1、幾何篇梅涅勞斯定理：當(dāng)直線交三角形ABC三邊所在直線BC、AC、A于點(diǎn)D、E、F時(shí)，（AF/FB）（BD/DC）（CE/EA）=1以及逆定理：在三角形ABC三邊所在直線上有三點(diǎn) D、E、F，且（AF/FB）（BD/DC）（CE/EA）=1，那么 D、E、F三點(diǎn)共線。角元形式梅捏勞斯定理：（sinBAD/sinDAC）(sinACF/sinFCB)(sinCBE/sinEBA)=1塞瓦定理：指在ABC內(nèi)任取一點(diǎn)O，直線AO、BO、CO分別交對邊于D、E、F，則 (BD/DC)(CE/EA)(AF/FB)=1。角元塞瓦定理：AD,BE,CF交于一點(diǎn)的充分必要條件是： (sinBAD/sinDAC)

2、*(sinACF/sinFCB)*(sinCBE/sinEBA)=1逆定理：在ABC的邊BC，CA，AB上分別取點(diǎn)D，E，F(xiàn)，如果(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1那么直線AD，BE，CF相交于同一點(diǎn)?！闭叶ɡ恚涸贏BC中，角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，三角形外接圓的半徑為R。則有： a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R余弦定理：，在ABC中，余弦定理可表示為：c=a+b-2ab cosCa=b+c-2bc cosAb=a+c-2ac cosB托勒密定理：指圓內(nèi)接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積。三弦定理：由圓上一點(diǎn)引出三條弦,中間一弦與最大角正弦

3、的積等于其余每條弦與不相鄰角正弦的積之和。用圖表述；圓上一點(diǎn)A,引出三條弦AB(左)、AC(右)、及中間弦AD,BC與AD交于P,根據(jù)三弦定理,有以下關(guān)系,ABsinCAP +ACsinBAP= ADsinBAC。西姆松定理：過三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊的垂線，則三垂足共線。（此線常稱為西姆松線）斯特瓦爾特定理設(shè)已知ABC及其底邊上B、C兩點(diǎn)間的一點(diǎn)D，則有ABDC+ACBD-ADBC=BCDCBD。張角定理：在ABC中，D是BC上的一點(diǎn)，連結(jié)AD。那么sinBAD/AC+sinCAD/AB=sinBAC/AD。逆定理： 如果sinBAD/AC+sinCAD/AB=sinBA

4、C/AD，那么B,D,C三點(diǎn)共線。蝴蝶定理：設(shè)M為圓內(nèi)弦PQ的中點(diǎn)，過M作弦AB和CD。設(shè)AD和BC各相交PQ于點(diǎn)X和Y，則M是XY的中點(diǎn)。萊莫恩（Lemoine）定理內(nèi)容：過ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C作它的外接圓的切線，分別和BC、CA、AB所在直線交于P、Q、R，則P、Q、R三點(diǎn)共線。直線PQR稱為ABC的萊莫恩線。笛沙格同調(diào)定理：平面上有兩個(gè)三角形ABC、DEF，設(shè)它們的對應(yīng)頂點(diǎn)（A和D、B和E、C和F）的連線交于一點(diǎn)，這時(shí)如果對應(yīng)邊或其延長線相交，則這三個(gè)交點(diǎn)共線。五心的性質(zhì)三角形的五心有許多重要性質(zhì)，它們之間也有很密切的聯(lián)系，如：（1）三角形的重心與三頂點(diǎn)的連線所構(gòu)成的三個(gè)三角形面積

5、相等；（2）三角形的外心到三頂點(diǎn)的距離相等；（3）三角形的垂心與三頂點(diǎn)這四點(diǎn)中，任一點(diǎn)是其余三點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的垂心；（4）三角形的內(nèi)心、旁心到三邊距離相等；（5）三角形的垂心是它垂足三角形的內(nèi)心；或者說，三角形的內(nèi)心是它旁心三角形的垂心；（6）三角形的外心是它的中點(diǎn)三角形的垂心；（7）三角形的重心也是它的中點(diǎn)三角形的重心；（8）三角形的中點(diǎn)三角形的外心也是其垂足三角形的外心（9）三角形的任一頂點(diǎn)到垂心的距離，等于外心到對邊的距離的二倍.下面是更為詳細(xì)的性質(zhì)：垂心三角形三邊上的高的交點(diǎn)稱為三角形的垂心。三角形垂心有下列有趣的性質(zhì)：設(shè)ABC的三條高為AD、BE、CF，其中D、E、F為垂足,垂心為

6、H。性質(zhì)1垂心H關(guān)于三邊的對稱點(diǎn)，均在ABC的外接圓上。性質(zhì)2 ABC中,有六組四點(diǎn)共圓，有三組(每組四個(gè))相似的直角三角形，且AHHD=BHHE=CHHF。性質(zhì)3 H、A、B、C四點(diǎn)中任一點(diǎn)是其余三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的垂心(并稱這樣的四點(diǎn)為一垂心組)。性質(zhì)4 ABC,ABH,BCH,ACH的外接圓是等圓。性質(zhì)5 在非直角三角形中,過H的直線交AB、AC所在直線分別于P、Q，則 AB/APtanB+ AC/AQtanC=tanA+tanB+tanC。性質(zhì)6 三角形任一頂點(diǎn)到垂心的距離，等于外心到對邊的距離的2倍。性質(zhì)7 設(shè)O，H分別為ABC的外心和垂心，則BAO=HAC，ABH=OBC，BCO=

7、HCA。性質(zhì)8銳角三角形的垂心到三頂點(diǎn)的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之和的2倍。性質(zhì)9銳角三角形的垂心是垂足三角形的內(nèi)心；銳角三角形的內(nèi)接三角形(頂點(diǎn)在原三角形的邊上)中，以垂足三角形的周長最短。內(nèi)心三角形的內(nèi)切圓的圓心簡稱為三角形的內(nèi)心，即三角形三個(gè)角平分線的交點(diǎn)。內(nèi)心有下列優(yōu)美的性質(zhì)：性質(zhì)1 設(shè)I為ABC的內(nèi)心,則I為其內(nèi)心的充要條件是：到ABC三邊的距離相等。性質(zhì)2 設(shè)I為ABC的內(nèi)心，則BIC=90+1/2A，類似地還有兩式；反之亦然。性質(zhì)3 設(shè)I為ABC內(nèi)一點(diǎn)，AI所在直線交ABC的外接圓于D。I為ABC內(nèi)心的充要條件是ID=DB=DC。性質(zhì)4 設(shè)I為ABC的內(nèi)心，BC=a，AC

8、=b，AB=c，I在BC、AC、AB上的射影分別為D、E、F；內(nèi)切圓半徑為r，令p= (1/2)(a+b+c)，則(1)SABC=pr；(2)r=2SABC/a+b+c ；(3)AE=AF=p-a,BD=BF=p-b,CE=CD=p-c；(4)abcr=pAIBICI。性質(zhì)5 三角形一內(nèi)角平分線與其外接圓的交點(diǎn)到另兩頂點(diǎn)的距離與到內(nèi)心的距離相等；反之，若I為ABC的A平分線AD(D在ABC的外接圓上)上的點(diǎn)，且DI=DB，則I為ABC的內(nèi)心。性質(zhì)6 設(shè)I為ABC的內(nèi)心，BC=a，AC=b，AB=c，A的平分線交BC于K,交ABC的外接圓于D，則 AI/KI =AD/DI =DI/DK = (b

9、+c)/a。外心三角形的外接圓的圓心簡稱三角形的外心.即三角形三邊中垂線的交點(diǎn)。外心有如下一系列優(yōu)美性質(zhì)：性質(zhì)1三角形的外心到三頂點(diǎn)的距離相等，反之亦然。性質(zhì)2 設(shè)O為ABC的外心，則BOC=2A，或BOC=360-2A(還有兩式)。性質(zhì)3 設(shè)三角形的三條邊長，外接圓的半徑、面積分別為a、b、c,R、S，則R=abc/4S。性質(zhì)4 過ABC的外心O任作一直線與邊AB、AC(或延長線)分別相交于P、Q兩點(diǎn)，則AB/AP sin2B+ AC/AQsin2C=sin2A+sin2B+sin2C。性質(zhì)5銳角三角形的外心到三邊的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之和。重心性質(zhì)1 設(shè)G為ABC的重心，ABC

10、內(nèi)的點(diǎn)Q在邊BC、CA、AB邊上的射影分別為D、E、F，則當(dāng)Q與G重合時(shí)QDQEQF最大；反之亦然。性質(zhì)2 設(shè)G為ABC的重心，AG、BG、CG的延長線交ABC的三邊于D、E、F,則SAGF=SBGD=SCGE；反之亦然。性質(zhì)3 設(shè)G為ABC的重心，則SABG=SBCG=SACG= (1/3)SABC；反之亦然。旁心1、三角形一內(nèi)角平分線和另外兩頂點(diǎn)處的外角平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為三角形的旁心。2、每個(gè)三角形都有三個(gè)旁心。3、旁心到三邊的距離相等。圓冪與根軸：與圓冪定理相關(guān)的另一個(gè)概念是根軸。 首先我們有冪的定義：從一點(diǎn)A作一圓周的任一割線，從A起到和圓周相交為止的兩線段之積，稱為點(diǎn)對于圓周的

11、冪。 若A點(diǎn)在圓外，A點(diǎn)的冪等于從A點(diǎn)所引圓周切線的平方，由相交弦定理及割線定理，知道點(diǎn)A的冪為定值。 （1）：兩圓周相交，交點(diǎn)處的切線成直角，則每一圓半徑的平方等于它的圓心對于另一圓周的冪，反之亦然。2）：點(diǎn)A對于以O(shè)為圓心的圓周的冪，等于OA及其半徑的平方差。定理1：對于兩已知圓有等冪的點(diǎn)的軌跡， 是一條垂直于連心線的直線。定義：兩圓等冪點(diǎn)的軌跡，稱為兩圓的根軸或等冪軸。圓外切四邊形四邊分別與圓相切的四邊形稱為圓外切四邊形。 四邊形是圓外切四邊形的重要條件是四邊形的對邊和相等四邊形是圓外切四邊形的充要條件是該四邊形被其對角線所分成的四個(gè)小三角形的四個(gè)內(nèi)心共圓圓內(nèi)接四邊形圓內(nèi)接四邊形的對角互

12、補(bǔ)2、圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對角（就是和它相鄰的內(nèi)角的對角）。如四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，延長AB至E，AC、BD交于P，則BAD+DCB=180，ABC+ADC=180(圓周角的度數(shù)等于所對弧的度數(shù)的一半)ABD=ACD（同弧所對的圓周角相等）。CBE=ADC（外角等于內(nèi)對角）設(shè)AC與BD交于PABPDCP（三個(gè)內(nèi)角對應(yīng)相等）APCP=BPDP（相交弦定理）ABCD+ADCB=ACBD（托勒密定理）代數(shù)篇算術(shù)基本定理：算術(shù)基本定理可表述為：任何一個(gè)大于1的自然數(shù) N ，都可以唯一分解成有限個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積 同余：給定一個(gè)正整數(shù)m，如果兩個(gè)整數(shù)a和b滿足a-b能被m整除，即m|(a-

13、b)，那么就稱整數(shù)a與b對模m同余，記作ab(mod m)。性質(zhì)1 反身性 aa (mod m)2 對稱性 若ab(mod m)，則ba (mod m)3 傳遞性 若ab (mod m)，bc (mod m)，則ac (mod m)4 同余式相加 若ab (mod m)，cd(mod m)，則a+-cb+-d (mod m)5 同余式相乘 若ab (mod m)，cd(mod m)，則acbd (mod m)4 線性運(yùn)算如果a b (mod m)，c d (mod m),那么(1)a c b d (mod m)，(2)a * c b * d (mod m)5 除法若ac bc (mod m)

14、c0 則 a b (mod m/gcd(c,m) 其中g(shù)cd(c,m)表示c,m的最大公約數(shù)特殊地 ,gcd(c,m)=1 則a b (mod m)6 冪運(yùn)算如果a b (mod m)，那么an bn (mod m)7 若a b (mod m)，n|m,則 a b (mod n)8 若a b (mod mi) (i=1,2.n) 則 a b (mod m1,m2,.mn) 其中m1,m2,.mn表示m1,m2,.mn的最小公倍數(shù)9 歐拉定理設(shè)a,mN,(a,m)=1,則a(m)1(mod m)(注:(m)指模m的簡系個(gè)數(shù)， (m)=m-1, 如果m是素?cái)?shù)；(m=q1r1 * q2r2 * .*qiri)=m (1-1/q1)(1-1/q2).(1-1/qi)推論: 費(fèi)馬小定理: 若p為質(zhì)數(shù)，則ap a (mo