1、線性代數(shù)模塊總結(jié)一、線性代數(shù)在數(shù)學(xué)的地位 線性代數(shù)是討論矩陣?yán)碚?、與矩陣結(jié)合的有限維向量空間及其線性變換理論的一門學(xué)科。主要理論成熟于十九世紀(jì)，而第一塊基石（二、三元線性方程組的解法）則早在兩千年前出現(xiàn)（見于中國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)）。線性代數(shù)在數(shù)學(xué)、物理學(xué)和技術(shù)學(xué)科中有各種重要應(yīng)用，因而它在各種代數(shù)分支中占居首要地位在計算機廣泛應(yīng)用的今天，計算機圖形學(xué)、計算機輔助設(shè)計、密碼學(xué)、虛擬現(xiàn)實等技術(shù)無不以線性代數(shù)為其理論和算法基礎(chǔ)的一部分；該學(xué)科所體現(xiàn)的幾何觀念與代數(shù)方法之間的聯(lián)系，從具體概念抽象出來的公理化方法以及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐谱C、巧妙的歸納綜合等，對于強化人們的數(shù)學(xué)訓(xùn)練，增益科學(xué)智能是非常有用的

2、隨著科學(xué)的發(fā)展，我們不僅要研究單個變量之間的關(guān)系，還要進一步研究多個變量之間的關(guān)系，各種實際問題在大多數(shù)情況下可以線性化，而由于計算機的發(fā)展，線性化了的問題又可以計算出來，線性代數(shù)正是解決這些問題的有力工具。2、 對線性代數(shù)教學(xué)的幾點看法1、 加強背景知識的介紹 線性代數(shù)概念較為抽象，如果采用純粹的定義、定理加推導(dǎo)的公式，學(xué)生容易失去興趣，也很難深刻理解相關(guān)概念?，F(xiàn)在許多學(xué)生在學(xué)習(xí)線性代數(shù)時，就只會一味的解題，對這門課的主要內(nèi)容，相關(guān)背景一無所知。為了避免這種現(xiàn)象，我們有必要追溯到線性代數(shù)相關(guān)的歷史，對其被經(jīng)濟發(fā)展?fàn)顩r作簡單的介紹，探究那些想象力、創(chuàng)造力、努力交織在一起的故事。這樣不僅有助于學(xué)

3、生在輕松的環(huán)境下理解知識點的來龍去脈，并加深對概念的理解，同時還有利于脫光他們的知識面，提高他們的數(shù)學(xué)修養(yǎng)。2、 注意知識點的合理引入 俗話說：“興趣是最好的老師”。一堂課的成功與否，知識點的引入非常關(guān)鍵。因為只有通過合理的引入，才能吸引學(xué)生的注意力并激發(fā)他們的興趣，使他們的學(xué)習(xí)有被動接受轉(zhuǎn)為主動參與。在關(guān)于線性代數(shù)的教學(xué)過程中，可以結(jié)合具體教學(xué)內(nèi)容采用不同的引入方法。一種典型的引入方法是結(jié)合學(xué)生已經(jīng)掌握的知識通過類比引入。3、 注重知識點的幾何意義闡述數(shù)學(xué)的教學(xué)目標(biāo)是訓(xùn)練學(xué)生的抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力，因而數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)教育的重要思想和方法之一。但對于線性代數(shù)這樣有許多抽象概

4、念的課程，往往過于強調(diào)抽象思維能力、邏輯推理能力，而容易忽視空間想象能力的培養(yǎng)，也就是容易忽視“形”概念的幾何意義對教學(xué)的幫助作用。3、 線性代數(shù)的學(xué)習(xí)方法掌握各章節(jié)的基本概念和解決問題的基本方法，多多體會例子的方法和技巧，多做練習(xí)，在練習(xí)中要緊扣問題涉及的概念，不要隨意擴大概念的范圍，練習(xí)要自己做才能理解所學(xué)的知識。在學(xué)完一章后自己要做一個小結(jié)，理清該章內(nèi)容及前后概念之間的聯(lián)系。在學(xué)完本課程后，將各章的內(nèi)容做一個總結(jié)，想想各章內(nèi)容之間的聯(lián)系，易混淆的概念要著重加深理解及區(qū)分它們之間的差異。四、課程的基本要求1理解 n 階行列式的定義，會用定義計算簡單的行列式2熟練掌握行列式的基本計算方法和性

5、質(zhì)3熟練掌握克萊姆法則4理解矩陣的定義5熟練掌握矩陣的運算方法和求逆矩陣的方法6理解向量相關(guān)性的概念，會用定義判定向量的相關(guān)性7掌握求矩陣秩的方法，理解矩陣秩與向量組的相關(guān)性之間的關(guān)系8理解向量空間的概念，會求向量的坐標(biāo)9熟練掌握用初等變換求矩陣秩、逆矩陣，解線性方程組10熟練掌握線性方程組的求解方法，知道線性方程組的簡單應(yīng)用11熟練掌握矩陣特征值、特征向量的求法12掌握相似矩陣的概念，矩陣對角化的概念13熟練掌握用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的方法14理解二次型的慣性定理，會用配方法求二次型的平方和15掌握二次型正定性概念及應(yīng)用五、主要內(nèi)容1、行列式行列式共有個元素，展開后有項，可分解為行列式；

6、代數(shù)余子式的性質(zhì)：、和的大小無關(guān)；、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代數(shù)余子式為0；、某行（列）的元素乘以該行（列）元素的代數(shù)余子式為；代數(shù)余子式和余子式的關(guān)系：設(shè)行列式：將上、下翻轉(zhuǎn)或左右翻轉(zhuǎn)，所得行列式為，則；將順時針或逆時針旋轉(zhuǎn)，所得行列式為，則；將主對角線翻轉(zhuǎn)后（轉(zhuǎn)置），所得行列式為，則；將主副角線翻轉(zhuǎn)后，所得行列式為，則；行列式的重要公式：、主對角行列式：主對角元素的乘積；、副對角行列式：副對角元素的乘積；、上、下三角行列式（）：主對角元素的乘積；、和：副對角元素的乘積；、拉普拉斯展開式：、范德蒙行列式：大指標(biāo)減小指標(biāo)的連乘積；、特征值；對于階行列式，恒有：，其中為階主子式；證

7、明的方法：、；、反證法；、構(gòu)造齊次方程組，證明其有非零解；、利用秩，證明；、證明0是其特征值；2、矩陣是階可逆矩陣：（是非奇異矩陣）；（是滿秩矩陣）的行（列）向量組線性無關(guān)；齊次方程組有非零解；，總有唯一解；與等價；可表示成若干個初等矩陣的乘積；的特征值全不為0；是正定矩陣；的行（列）向量組是的一組基；是中某兩組基的過渡矩陣；對于階矩陣： 無條件恒成立；矩陣是表格，推導(dǎo)符號為波浪號或箭頭；行列式是數(shù)值，可求代數(shù)和；關(guān)于分塊矩陣的重要結(jié)論，其中均、可逆：若，則：、；、；、；（主對角分塊）、；（副對角分塊）、；（拉普拉斯）、；（拉普拉斯）3、矩陣的初等變換與線性方程組一個矩陣，總可經(jīng)過初等變換化為

8、標(biāo)準(zhǔn)形，其標(biāo)準(zhǔn)形是唯一確定的：；等價類：所有與等價的矩陣組成的一個集合，稱為一個等價類；標(biāo)準(zhǔn)形為其形狀最簡單的矩陣；對于同型矩陣、，若；行最簡形矩陣：、只能通過初等行變換獲得；、每行首個非0元素必須為1；、每行首個非0元素所在列的其他元素必須為0；初等行變換的應(yīng)用：（初等列變換類似，或轉(zhuǎn)置后采用初等行變換）若，則可逆，且；、對矩陣做初等行變化，當(dāng)變?yōu)闀r，就變成，即：；、求解線形方程組：對于個未知數(shù)個方程，如果，則可逆，且；初等矩陣和對角矩陣的概念：、初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣；、，左乘矩陣，乘的各行元素；右乘，乘的各列元素； 、對調(diào)兩行或兩列，

9、符號，且，例如：；、倍乘某行或某列，符號，且，例如：；、倍加某行或某列，符號,且，如：；矩陣秩的基本性質(zhì)：、；、；、若，則；、若、可逆，則；（可逆矩陣不影響矩陣的秩）、；、；、；、如果是矩陣，是矩陣，且，則：、的列向量全部是齊次方程組解（轉(zhuǎn)置運算后的結(jié)論）；、若、均為階方陣，則；三種特殊矩陣的方冪：、秩為1的矩陣：一定可以分解為列矩陣（向量）行矩陣（向量）的形式，再采用結(jié)合律；、型如的矩陣：利用二項展開式；二項展開式：；注：、展開后有項；、組合的性質(zhì)：；、利用特征值和相似對角化：伴隨矩陣：、伴隨矩陣的秩：；、伴隨矩陣的特征值：；、關(guān)于矩陣秩的描述：、，中有階子式不為0，階子式全部為0；、，中有

10、階子式全部為0；、，中有階子式不為0；線性方程組：，其中為矩陣，則：、與方程的個數(shù)相同，即方程組有個方程；、與方程組得未知數(shù)個數(shù)相同，方程組為元方程；線性方程組的求解：、對增廣矩陣進行初等行變換（只能使用初等行變換）；、齊次解為對應(yīng)齊次方程組的解；、特解：自由變量賦初值后求得；由個未知數(shù)個方程的方程組構(gòu)成元線性方程：、；、（向量方程，為矩陣，個方程，個未知數(shù)）、（全部按列分塊，其中）；、（線性表出）、有解的充要條件：（為未知數(shù)的個數(shù)或維數(shù)）4、向量組的線性相關(guān)性個維列向量所組成的向量組：構(gòu)成矩陣；個維行向量所組成的向量組：構(gòu)成矩陣；含有有限個向量的有序向量組與矩陣一一對應(yīng)；、向量組的線性相關(guān)、

11、無關(guān)有、無非零解；（齊次線性方程組）、向量的線性表出是否有解；（線性方程組）、向量組的相互線性表示是否有解；（矩陣方程）矩陣與行向量組等價的充分必要條件是：齊次方程組和同解；維向量線性相關(guān)的幾何意義：、線性相關(guān)；、線性相關(guān)坐標(biāo)成比例或共線（平行）；、線性相關(guān)共面；線性相關(guān)與無關(guān)的兩套定理：若線性相關(guān)，則必線性相關(guān)；若線性無關(guān)，則必線性無關(guān)；（向量的個數(shù)加加減減，二者為對偶）若維向量組的每個向量上添上個分量，構(gòu)成維向量組：若線性無關(guān)，則也線性無關(guān)；反之若線性相關(guān)，則也線性相關(guān)；（向量組的維數(shù)加加減減）簡言之：無關(guān)組延長后仍無關(guān)，反之，不確定；向量組（個數(shù)為）能由向量組（個數(shù)為）線性表示，且線性無

12、關(guān)，則；向量組能由向量組線性表示，則；向量組能由向量組線性表示有解；向量組能由向量組等價方陣可逆存在有限個初等矩陣，使；、矩陣行等價：（左乘，可逆）與同解、矩陣列等價：（右乘，可逆）；、矩陣等價：（、可逆）；對于矩陣與：、若與行等價，則與的行秩相等；、若與行等價，則與同解，且與的任何對應(yīng)的列向量組具有相同的線性相關(guān)性；、矩陣的初等變換不改變矩陣的秩；、矩陣的行秩等于列秩；若，則：、的列向量組能由的列向量組線性表示，為系數(shù)矩陣；、的行向量組能由的行向量組線性表示，為系數(shù)矩陣；（轉(zhuǎn)置）齊次方程組的解一定是的解，考試中可以直接作為定理使用，而無需證明；、只有零解只有零解；、有非零解一定存在非零解；設(shè)

13、向量組可由向量組線性表示為：（）其中為，且線性無關(guān)，則組線性無關(guān)；（與的列向量組具有相同線性相關(guān)性）（必要性：；充分性：反證法）注：當(dāng)時，為方陣，可當(dāng)作定理使用；、對矩陣，存在，、的列向量線性無關(guān)；、對矩陣，存在，、的行向量線性無關(guān)；線性相關(guān)存在一組不全為0的數(shù)，使得成立；（定義）有非零解，即有非零解；，系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個數(shù)；設(shè)的矩陣的秩為，則元齊次線性方程組的解集的秩為：；若為的一個解，為的一個基礎(chǔ)解系，則線性無關(guān)；5、相似矩陣和二次型正交矩陣或（定義），性質(zhì)：、的列向量都是單位向量，且兩兩正交，即；、若為正交矩陣，則也為正交陣，且；、若、正交陣，則也是正交陣；注意：求解正交陣，千萬不要忘記施密特正交化和單位化；施密特正交化：；;對于普通方陣，不同