1、立體幾何垂直總結(jié)1、線線垂直的判斷： 線面垂直的定義：若一直線垂直于一平面，這條直線垂直于平面內(nèi)所有直線。補充：一條直線和兩條平行直線中的一條垂直，也必垂直平行線中的另一條。2、線面垂直的判斷： （1）如果一直線和平面內(nèi)的兩相交直線垂直，這條直線就垂直于這個平面。（2）如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面。（3）一直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平面。（4）如果兩個平面垂直，那么在個平面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另個平面。3、面面垂直的判斷： 一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，這兩個平面互相垂直。證明線線垂直的常用方法：AEDBC例1、（等腰三角形三

2、線合一）如圖，已知空間四邊形中，是的中點。求證：（1）平面CDE;（2）平面平面。 證明：（1） 同理，又 平面（2）由（1）有平面又平面， 平面平面例2、（菱形的對角線互相垂直、等腰三角形三線合一）已知四棱錐的底面是菱形，為的中點（）求證：平面；（）求證：平面平面例3、(線線、線面垂直相互轉(zhuǎn)化)已知中,面,求證：面證明： 又面 面 又面 圖2例4、(直徑所對的圓周角為直角)如圖2所示，已知垂直于圓O在平面，是圓O的直徑，是圓O的圓周上異于、的任意一點，且，點是線段的中點.求證：平面.證明：所在平面，是的弦，. 又是的直徑，是直徑所對的圓周角，. 平面，平面. 平面，平面，. ，點是線段的中點

3、. ,平面，平面. 平面. 例5、（證明所成角為直角）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，ABCD，DAB60，AEBD，CBCDCF. 求證：BD平面AED；證明因為四邊形ABCD是等腰梯形，ABCD，DAB60，所以ADCBCD120.又CBCD，所以CDB30，因此ADB90，即ADBD.又AEBD，且AEADA，AE，AD平面AED，所以BD平面AED.例6、（勾股定理的逆定理）如圖775所示，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC為等腰直角三角形，BAC90，且ABAA1，D、E、F分別為B1A、C1C、BC的中點求證：(1)DE平面ABC；(2)B1F平面AEF.例7

4、、（三垂線定理）證明：在正方體ABCDA1B1C1D1中，A1C平面BC1D 證明：連結(jié)AC AC為A1C在平面AC上的射影練習；1、 如圖在三棱錐PABC中，ABAC，D為BC的中點，PO平面ABC，垂足O落在線段AD上.證明：APBC；2、直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBCAA1，D是棱AA1的中點，DC1BD.證明：DC1BC。3如圖，平行四邊形ABCD中，DAB60，AB2，AD4.將CBD沿BD折起到EBD的位置，使平面EBD平面ABD.(1)求證：ABDE；(2)求三棱錐EABD的側(cè)面積.4、在正三棱柱中，若AB=2，求點A到平面的距離。5、如圖所示，在四棱錐PABCD中，底面

5、ABCD是矩形，側(cè)棱PA垂直于底面，E、F分別是AB、PC的中點，PAAD.求證：(1)CDPD；(2)EF平面PCD. .6、如圖759(1)，在RtABC中，C90，D，E分別為AC，AB的中點，點F為線段CD上的一點，將ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如圖(2)(1)求證：DE平面A1CB.(2)求證：A1FBE.(3)線段A1B上是否存在點Q，使A1C平面DEQ？說明理由立體幾何垂直總結(jié)1、線線垂直的判斷： 線面垂直的定義：若一直線垂直于一平面，這條直線垂直于平面內(nèi)所有直線。補充：一條直線和兩條平行直線中的一條垂直，也必垂直平行線中的另一條。2、線面垂直的判斷： （1）

6、如果一直線和平面內(nèi)的兩相交直線垂直，這條直線就垂直于這個平面。（2）如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面。（3）一直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平面。（4）如果兩個平面垂直，那么在個平面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另個平面。3、面面垂直的判斷： 一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，這兩個平面互相垂直。證明線線垂直的常用方法：AEDBC例1、（等腰三角形三線合一）如圖，已知空間四邊形中，是的中點。求證：（1）平面CDE;（2）平面平面。 證明：（1） 同理，又 平面（2）由（1）有平面又平面， 平面平面例2、（菱形的對角線互相垂直、等腰三角形三線合一）已

7、知四棱錐的底面是菱形，為的中點（）求證：平面；（）求證：平面平面例3、(線線、線面垂直相互轉(zhuǎn)化)已知中,面,求證：面證明： 又面 面 又面 圖2例4、(直徑所對的圓周角為直角)如圖2所示，已知垂直于圓O在平面，是圓O的直徑，是圓O的圓周上異于、的任意一點，且，點是線段的中點.求證：平面.證明：所在平面，是的弦，. 又是的直徑，是直徑所對的圓周角，. 平面，平面. 平面，平面，. ，點是線段的中點. ,平面，平面. 平面. 例5、（證明所成角為直角）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，ABCD，DAB60，AEBD，CBCDCF. 求證：BD平面AED；證明因為四邊形ABCD是等腰梯

8、形，ABCD，DAB60，所以ADCBCD120.又CBCD，所以CDB30，因此ADB90，即ADBD.又AEBD，且AEADA，AE，AD平面AED，所以BD平面AED.例6、（勾股定理的逆定理）如圖775所示，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC為等腰直角三角形，BAC90，且ABAA1，D、E、F分別為B1A、C1C、BC的中點求證：(1)DE平面ABC；(2)B1F平面AEF.例7、（三垂線定理）證明：在正方體ABCDA1B1C1D1中，A1C平面BC1D 證明：連結(jié)AC AC為A1C在平面AC上的射影練習；1、 如圖在三棱錐PABC中，ABAC，D為BC的中點，PO平面ABC，

9、垂足O落在線段AD上.證明：APBC；2、直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBCAA1，D是棱AA1的中點，DC1BD.(1)證明：DC1BC；證明由題設(shè)知，三棱柱的側(cè)面為矩形由于D為AA1的中點，故DCDC1.又ACAA1，可得DCDC2CC，所以DC1DC.又DC1BD，DCBDD，所以DC1平面BCD.因為BC平面BCD，所以DC1BC.3如圖，平行四邊形ABCD中，DAB60，AB2，AD4.將CBD沿BD折起到EBD的位置，使平面EBD平面ABD.(1)求證：ABDE；(2)求三棱錐EABD的側(cè)面積(1)證明：在ABD中，AB2，AD4，DAB60，設(shè)F為AD邊的中點，連接FB，AB

10、F為等邊三角形，AFB60，又DFBF2，BFD為等腰三角形FDB30，故ABD90.ABBD.又平面EBD平面ABD，平面EBD平面ABDBD，AB平面ABD，AB平面EBD.DE平面EBD，ABDE.(2)【解析】由(1)知ABBD，CDAB，CDBD，從而DEBD.在RtDBE中，DB2，DEDCAB2，SDBEDBDE2.AB平面EBD，BE平面EBD，ABBE.BEBCAD4，SABEABBE4.DEBD，平面EBD平面ABD，ED平面ABD.而AD平面ABD，EDAD，SADEADDE4.綜上，三棱錐EABD的側(cè)面積S82.4、在正三棱柱中，若AB=2，求點A到平面的距離。6 如圖

11、所示，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)棱PA垂直于底面，E、F分別是AB、PC的中點，PAAD.求證：(1)CDPD；(2)EF平面PCD. 證明(1)PA底面ABCD，CDPA.又矩形ABCD中，CDAD，且ADPAA，CD平面PAD，CDPD.(2)取PD的中點G，連接AG，F(xiàn)G.又G、F分別是PD、PC的中點，GF綊CD，GF綊AE，四邊形AEFG是平行四邊形，AGEF.PAAD，G是PD的中點，AGPD，EFPD，CD平面PAD，AG平面PAD.CDAG.EFCD.PDCDD，EF平面PCD.6、如圖759(1)，在RtABC中，C90，D，E分別為AC，AB的中點，點F為線段CD上的一點，將ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如圖(2)(1)求證：DE平面A1CB.(2)求證：A1FBE.(3)線段A1B上是否存在點Q，使A1C平面DEQ？說明理由【規(guī)范解答】(1)因為D，E分別為AC，AB的中點，所以DEBC.2分又因為DE平面A1CB，所以DE平面A1CB.4分(2)由已知得ACBC且DEBC，所以DEAC.所以DEA1D，DECD.所以DE平面A1DC.6分又A1F平面A1DC，所以DEA1F.又因為A1FCD，CDDED，所以A1F平面BCDE，又BE平面BCDE，所以A1FBE.9分(3)線段A1B上存在點Q，使A