1、2014年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考 試（湖北卷） 數(shù)學(xué)（理科） 一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的 四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求 （1）【2014年湖北，理1，5分】為虛數(shù)單位，則（ ） （a） （b） （c） （d） 【答案】a 【解析】因?yàn)?，故選a 【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，容易題 （2）【2014年湖北，理2，5分】若二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的系數(shù)是84，則實(shí) 數(shù)（ ） （a）2 （b） （c）1 （d） 【答案】d 【解析】因?yàn)?，令，得，解得，故選d 【點(diǎn)評(píng)】本題考查二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，容易題 （3）【2014年湖北，理3，5分】設(shè)為全集，是集合，則“

2、存在集合使 得，是“”的（ ） （a）充分而不必要條件 （b）必要而不充分條件 （c）充要條件 （d）既不充分也不必要條件 【答案】a 【解析】依題意，若，則，可得；若，不能推出，故選a 【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合與集合的關(guān)系，充分條件與必要條件判斷，容易 題 （4）【2014年湖北，理4，5分】根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù) 345678 4.02.5-0.50.5-2.0-3.0 得到的回歸方程為，則（ ） （a）， （b）， （c）， （d）， 【答案】b 【解析】依題意，畫(huà)散點(diǎn)圖知，兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)，所以，故選b 【點(diǎn)評(píng)】本題考查根據(jù)已知樣本數(shù)判斷線(xiàn)性回歸方程中的與的符 號(hào)，容易題 （5）【2014年湖北，

3、理5，5分】在如 圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，一 個(gè)四面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別 是，給出編號(hào)、 、的四個(gè)圖，則該四面體的 正視圖和俯視圖分別為（ ） （a）和（b）和（c）和（d）和 【答案】d 【解析】在坐標(biāo)系中標(biāo)出已知的四個(gè)點(diǎn)，根據(jù)三視圖的畫(huà)圖 規(guī)則判斷三棱錐的正視圖為與俯 視圖為，故選d 【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間由已知條件，在空間坐標(biāo)系中作出幾何體的形 狀，再正視圖與俯視圖， 容易題 （6）【2014年湖北，理6，5分】若函數(shù)，滿(mǎn)足，則稱(chēng)，為區(qū)間 上的一 組正交函數(shù)，給出三組函數(shù)：，；，；,，其中為區(qū)間的正交 函數(shù)的組數(shù)是（ ） （a）0 （b）1 （c）2 （d）3 【答案】c 【解析】對(duì)，則，為

4、區(qū)間上的正交函數(shù)； 對(duì)，則，不為區(qū)間上的正交函數(shù)； 對(duì)，則，為區(qū)間上的正交函數(shù)，所以滿(mǎn)足條件的正交函數(shù)有2組， 故選c 【點(diǎn)評(píng)】新定義題型，本題考查微積分基本定理的運(yùn)用，容易題 （7）【2014年湖北，理7，5分】由不等式確定的平面區(qū) 域記為，不等式，確定的平面區(qū)域記為，在中隨機(jī) 取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好在內(nèi)的概率為（ ） （a） （b） （c） （d） 【答案】d 【解析】依題意，不等式組表示的平面區(qū)域如圖，由幾何公式 知，該點(diǎn)落在內(nèi)的概率為： ，故選d 【點(diǎn)評(píng)】本題考查不等式組表示的平面區(qū)域，面積型的幾何概型，中等 題 （8）【2014年湖北，理8，5分】算數(shù)書(shū)竹簡(jiǎn)于上世紀(jì)八十年代在湖 北省江陵

5、縣張家山出土，這是我國(guó)現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍， 其中記載有求“蓋”的術(shù)：置如其周，令相承也又以高乘之，三十 六成一該術(shù)相當(dāng)于給出了有圓錐的底面周長(zhǎng)與高，計(jì)算其體積的 近似公式它實(shí)際上是將圓錐體積公式中的圓周率近似取為3那么 近似公式相當(dāng)于將圓錐體積公式中的近似取為（ ） （a） （b） （c） （d） 【答案】b 【解析】設(shè)圓錐底面圓的半徑為，高為，依題意，所以，即的近似值 為，故選b 【點(diǎn)評(píng)】本題考查算數(shù)書(shū)中的近似計(jì)算，容易題 （9）【2014年湖北，理9，5分】已知是橢圓和雙曲線(xiàn)的公共焦點(diǎn)，是他們 的一個(gè)公共點(diǎn)，且，則橢圓和雙曲線(xiàn)的離心率的倒數(shù)之和的最大值為 （ ） （a） （b） （

6、c）3 （d）2 【答案】b 【解析】設(shè)橢圓的短半軸為，雙曲線(xiàn)的實(shí)半軸為，半焦距為，由橢圓、 雙曲線(xiàn)的定義得 ，所以，因?yàn)椋捎嘞叶ɡ淼茫?，所以，即，利用基?不等式可得橢圓和雙曲線(xiàn)的離心率的倒數(shù)之和的最大值為，故 選b 【點(diǎn)評(píng)】本題橢圓、雙曲線(xiàn)的定義和性質(zhì)，余弦定理及用基本不等式求 最值，難度中等 （10）【2014年湖北，理10，5分】已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng) 時(shí)， ，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ） （a） （b） （c） （d） 【答案】b 【解析】依題意，當(dāng)時(shí)，作圖可知，的最小值為，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)， 所以當(dāng)時(shí)，的最大值為，因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù)都有，所以，解 得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選

7、b 【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的奇函數(shù)性質(zhì)、分段函數(shù)、最值及恒成立，難度 中等 二、填空題：共6小題，考生需作答5小題，每小題5分，共25分請(qǐng)將 答案填在答題卡對(duì)應(yīng)題號(hào)的位置上答錯(cuò)位置，書(shū)寫(xiě)不清，模棱兩可 均不得分 （一）必考題（11-14題） （11）【2014年湖北，理11，5分】設(shè)向量，若，則實(shí)數(shù) 【答案】 【解析】因?yàn)?，因?yàn)椋?所以，解得 【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積，容易題 （12）【2014年湖北，理12，5分】直線(xiàn)和將單位圓分成長(zhǎng) 度相等的四段弧，則 【答案】2 【解析】依題意，圓心到兩條直線(xiàn)的距離相等，且每段弧 的長(zhǎng)度都是圓周的，即， ，所以，故 【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線(xiàn)與

8、圓相交，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式， 容易題 （13）【2014年湖北，理13，5分】設(shè)是一個(gè)各位數(shù)字都 不是0且沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)將組 成的3個(gè)數(shù)字按從小到大排成的三位數(shù)記為，按從大到小排成的 三位數(shù)記為 （例如，則，）閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序， 任意輸入一個(gè)，輸出的結(jié)果 【答案】495 【解析】當(dāng)，則，當(dāng)，則；當(dāng)， 則，終止循環(huán)，故輸出 【點(diǎn)評(píng)】新定義題型，本題考查程序框圖，當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)，容易題 （14）【2014年湖北，理14，5分】設(shè)是定義在上的函數(shù)，且，對(duì)任 意,，若經(jīng)過(guò)點(diǎn),的直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為，則稱(chēng)為,關(guān)于函數(shù)的平均數(shù)， 記為，例如，當(dāng)時(shí)，可得，即為的算術(shù)平均數(shù) （1）當(dāng)=_

9、（）時(shí)，為的幾何平均數(shù)； （2）當(dāng)=_（）時(shí)，為的調(diào)和平均數(shù)； （以上兩空各只需寫(xiě)出一個(gè)符合要求的函數(shù)即可） 【答案】（1）（2）（或填（1）（2），其中為正常數(shù)均可） 【解析】設(shè)，則經(jīng)過(guò)點(diǎn)，的直線(xiàn)方程為，令，所以，所以當(dāng)，為的調(diào)和平 均數(shù) 【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩個(gè)數(shù)的幾何平均數(shù)與調(diào)和平均數(shù)，難度中等 （一）選考題（請(qǐng)考生在第15、16兩題中任選一題作 答，請(qǐng)先在答題卡指定位置將你所選的題目序號(hào)后 的方框用2b鉛筆涂黑，如果全選，則按第15題作答 結(jié)果計(jì)分） （15）【2014年湖北，理15，5分】（選修4-1：幾何證明選講）如圖， 為的兩條切線(xiàn)，切 點(diǎn)分別為，過(guò)的中點(diǎn)作割線(xiàn)交于兩點(diǎn)，若，則 _

10、【答案】 【解析】由切割線(xiàn)定理得，所以， 【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的切線(xiàn)長(zhǎng)定理，切割線(xiàn)定理，容易題 （16）【2014年湖北，理16，5分】（選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）已 知曲線(xiàn)的參數(shù)方程是（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸 的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程是，則 與交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為 【答案】 【解析】由，消去得，由得，解方程組，得與的交點(diǎn)坐標(biāo)為 【點(diǎn)評(píng)】本題考查參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程與平面直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，曲 線(xiàn)的交點(diǎn)，容易題 三、解答題：共6題，共75分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明 過(guò)程 （17）【2014年湖北，理17，11分】某實(shí)驗(yàn)室一天的溫度（單位：）隨時(shí) 間（單位：h

11、）的變化近似滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系； （1）求實(shí)驗(yàn)室這一天的最大溫差； （2）若要求實(shí)驗(yàn)室溫度不高于，則在哪段時(shí)間實(shí)驗(yàn)室需要降 溫？ 解：（1）因?yàn)?，又?所以，當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，于是在上取得最大值12，取得最小值8， 故實(shí)驗(yàn)室這一天最高溫度為12，最低溫度為8，最大溫差 為4 （2）依題意，當(dāng)時(shí)實(shí)驗(yàn)室需要降溫，由（1）得， 故有，即，又， 因此，即，在10時(shí)至18時(shí)實(shí)驗(yàn)室需要降溫 （18）【2014年湖北，理18，12分】已知等差數(shù)列滿(mǎn)足：，且成等比數(shù) 列 （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)n，使得?若存在，求n的最小 值；若不 存在，說(shuō)明理由 解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，

12、依題意，成等比數(shù)列，故有，化簡(jiǎn)得， 解得或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，從而得數(shù)列的通項(xiàng) 公式為或 （2）當(dāng)時(shí)，顯然，此時(shí)不存在正整數(shù)，使得成立， 當(dāng)時(shí)，令，即， 解得或（舍去），此時(shí)存在正整數(shù)，使得成立，的最小值為41 綜上，當(dāng)時(shí)，不存在滿(mǎn)足題意的；當(dāng)時(shí)，存在滿(mǎn) 足題意的，其最小值為41 （19）【2014年湖北，理19，12分】如圖，在棱長(zhǎng)為2的 正方體中，分 別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)分別在棱，上移動(dòng)，且 （1）當(dāng)時(shí)，證明：直線(xiàn)平面； （2）是否存在，使平面與面所成的二面角？若存在，求出的值； 若不存 在，說(shuō)明理由 解：解法一： （1）如圖1，連接，由是正方 體，知 ，當(dāng)時(shí)，是的中點(diǎn)，又是 的中點(diǎn)，所以，所以，

13、而 平面 ，且平面，故直線(xiàn)平面 （2）如圖2，連接，因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)， 所以，且，又，所以四邊形是平行四邊形，故， 且，從而，且，在和中，因?yàn)椋?于是，所以四邊形是等腰梯形同理可證四邊形是等腰梯形 分別取的中點(diǎn)為，連接，則，而， 故是面與面所成的二面角的平面角 若存在，使面與面所成的二面角為直二面角，則，連接，則 由，且，知四邊形是平行四邊形，連接，因?yàn)?，是，?中點(diǎn)，所以，在中， ，由，得， 解得，故存在，使面與面所成的二面角為直二面角 解法二： 以為原點(diǎn)，射線(xiàn)分別為軸的正半軸建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo) 年入流量x40x120 發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行 臺(tái)數(shù) 123 系，由已知 得， （1）當(dāng)

14、時(shí)，因?yàn)椋?，即，而平面?且平面，故直線(xiàn)平面 （2）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則由，可得，于是可取， 同理可得平面的一個(gè)法向量為，若存在，使面與面所成的二 面角為直二面角，則，即，解得 故存在，使面與面所成的二面角為直二面角 （20）【2014年湖北，理20，12分】計(jì)劃在某水庫(kù)建一座至多安裝3臺(tái)發(fā) 電機(jī)的水電站，過(guò)去50年的水文資料顯示，水庫(kù)年入流量(年入流 量：一年內(nèi)上游來(lái)水與庫(kù)區(qū)降水之和單位：億立方米）都在40以 上其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過(guò)120的年份有 35年，超過(guò)120的年份有5年將年入流量在以上三段的頻率作為相 應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的年入流量相互獨(dú)立 （1

15、）求未來(lái)4年中，至多1年的年入流量超過(guò)120的概率； （2）水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行，但每年發(fā)電機(jī)最多可 運(yùn)行臺(tái)數(shù)受年入流量限制，并有如下 關(guān)系；若某臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，則該臺(tái)年利潤(rùn)為5000萬(wàn)元；若某 臺(tái)發(fā)電機(jī)未運(yùn)行，則該臺(tái)年虧損800萬(wàn) 元，欲使水電站年總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多 少臺(tái)？ 解：（1）依題意， 由二項(xiàng)分布，在未來(lái)4年中至多有1年的年入流量超過(guò)120的概 率為 （2）記水電站年總利潤(rùn)為（單位：萬(wàn)元） （1）安裝1臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形：由于水庫(kù)年入流量總大于40，故 一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行的概率為1，對(duì)應(yīng)的年 利潤(rùn) （2）安裝2臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形：依題意，當(dāng)時(shí)，一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此 時(shí)，

16、因此；當(dāng)時(shí)，兩臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行， 此時(shí)，因此；由此得的分布列如下： 420010000 0.20.8 所以， （3）安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形：當(dāng)時(shí)，一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)， 因此；當(dāng)時(shí)，兩臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí) ，因此； 當(dāng)時(shí)，三臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，因此， 由此得的分布列如下： 3400920015000 0.20.70.1 所以， 綜上，欲使水電站年總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電 機(jī)2臺(tái) （21）【2014年湖北，理21，14分】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到點(diǎn)的距離 比它到軸的距離多1，記點(diǎn)的軌跡為 （1）求軌跡為的方程； （2）設(shè)斜率為的直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，求直線(xiàn)與軌跡好有一個(gè)公共點(diǎn)，兩個(gè)公共 點(diǎn)，三個(gè)公共點(diǎn)時(shí) 的相應(yīng)

17、取值范圍 解：（1）設(shè)點(diǎn)，依題意得，即，化簡(jiǎn)整理得， 故點(diǎn)的軌跡的方程為 （2）在點(diǎn)的軌跡中，記，依題意，可設(shè)直線(xiàn)的方程為， 由方程組，可得 （1）當(dāng)時(shí)，此時(shí)，把代入軌跡的方程，得， 故此時(shí)直線(xiàn)與軌跡恰好有一個(gè)公共點(diǎn) （2）當(dāng)時(shí)，方程的判別式為 設(shè)直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為，則由，令，得 （）若由解得，或，即當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與沒(méi)有公共 點(diǎn)，與有一個(gè)公共點(diǎn)，故此時(shí)直線(xiàn)與軌跡恰好有一 個(gè)公共點(diǎn) （）若或，由解得，或，即當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與 只有一個(gè)公共點(diǎn)，與有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與 有兩個(gè)公共點(diǎn)，與沒(méi) 有公共點(diǎn)，故當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與軌跡恰好有兩個(gè)公共 點(diǎn) （）若由解得，或，即當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與有 兩個(gè)公共點(diǎn)，與有一個(gè)公共點(diǎn)，故此時(shí)直線(xiàn)與軌跡 恰好有三個(gè)公共點(diǎn) 綜合（1）（2）可知，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與軌跡恰好有一個(gè)公共 點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與軌跡恰好有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與 軌跡恰好有三個(gè)公共點(diǎn) （22）【2014年湖北，理22，14分】為圓周率，e =2.71828為自然 對(duì)數(shù)的底數(shù) （1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （2）求這6個(gè)數(shù)中的最大數(shù)與最小數(shù)； （3）將這6個(gè)數(shù)按從小到