軌跡方

16、程（要求把結(jié)果寫成普通方程）考點(diǎn)：軌跡方程 專題：計(jì)算題；交軌法分析：根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)a和b分別是（a，a）和（a+1，a+1），直線pa的方程是，直線qb的方程是當(dāng)，即a=0時(shí)，直線pa和qb平行，無(wú)交點(diǎn)；當(dāng)a0時(shí)，直線pa與qb相交，設(shè)交點(diǎn)為m（x，y），由此能得到直線pa和qb的交點(diǎn)m的軌跡方程解答：解：由于線段ab在直線y=x上移動(dòng)，且ab的長(zhǎng)，所以可設(shè)點(diǎn)a和b分別是（a，a）和（a+1，a+1），其中a為參數(shù)于是可得：直線pa的方程是直線qb的方程是（1）當(dāng)，即a=0時(shí)，直線pa和qb平行，無(wú)交點(diǎn)（2）當(dāng)a0時(shí)，直線pa與qb相交，設(shè)交點(diǎn)為m（x，y），由（2）式得，將上述兩式代入（1

17、）式，得整理得x2y2+2x2y+8=0，即當(dāng)a=2或a=1時(shí)，直線pa和qb仍然相交，并且交點(diǎn)坐標(biāo)也滿足（*）式所以（*）式即為所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)分析，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地選取公式16（14分）設(shè)，（1）證明不等式對(duì)所有的正整數(shù)n都成立；（2）設(shè)，用定義證明考點(diǎn)：不等式的證明；極限及其運(yùn)算 專題：證明題分析：（1）考慮an和式的通項(xiàng)，先對(duì)其進(jìn)行放縮，結(jié)合數(shù)列的求和公式即可證得；（2）欲用定義證明即證對(duì)任意指定的正數(shù)，要使解答：證：（1）由不等式對(duì)所有正整數(shù)k成立，把它對(duì)k從1到n（n1）求和，得到1+2+3+nan又因1+2+3

18、+n=，以及1+3+5+（2n+1）=，對(duì)所有的正整數(shù)n都成立（2）由（1）及bn的定義知對(duì)任意指定的正數(shù)，要使，只要使，即只要使取n是的整數(shù)部分，則數(shù)列bn的第n項(xiàng)以后所有的項(xiàng)都滿足根據(jù)極限的定義，證得點(diǎn)評(píng)：本題主要考查不等式的證明，主要采用了放縮法放縮是一種重要的變形手段，但是放縮的對(duì)象以及放縮的尺度不易掌握，技巧性較強(qiáng)17（12分）設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，a=（x，y）|x=n，y=na+b，n是整數(shù)，b=（x，y）|x=m，y=3m2+15，m是整數(shù)，c=（x，y）|x2+y2144，是平面xoy內(nèi)的點(diǎn)集合，討論是否存在a和b使得（1）ab（表示空集），（2）（a，b）c同時(shí)成立考點(diǎn)：集合

19、關(guān)系中的參數(shù)取值問(wèn)題；點(diǎn)到直線的距離公式 專題：壓軸題分析：a、b、c是點(diǎn)的集合，由y=na+b和y=3m2+15想到直線和拋物線ab表示直線和拋物線有公共點(diǎn)，故只需聯(lián)力方程，0得a，b的關(guān)系式，再考慮與集合c中x2+y2144表示的以原點(diǎn)為圓心，以12為半徑的圓及內(nèi)部點(diǎn)的關(guān)系即可解答：解：據(jù)題意，知 a=（x，y）|x=n，y=an+b，nz b=（x，y）|x=m，y=3m2+15，mz 假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，b，使得ab成立，則方程組 y=ax+b y=3x2+15 有解，且xz消去y，方程組化為 3x2ax+15b=0方程有解，=a212（15b）0a212b180又由（2），得 a2+b2144由+，得 b212b36（b6）20 b=6代入，得 a2108代入，得 a2108a2=108a=63 將a=6，b=6代入方程，得 3x26x+9=0解之得 x=，與xz矛盾 不存在實(shí)數(shù)a，b