1、第一部分 函數(shù)圖象中點的存在性問題11因動點產(chǎn)生的相似三角形問題 12因動點產(chǎn)生的等腰三角形問題 13因動點產(chǎn)生的直角三角形問題 14因動點產(chǎn)生的平行四邊形問題15因動點產(chǎn)生的面積問題16因動點產(chǎn)生的相切問題17因動點產(chǎn)生的線段和差問題第二部分 圖形運動中的函數(shù)關(guān)系問題21由比例線段產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系問題第三部分 圖形運動中的計算說理問題31代數(shù)計算及通過代數(shù)計算進行說理問題32幾何證明及通過幾何計算進行說理問題第四部分 圖形的平移、翻折與旋轉(zhuǎn)41圖形的平移42圖形的翻折43圖形的旋轉(zhuǎn)44三角形45四邊形46圓47函數(shù)的圖象及性質(zhì)11 因動點產(chǎn)生的相似三角形問題課前導(dǎo)學相似三角形的判定定理有3個，

2、其中判定定理1和判定定理2都有對應(yīng)角相等的條件，因此探求兩個三角形相似的動態(tài)問題，一般情況下首先尋找一組對應(yīng)角相等判定定理2是最常用的解題依據(jù)，一般分三步：尋找一組等角，分兩種情況列比例方程，解方程并檢驗如果已知AD，探求ABC與DEF相似，只要把夾A和D的兩邊表示出來，按照對應(yīng)邊成比例，分和兩種情況列方程應(yīng)用判定定理1解題，先尋找一組等角，再分兩種情況討論另外兩組對應(yīng)角相等應(yīng)用判定定理3解題不多見，根據(jù)三邊對應(yīng)成比例列連比式解方程（組）還有一種情況，討論兩個直角三角形相似，如果一組銳角相等，其中一個直角三角形的銳角三角比是確定的，那么就轉(zhuǎn)化為討論另一個三角形是直角三角形的問題求線段的長，要用

3、到兩點間的距離公式，而這個公式容易記錯理解記憶比較好如圖1，如果已知A、B兩點的坐標，怎樣求A、B兩點間的距離呢？我們以AB為斜邊構(gòu)造直角三角形，直角邊與坐標軸平行，這樣用勾股定理就可以求斜邊AB的長了水平距離BC的長就是A、B兩點間的水平距離，等于A、B兩點的橫坐標相減；豎直距離AC就是A、B兩點間的豎直距離，等于A、B兩點的縱坐標相減圖1 圖1 圖2例 1 湖南省衡陽市中考第28題二次函數(shù)yax2bxc（a0）的圖象與x軸交于A(3, 0)、B(1, 0)兩點，與y軸交于點C(0,3m)（m0），頂點為D（1）求該二次函數(shù)的解析式（系數(shù)用含m的代數(shù)式表示）；（2）如圖1，當m2時，點P為第

4、三象限內(nèi)拋物線上的一個動點，設(shè)APC的面積為S，試求出S與點P的橫坐標x之間的函數(shù)關(guān)系式及S的最大值；（3）如圖2，當m取何值時，以A、D、C三點為頂點的三角形與OBC相似？動感體驗 請打開幾何畫板文件名“14衡陽28”，拖動點P運動，可以體驗到，當點P運動到AC的中點的正下方時，APC的面積最大拖動y軸上表示實數(shù)m的點運動，拋物線的形狀會改變，可以體驗到，ACD和ADC都可以成為直角思路點撥1用交點式求拋物線的解析式比較簡便2連結(jié)OP，APC可以割補為：AOP與COP的和，再減去AOC3討論ACD與OBC相似，先確定ACD是直角三角形，再驗證兩個直角三角形是否相似4直角三角形ACD存在兩種情

5、況圖文解析（1）因為拋物線與x軸交于A(3, 0)、B(1, 0)兩點，設(shè)ya(x3)(x1)代入點C(0,3m)，得3m3a解得am所以該二次函數(shù)的解析式為ym(x3)(x1)mx22mx3m（2）如圖3，連結(jié)OP當m2時，C(0,6)，y2x24x6，那么P(x, 2x24x6)由于SAOP(2x24x6)3x26x9， SCOP3x，SAOC9，所以SSAPCSAOPSCOPSAOC3x29x所以當時，S取得最大值，最大值為圖3 圖4 圖5 圖6（3）如圖4，過點D作y軸的垂線，垂足為E過點A作x軸的垂線交DE于F由ym(x3)(x1)m(x1)24m，得D(1,4m)在RtOBC中，O

6、BOC13m如果ADC與OBC相似，那么ADC是直角三角形，而且兩條直角邊的比為13m如圖4，當ACD90時，所以解得m1此時，所以所以CDAOBC如圖5，當ADC90時，所以解得此時，而因此DCA與OBC不相似綜上所述，當m1時，CDAOBC考點伸展 第（2）題還可以這樣割補： 如圖6，過點P作x軸的垂線與AC交于點H由直線AC：y2x6，可得H(x,2x6)又因為P(x, 2x24x6)，所以HP2x26x因為PAH與PCH有公共底邊HP，高的和為A、C兩點間的水平距離3，所以SSAPCSAPHSCPH(2x26x) 例 2 2014年湖南省益陽市中考第21題如圖1，在直角梯形ABCD中，

7、AB/CD，ADAB，B60，AB10，BC4，點P沿線段AB從點A向點B運動，設(shè)APx21cnjy（1）求AD的長；（2）點P在運動過程中，是否存在以A、P、D為頂點的三角形與以P、C、B為頂點的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由；圖1（3）設(shè)ADP與PCB的外接圓的面積分別為S1、S2，若SS1S2，求S的最小值. 動感體驗 請打開幾何畫板文件名“14益陽21”，拖動點P在AB上運動，可以體驗到，圓心O的運動軌跡是線段BC的垂直平分線上的一條線段觀察S隨點P運動的圖象，可以看到，S有最小值，此時點P看上去象是AB的中點，其實離得很近而已思路點撥1第（2）題先確定PCB是直

8、角三角形，再驗證兩個三角形是否相似2第（3）題理解PCB的外接圓的圓心O很關(guān)鍵，圓心O在確定的BC的垂直平分線上，同時又在不確定的BP的垂直平分線上而BP與AP是相關(guān)的，這樣就可以以AP為自變量，求S的函數(shù)關(guān)系式圖文解析（1）如圖2，作CHAB于H，那么ADCH在RtBCH中，B60，BC4，所以BH2，CH所以AD（2）因為APD是直角三角形，如果APD與PCB相似，那么PCB一定是直角三角形如圖3，當CPB90時，AP1028所以，而此時APD與PCB不相似圖2 圖3 圖4如圖4，當BCP90時，BP2BC8所以AP2所以所以APD60此時APDCBP綜上所述，當x2時，APDCBP（3）

9、如圖5，設(shè)ADP的外接圓的圓心為G，那么點G是斜邊DP的中點設(shè)PCB的外接圓的圓心為O，那么點O在BC邊的垂直平分線上，設(shè)這條直線與BC交于點E，與AB交于點F設(shè)AP2m作OMBP于M，那么BMPM5m在RtBEF中，BE2，B60，所以BF4在RtOFM中，F(xiàn)MBFBM4(5m)m1，OFM30，所以O(shè)M所以O(shè)B2BM2OM2在RtADP中，DP2AD2AP2124m2所以GP23m2于是SS1S2(GP2OB2)所以當時，S取得最小值，最小值為圖5 圖6考點伸展關(guān)于第（3）題，我們再討論個問題問題1，為什么設(shè)AP2m呢？這是因為線段ABAPPMBMAP2BM10這樣BM5m，后續(xù)可以減少一

10、些分數(shù)運算這不影響求S的最小值問題2，如果圓心O在線段EF的延長線上，S關(guān)于m的解析式是什么？如圖6，圓心O在線段EF的延長線上時，不同的是FMBMBF(5m)41m此時OB2BM2OM2這并不影響S關(guān)于m的解析式例 3 2015年湖南省湘西市中考第26題如圖1，已知直線yx3與x軸、y軸分別交于A、B兩點，拋物線yx2bxc經(jīng)過A、B兩點，點P在線段OA上，從點O出發(fā)，向點A以每秒1個單位的速度勻速運動；同時，點Q在線段AB上，從點A出發(fā)，向點B以每秒個單位的速度勻速運動，連結(jié)PQ，設(shè)運動時間為t秒（1）求拋物線的解析式；（2）問：當t為何值時，APQ為直角三角形；（3）過點P作PE/y軸，

11、交AB于點E，過點Q作QF/y軸，交拋物線于點F，連結(jié)EF，當EF/PQ時，求點F的坐標；（4）設(shè)拋物線頂點為M，連結(jié)BP、BM、MQ，問：是否存在t的值，使以B、Q、M為頂點的三角形與以O(shè)、B、P為頂點的三角形相似？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由 圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“15湘西26”，拖動點P在OA上運動，可以體驗到，APQ有兩個時刻可以成為直角三角形，四邊形EPQF有一個時刻可以成為平行四邊形，MBQ與BOP有一次機會相似思路點撥1在APQ中，A45，夾A的兩條邊AP、AQ都可以用t表示，分兩種情況討論直角三角形APQ2先用含t的式子表示點P、Q的坐標，進而表示點E

12、、F的坐標，根據(jù)PEQF列方程就好了3MBQ與BOP都是直角三角形，根據(jù)直角邊對應(yīng)成比例分兩種情況討論圖文解析（1）由yx3，得A(3, 0)，B(0, 3)將A(3, 0)、B(0, 3)分別代入yx2bxc，得 解得所以拋物線的解析式為yx22x3（2）在APQ中，PAQ45，AP3t，AQt分兩種情況討論直角三角形APQ：當PQA90時，APAQ解方程3t2t，得t1（如圖2）當QPA90時，AQAP解方程t(3t)，得t1.5（如圖3）圖2 圖3圖4 圖5（3）如圖4，因為PE/QF，當EF/PQ時，四邊形EPQF是平行四邊形所以EPFQ所以yEyPyFyQ因為xPt，xQ3t，所以y

13、E3t，yQt，yF(3t)22(3t)3t24t因為yEyPyFyQ，解方程3t(t24t)t，得t1，或t3（舍去）所以點F的坐標為(2, 3)（4）由yx22x3(x1)24，得M(1, 4)由A(3, 0)、B(0, 3)，可知A、B兩點間的水平距離、豎直距離相等，AB3由B(0, 3)、M(1, 4)，可知B、M兩點間的水平距離、豎直距離相等，BM所以MBQBOP90因此MBQ與BOP相似存在兩種可能：當時，解得（如圖5）當時，整理，得t23t30此方程無實根考點伸展第（3）題也可以用坐標平移的方法：由P(t, 0)，E(t, 3t)，Q(3t, t)，按照PE方向，將點Q向上平移，

14、得F(3t, 3)再將F(3t, 3)代入yx22x3，得t1，或t312 因動點產(chǎn)生的等腰三角形問題課前導(dǎo)學 我們先回顧兩個畫圖問題：1已知線段AB5厘米，以線段AB為腰的等腰三角形ABC有多少個？頂點C的軌跡是什么？2已知線段AB6厘米，以線段AB為底邊的等腰三角形ABC有多少個？頂點C的軌跡是什么？已知腰長畫等腰三角形用圓規(guī)畫圓，圓上除了兩個點以外，都是頂點C已知底邊畫等腰三角形，頂角的頂點在底邊的垂直平分線上，垂足要除外在討論等腰三角形的存在性問題時，一般都要先分類如果ABC是等腰三角形，那么存在ABAC，BABC，CACB三種情況解等腰三角形的存在性問題，有幾何法和代數(shù)法，把幾何法和

15、代數(shù)法相結(jié)合，可以使得解題又好又快幾何法一般分三步：分類、畫圖、計算哪些題目適合用幾何法呢？如果ABC的A（的余弦值）是確定的，夾A的兩邊AB和AC可以用含x的式子表示出來，那么就用幾何法如圖1，如果ABAC，直接列方程；如圖2，如果BABC，那么；如圖3，如果CACB，那么代數(shù)法一般也分三步：羅列三邊長，分類列方程，解方程并檢驗如果三角形的三個角都是不確定的，而三個頂點的坐標可以用含x的式子表示出來，那么根據(jù)兩點間的距離公式，三邊長（的平方）就可以羅列出來圖1 圖2 圖3 圖1例 9 2014年長沙市中考第26題如圖1，拋物線yax2bxc（a、b、c是常數(shù)，a0）的對稱軸為y軸，且經(jīng)過(0

16、,0)和兩點，點P在該拋物線上運動，以點P為圓心的P總經(jīng)過定點A(0, 2)（1）求a、b、c的值；（2）求證：在點P運動的過程中，P始終與x軸相交；（3）設(shè)P與x軸相交于M(x1, 0)、N(x2, 0)兩點，當AMN為等腰三角形時，求圓心P的縱坐標動感體驗 請打開幾何畫板文件名“14長沙26”，拖動圓心P在拋物線上運動，可以體驗到，圓與x軸總是相交的，等腰三角形AMN存在五種情況思路點撥1不算不知道，一算真奇妙，原來P在x軸上截得的弦長MN4是定值2等腰三角形AMN存在五種情況，點P的縱坐標有三個值，根據(jù)對稱性，MAMN和NANM時，點P的縱坐標是相等的圖文解析（1）已知拋物線的頂點為(0

17、,0)，所以yax2所以b0，c0將代入yax2，得解得（舍去了負值）（2）拋物線的解析式為，設(shè)點P的坐標為已知A(0, 2)，所以而圓心P到x軸的距離為，所以半徑PA圓心P到x軸的距離所以在點P運動的過程中，P始終與x軸相交（3）如圖2，設(shè)MN的中點為H，那么PH垂直平分MN在RtPMH中，所以MH24所以MH2因此MN4，為定值等腰AMN存在三種情況：如圖3，當AMAN時，點P為原點O重合，此時點P的縱坐標為0圖2 圖3圖4 圖5如圖4，當MAMN時，在RtAOM中，OA2，AM4，所以O(shè)M2此時xOH2所以點P的縱坐標為如圖5，當NANM時，根據(jù)對稱性，點P的縱坐標為也為如圖6，當NAN

18、M4時，在RtAON中，OA2，AN4，所以O(shè)N2此時xOH2所以點P的縱坐標為如圖7，當MNMA4時，根據(jù)對稱性，點P的縱坐標也為圖6 圖7考點伸展如果點P在拋物線上運動，以點P為圓心的P總經(jīng)過定點B(0, 1)，那么在點P運動的過程中，P始終與直線y1相切這是因為：設(shè)點P的坐標為已知B(0, 1)，所以而圓心P到直線y1的距離也為，所以半徑PB圓心P到直線y1的距離所以在點P運動的過程中，P始終與直線y1相切例 10 2014年湖南省張家界市中考第25題如圖1，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線yax2bxc（a0）過O、B、C三點，B、C坐標分別為(10, 0)和，以O(shè)B為直徑的A

19、經(jīng)過C點，直線l垂直x軸于B點（1）求直線BC的解析式；（2）求拋物線解析式及頂點坐標；（3）點M是A上一動點（不同于O、B），過點M作A的切線，交y軸于點E，交直線l于點F，設(shè)線段ME長為m，MF長為n，請猜想mn的值，并證明你的結(jié)論；（4）若點P從O出發(fā)，以每秒1個單位的速度向點B作直線運動，點Q同時從B出發(fā)，以相同速度向點C作直線運動，經(jīng)過t（0t8）秒時恰好使BPQ為等腰三角形，請求出滿足條件的t值圖1 動感體驗請打開幾何畫板文件名“14張家界25”，拖動點M在圓上運動，可以體驗到，EAF保持直角三角形的形狀，AM是斜邊上的高拖動點Q在BC上運動，可以體驗到，BPQ有三個時刻可以成為等

20、腰三角形 思路點撥1從直線BC的解析式可以得到OBC的三角比，為討論等腰三角形BPQ作鋪墊2設(shè)交點式求拋物線的解析式比較簡便3第（3）題連結(jié)AE、AF容易看到AM是直角三角形EAF斜邊上的高 4第（4）題的PBQ中，B是確定的，夾B的兩條邊可以用含t的式子表示分三種情況討論等腰三角形圖文解析（1）直線BC的解析式為（2）因為拋物線與x軸交于O、B(10, 0)兩點，設(shè)yax(x10)代入點C，得解得所以拋物線的頂點為（3）如圖2，因為EF切A于M，所以AMEF由AEAE，AOAM，可得RtAOERtAME所以12同理34于是可得EAF90所以51由tan5tan1，得所以MEMFMA2，即mn

21、25 圖2（4）在BPQ中，cosB，BP10t，BQt分三種情況討論等腰三角形BPQ：如圖3，當BPBQ時，10tt解得t5如圖4，當PBPQ時，解方程，得 如圖5，當QBQP時，解方程，得圖3 圖4 圖5 圖6考點伸展在第（3）題條件下，以EF為直徑的G與x軸相切于點A如圖6，這是因為AG既是直角三角形EAF斜邊上的中線，也是直角梯形EOBF的中位線，因此圓心G到x軸的距離等于圓的半徑，所以G與x軸相切于點A例 11 2014年湖南省邵陽市中考第26題在平面直角坐標系中，拋物線yx2(mn)xmn（mn）與x軸相交于A、B兩點（點A位于點B的右側(cè)），與y軸相交于點C（1）若m2，n1，求A

22、、B兩點的坐標；（2）若A、B兩點分別位于y軸的兩側(cè)，C點坐標是(0,1)，求ACB的大小；（3）若m2，ABC是等腰三角形，求n的值動感體驗請打開幾何畫板文件名“14邵陽26”，點擊屏幕左下方的按鈕（2），拖動點A在x軸正半軸上運動，可以體驗到，ABC保持直角三角形的形狀點擊屏幕左下方的按鈕（3），拖動點B在x軸上運動，觀察ABC的頂點能否落在對邊的垂直平分線上，可以體驗到，等腰三角形ABC有4種情況思路點撥1拋物線的解析式可以化為交點式，用m，n表示點A、B、C的坐標2第（2）題判定直角三角形ABC，可以用勾股定理的逆定理，也可以用銳角的三角比3第（3）題討論等腰三角形ABC，先把三邊長（

23、的平方）羅列出來，再分類解方程圖文解析（1）由yx2(mn)xmn(xm)(xn)，且mn，點A位于點B的右側(cè)，可知A(m, 0)，B(n, 0)若m2，n1，那么A(2, 0)，B(1, 0)（2）如圖1，由于C(0, mn)，當點C的坐標是(0,1)，mn1，OC1若A、B兩點分別位于y軸的兩側(cè)，那么OAOBm(n)mn1所以O(shè)C2OAOB所以所以tan1tan2所以12又因為1與3互余，所以2與3互余所以ACB90（3）在ABC中，已知A(2, 0)，B(n, 0)，C(0, 2n)討論等腰三角形ABC，用代數(shù)法解比較方便：由兩點間的距離公式，得AB2(n2)2，BC25n2，AC244

24、n2當ABAC時，解方程(n2)244n2，得（如圖2）當CACB時，解方程44n25n2，得n2（如圖3），或n2（A、B重合，舍去）當BABC時，解方程(n2)25n2，得（如圖4），或（如圖5）圖1 圖2 圖3圖4 圖5考點伸展第（2）題常用的方法還有勾股定理的逆定理由于C(0, mn)，當點C的坐標是(0,1)，mn1由A(m, 0)，B(n, 0)，C(0,1)，得AB2(mn)2m22mnn2m2n22，BC2n21，AC2m21所以AB2BC2AC2于是得到RtABC，ACB90第（3）題在討論等腰三角形ABC時，對于CACB的情況，此時A、B兩點關(guān)于y軸對稱，可以直接寫出B(2

25、, 0)，n2例 12 2014年湖南省婁底市中考第27題如圖1，在ABC中，ACB90，AC4cm，BC3cm如果點P由點B出發(fā)沿BA方向向點A勻速運動，同時點Q由點A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動，它們的速度均為1cm/s連結(jié)PQ，設(shè)運動時間為t（s）（0t4），解答下列問題：（1）設(shè)APQ的面積為S，當t為何值時，S取得最大值？S的最大值是多少？（2）如圖2，連結(jié)PC，將PQC沿QC翻折，得到四邊形PQPC，當四邊形PQPC為菱形時，求t的值；（3）當t為何值時，APQ是等腰三角形？圖1 圖2 圖3 圖4動感體驗 請打開幾何畫板文件名“14婁底27”，拖動點Q在AC上運動，可以體驗到，當點

26、P運動到AB的中點時，APQ的面積最大，等腰三角形APQ存在三種情況還可以體驗到，當QC2HC時，四邊形PQPC是菱形思路點撥1在APQ中，A是確定的，夾A的兩條邊可以用含t的式子表示2四邊形PQPC的對角線保持垂直，當對角線互相平分時，它是菱形，圖文解析（1）在RtABC中，AC4，BC3，所以AB5，sinA，cosA作QDAB于D，那么QDAQ sinAt所以SSAPQ當時，S取得最大值，最大值為（2）設(shè)PP與AC交于點H，那么PPQC，AHAPcosA如果四邊形PQPC為菱形，那么PQPC所以QC2HC解方程，得（3）等腰三角形APQ存在三種情況：如圖5，當APAQ時，5tt解得如圖6

27、，當PAPQ時，解方程，得如圖7，當QAQP時，解方程得圖5 圖6 圖7圖8考點伸展在本題情境下，如果點Q是PPC的重心，求t的值如圖8，如果點Q是PPC的重心，那么QCHC解方程，得 例 13 2015年湖南省懷化市中考第22題如圖1，已知RtABC中，C90，AC8，BC6，點P以每秒1個單位的速度從A向C運動，同時點Q以每秒2個單位的速度從ABC方向運動，它們到C點后都停止運動，設(shè)點P、Q運動的時間為t秒（1）在運動過程中，求P、Q兩點間距離的最大值；（2）經(jīng)過t秒的運動，求ABC被直線PQ掃過的面積S與時間t的函數(shù)關(guān)系式；（3）P，Q兩點在運動過程中，是否存在時間t，使得PQC為等腰三

28、角形若存在，求出此時的t值，若不存在，請說明理由（，結(jié)果保留一位小數(shù)）動感體驗請打開幾何畫板文件名“15懷化22”，拖動點P在AC上運動，可以體驗到，PQ與BD保持平行，等腰三角形PQC存在三種情況 思路點撥1過點B作QP的平行線交AC于D，那么BD的長就是PQ的最大值2線段PQ掃過的面積S要分兩種情況討論，點Q分別在AB、BC上3等腰三角形PQC分三種情況討論，先羅列三邊長圖文解析（1）在RtABC中，AC8，BC6，所以AB10如圖2，當點Q在AB上時，作BD/PQ交AC于點D，那么所以AD5所以CD3如圖3，當點Q在BC上時，又因為，所以因此PQ/BD所以PQ的最大值就是BD在RtBCD

29、中，BC6，CD3，所以BD所以PQ的最大值是圖1圖2 圖3 圖4（2）如圖2，當點Q在AB上時，0t5，SABD15由AQPABD，得所以SSAQP如圖3，當點Q在BC上時，5t8，SABC24因為SCQP，所以SSABCSCQP24(t8)2t216t40（3）如圖3，當點Q在BC上時，CQ2CP，C90，所以PQC不可能成為等腰三角形當點Q在AB上時，我們先用t表示PQC的三邊長：易知CP8t如圖2，由QP/BD，得，即所以如圖4，作QHAC于H在RtAQH中，QHAQ sinA，AH在RtCQH中，由勾股定理，得CQ分三種情況討論等腰三角形PQC：（1）當PCPQ時，解方程，得3.4（

30、如圖5所示）當QCQP時，整理，得所以(11t40)(t8)0解得3.6（如圖6所示），或t8（舍去）當CPCQ時，整理，得解得3.2（如圖7所示），或t0（舍去）綜上所述，當t的值約為3.4，3.6，或等于3.2時，PQC是等腰三角形圖5 圖6 圖7圖8 圖9考點伸展第（1）題求P、Q兩點間距離的最大值，可以用代數(shù)計算說理的方法：如圖8，當點Q在AB上時，PQ當Q與B重合時，PQ最大，此時t5，PQ的最大值為如圖9，當點Q在BC上時，PQ當Q與B重合時，PQ最大，此時t5，PQ的最大值為綜上所述，PQ的最大值為13 因動點產(chǎn)生的直角三角形問題課前導(dǎo)學我們先看三個問題：1已知線段AB，以線段A

31、B為直角邊的直角三角形ABC有多少個？頂點C的軌跡是什么？2已知線段AB，以線段AB為斜邊的直角三角形ABC有多少個？頂點C的軌跡是什么？3已知點A(4,0)，如果OAB是等腰直角三角形，求符合條件的點B的坐標圖1 圖2 圖3圖4如圖1，點C在垂線上，垂足除外如圖2，點C在以AB為直徑的圓上，A、B兩點除外如圖3，以O(shè)A為邊畫兩個正方形，除了O、A兩點以外的頂點和正方形對角線的交點，都是符合題意的點B，共6個解直角三角形的存在性問題，一般分三步走，第一步尋找分類標準，第二步列方程，第三步解方程并驗根一般情況下，按照直角頂點或者斜邊分類，然后按照三角比或勾股定理列方程有時根據(jù)直角三角形斜邊上的中

32、線等于斜邊的一半列方程更簡便解直角三角形的問題，常常和相似三角形、三角比的問題聯(lián)系在一起如果直角邊與坐標軸不平行，那么過三個頂點作與坐標軸平行的直線，可以構(gòu)造兩個新的相似直角三角形，這樣列比例方程比較簡便如圖4，已知A(3, 0)，B(1,4)，如果直角三角形ABC的頂點C在y軸上，求點C的坐標我們可以用幾何的方法，作AB為直徑的圓，快速找到兩個符合條件的點C如果作BDy軸于D，那么AOCCDB設(shè)OCm，那么這個方程有兩個解，分別對應(yīng)圖中圓與y軸的兩個交點 例 19 2015年湖南省益陽市中考第21題如圖1，已知拋物線E1：yx2經(jīng)過點A(1,m)，以原點為頂點的拋物線E2經(jīng)過點B(2,2)，

33、點A、B關(guān)于y 軸的對稱點分別為點A、B（1）求m的值及拋物線E2所表示的二次函數(shù)的表達式；（2）如圖1，在第一象限內(nèi)，拋物線E1上是否存在點Q，使得以點Q、B、B為頂點的三角形為直角三角形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由；（3）如圖2，P為第一象限內(nèi)的拋物線E1上與點A不重合的一點，連結(jié)OP并延長與拋物線E2相交于點P，求PAA與PBB的面積之比 圖1 圖2圖3 圖4動感體驗請打開幾何畫板文件名“15益陽21”，拖動點P在拋物線E1上運動，可以體驗到，點P始終是線段OP的中點還可以體驗到，直角三角形QBB有兩個思路點撥1判斷點P是線段OP的中點是解決問題的突破口，這樣就可以用一

34、個字母表示點P、P的坐標2分別求線段AABB，點P到AA的距離點P到BB的距離，就可以比較PAA與PBB的面積之比圖文解析（1）當x1時，yx21，所以A(1, 1)，m1設(shè)拋物線E2的表達式為yax2，代入點B(2,2)，可得a所以yx2（2）點Q在第一象限內(nèi)的拋物線E1上，直角三角形QBB存在兩種情況：如圖3，過點B作BB的垂線交拋物線E1于Q，那么Q(2, 4)如圖4，以BB為直徑的圓D與拋物線E1交于點Q，那么QD2設(shè)Q(x, x2)，因為D(0, 2)，根據(jù)QD24列方程x2(x22)24解得x此時Q（3）如圖5，因為點P、P分別在拋物線E1、E2上，設(shè)P(b, b2)，P(c, )

35、因為O、P、P三點在同一條直線上，所以，即所以c2b所以P(2b, 2b2)如圖6，由A(1, 1)、B(2,2)，可得AA2，BB4由A(1, 1)、P(b, b2)，可得點P到直線AA的距離PM b21由B(2,2)、P(2b, 2b2)，可得點P到直線BB的距離PN2b22所以PAA與PBB的面積比2(b21)4(2b22)14 考點延伸第（2）中當BQB90時，求點Q(x, x2)的坐標有三種常用的方法：方法二，由勾股定理，得BQ2BQ2BB2所以(x2)2(x22)2(x2)2(x22)242方法三，作QHBB于H，那么QH2BHBH所以(x22)2(x2) (2x)圖5 圖6圖1

36、圖2例 20 2015年湖南省湘潭市中考第26題如圖1，二次函數(shù)yx2bxc的圖象與x軸交于A(1, 0)、B(3, 0)兩點，與y軸交于點C，連結(jié)BC動點P以每秒1個單位長度的速度從點A向點B運動，動點Q以每秒個單位長度的速度從點B向點C運動，P、Q兩點同時出發(fā)，連結(jié)PQ，當點Q到達點C時，P、Q兩點同時停止運動設(shè)運動的時間為t秒（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）如圖1，當BPQ為直角三角形時，求t的值；（3）如圖2，當t2時，延長QP交y軸于點M，在拋物線上是否存在一點N，使得PQ的中點恰為MN的中點，若存在，求出點N的坐標與t的值；若不存在，請說明理由動感體驗請打開幾何畫板文件名“15湘潭

37、26”，拖動點P在AB上運動，可以體驗到，BPQ有兩次機會可以成為直角三角形還可以體驗到，點N有一次機會可以落在拋物線上 思路點撥1分兩種情況討論等腰直角三角形BPQ2如果PQ的中點恰為MN的中點，那么MQNP，以MQ、NP為直角邊可以構(gòu)造全等的直角三角形，從而根據(jù)直角邊對應(yīng)相等可以列方程圖文解析（1）因為拋物線yx2bxc與x軸交于A(1, 0)、B(3, 0)兩點，所以y(x1)(x3)x22x3（2）由A(1, 0)、B(3, 0)、C(0,3)，可得AB4，ABC45在BPQ中，B45，BP4t，BQt直角三角形BPQ存在兩種情況：當BPQ90時，BQBP解方程t(4t)，得t2（如圖

38、3）當BQP90時，BPBQ解方程4t2t，得t（如圖4）圖3 圖4 圖5（3）如圖5，設(shè)PQ的中點為G，當點G恰為MN的中點時，MQNP作QEy軸于E，作NFx軸于F，作QHx軸于H，那么MQENPF由已知條件，可得P(t1, 0)，Q(3t,t)由QEPF，可得xQxNxP，即3txN(t1)解得xN2將x2代入y(x1)(x3)，得y3所以N(2,3)由QH/NF，得，即整理，得t29t120解得因為t2，所以取考點伸展第（3）題也可以應(yīng)用中點坐標公式，得所以xN2xG214 因動點產(chǎn)生的平行四邊形問題課前導(dǎo)學我們先思考三個問題：1已知A、B、C三點，以A、B、C、D為頂點的平行四邊形有

39、幾個，怎么畫？2在坐標平面內(nèi)，如何理解平行四邊形ABCD的對邊AB與DC平行且相等？3在坐標平面內(nèi)，如何理解平行四邊形ABCD的對角線互相平分？圖1 圖2 圖3圖4如圖1，過ABC的每個頂點畫對邊的平行線，三條直線兩兩相交，產(chǎn)生三個點D如圖2，已知A(0, 3)，B(2, 0)，C(3, 1)，如果四邊形ABCD是平行四邊形，怎樣求點D的坐標呢？點B先向右平移2個單位，再向上平移3個單位與點A重合，因為BA與CD平行且相等，所以點C(3, 1) 先向右平移2個單位，再向上平移3個單位得到點D(5, 4)如圖3，如果平行四邊形ABCD的對角線交于點G，那么過點G畫任意一條直線（一般與坐標軸垂直）

40、，點A、C到這條直線的距離相等，點B、D到這條直線的距離相等關(guān)系式xAxCxBxD和yAyCyByD有時候用起來很方便我們再來說說壓軸題常常要用到的數(shù)形結(jié)合如圖4，點A是拋物線yx22x3在x軸上方的一個動點，ABx軸于點B，線段AB交直線yx1于點C，那么點A的坐標可以表示為(x,x22x3)，點C的坐標可以表示為(x, x1)，線段AB的長可以用點A的縱坐標表示為AByAx22x3，線段AC的長可以用A、C兩點的縱坐標 表示為ACyAyC(x22x3)(x1)x2x2 通俗地說，數(shù)形結(jié)合就是：點在圖象上，可以用圖象的解析式表示點的坐標，用點的坐標表示點到坐標軸的距離例 24 2014年湖南

41、省岳陽市中考第24題如圖1，拋物線經(jīng)過A(1, 0)、B(5, 0)、C三點設(shè)點E(x, y)是拋物線上一動點，且在x軸下方，四邊形OEBF是以O(shè)B為對角線的平行四邊形（1）求拋物線的解析式；（2）當點E(x, y)運動時，試求平行四邊形OEBF的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出面積S的最大值（3）是否存在這樣的點E，使平行四邊形OEBF為正方形？若存在，求點E、F的坐標；若不存在，請說明理由 動感體驗請打開幾何畫板文件名“14岳陽24”，拖動點E運動，可以體驗到，當點E運動到拋物線的頂點時，S最大當點E運動到OB的垂直平分線上時，四邊形OEBF恰好是正方形思路點撥1平行四邊形OEBF的面積

42、等于OEB面積的2倍2第（3）題探究正方形OEBF，先確定點E在OB的垂直平分線上，再驗證EOEB圖文解析（1）因為拋物線與x軸交于A(1, 0)、B(5, 0)兩點，設(shè)ya(x1)(x5)代入點C，得解得所以拋物線的解析式為（2）因為SS平行四邊形OEBF2SOBEOB(yE)所以當x3時，S取得最大值，最大值為此時點E是拋物線的頂點（如圖2）（3）如果平行四邊形OEBF是正方形，那么點E在OB的垂直平分線上，且EOEB當x此時E如圖3，設(shè)EF與OB交于點D，恰好OB2DE所以O(shè)EB是等腰直角三角形所以平行四邊形OEBF是正方形所以當平行四邊形OEBF是正方形時，E、F圖1 圖2 圖3圖4

43、圖5考點伸展既然第（3）題正方形OEBF是存在的，命題人為什么不讓探究矩形OEBF有幾個呢？如圖4，如果平行四邊形OEBF為矩形，那么OEB90根據(jù)EH2HOHB，列方程或者由DEOB，根據(jù)DE2，列方程這兩個方程整理以后都是一元三次方程4x328x253x200，這個方程對于初中畢業(yè)的水平是不好解的事實上，這個方程可以因式分解，如圖3，x；如圖4，x4；如圖5，x，但此時點E在x軸上方了這個方程我們也可以用待定系數(shù)法解：設(shè)方程的三個根是、m、n，那么4x328x253x20根據(jù)恒等式對應(yīng)項的系數(shù)相等，得方程組解得例 25 2014年湖南省益陽市中考第20題如圖1，直線y3x3與x軸、y軸分別

44、交于點A、B，拋物線ya(x2)2k經(jīng)過A、B兩點，并與x軸交于另一點C，其頂點為P（1）求a，k的值；（2）拋物線的對稱軸上有一點Q，使ABQ是以AB為底邊的等腰三角形，求點Q的坐標；（3）在拋物線及其對稱軸上分別取點M、N，使以A、C、M、N為頂點的四邊形為正方形，求此正方形的邊長】圖文解析（1）由y3x3，得A(1, 0)，B(0, 3)將A(1, 0)、B(0, 3)分別代入ya(x2)2k，得解得a1，k1（2）如圖2，拋物線的對稱軸為直線x2，設(shè)點Q的坐標為(2, m)已知A(1, 0)、B(0, 3)，根據(jù)QA2QB2，列方程12m222(m3)2解得m2所以Q(2, 2)（3）

45、點A(1, 0)關(guān)于直線x2的對稱點為C(3, 0)，AC2如圖3，如果AC為正方形的邊，那么點M、N都不在拋物線或?qū)ΨQ軸上如圖4，當AC為正方形的對角線時，M、N中恰好有一個點是拋物線的頂點(2,1) 因為對角線AC2，所以正方形的邊長為圖1 圖2 圖3 圖4考點伸展如果把第（3）題中的正方形改為平行四邊形，那么符合條件的點M有幾個？如果AC為對角線，上面的正方形AMCN是符合條件的，M(2,1)如圖5，如果AC為邊，那么MN/AC，MNAC2所以點M的橫坐標為4或0 此時點M的坐標為(4, 3)或(0, 3)第（2）題如果沒有限制等腰三角形ABQ的底邊，那么符合條件的點Q有幾個？如圖2，當

46、QAQB時，Q(2, 2)如圖6，當BQBA時，以B為圓心，BA為半徑的圓與直線x2有兩個交點 根據(jù)BQ210，列方程22(m3)210，得此時Q或如圖7，當AQAB時，以A為圓心，AB為半徑的圓與直線x2有兩個交點，但是點(2,3)與A、B三點共線，所以Q(2, 3)圖5 圖6 圖7例 26 2014年湖南省邵陽市中考第25題準備一張矩形紙片（如圖1），按如圖2操作：將ABE沿BE翻折，使點A落在對角線BD上的點M，將CDF沿DF翻折，使點C落在對角線BD上的點N（1）求證：四邊形BFDE是平行四邊形；（2）若四邊形BFDE是菱形，AB2，求菱形BFDE的面積動感體驗請打開幾何畫板文件名“1

47、4邵陽25”，拖動點D可以改變矩形ABCD的形狀，可以體驗到，當EM與FN在同一條直線上時，四邊形BFDE是菱形，此時矩形的直角被三等分思路點撥1平行四邊形的定義和4個判定定理都可以證明四邊形BFDE是平行四邊形2如果平行四邊形BFDE是菱形，那么對角線平分一組對角，或者對角線互相垂直用這兩個性質(zhì)都可以解答第（2）題圖文解析（1）如圖3，因為AB/DC，所以ABDCDB又因為12，34，所以13所以BE/FD又因為ED/BF，所以四邊形BFDE是平行四邊形圖1 圖2圖3 圖4圖5 圖6（2）如圖4，如果四邊形BFDE是菱形，那么15所以125由于ABC90，所以12530所以BD2AB4，AE所以ME所以S菱形BFDE2SBDEBDME考點伸展第（1）題的解法，我們用平行四邊形的定義作為判定的依據(jù)，兩組對邊分別平行的四邊形叫平行四邊形還可以這樣思考：證明四邊