1、第十節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用知識(shí)能否憶起1幾種常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)axb(a，b為常數(shù)，a0)二次函數(shù)模型f(x)ax2bxc(a，b，c為常數(shù)，a0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)baxc(a，b，c為常數(shù)，a0且a1，b0)對(duì)數(shù)函數(shù)模型f(x)blogaxc(a，b，c為常數(shù)，a0且a1，b0)冪函數(shù)模型f(x)axnb(a，b，n為常數(shù)，a0，n0)2.三種增長(zhǎng)型函數(shù)模型的圖象與性質(zhì)函數(shù)yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增減性增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增長(zhǎng)速度越來越快越來越慢相對(duì)平穩(wěn)圖象的變化隨x增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n

2、值變化而不同小題能否全取1(教材習(xí)題改編)f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，當(dāng)x(4，)時(shí)，對(duì)三個(gè)函數(shù)的增長(zhǎng)速度進(jìn)行比較，下列選項(xiàng)中正確的是()Af(x)g(x)h(x)Bg(x)f(x)h(x)Cg(x)h(x)f(x)Df(x)h(x)g(x)答案：選B由圖象知，當(dāng)x(4，)時(shí)，增長(zhǎng)速度由大到小依次為g(x)f(x)h(x)2一根蠟燭長(zhǎng)20 cm，點(diǎn)燃后每小時(shí)燃燒5 cm，燃燒時(shí)剩下的高度h(cm)與燃燒時(shí)間t(h)的函數(shù)關(guān)系用圖象表示為圖中的()解析：選B由題意h205t,0t4.結(jié)合圖象知應(yīng)選B.3生產(chǎn)一定數(shù)量的商品的全部費(fèi)用稱為生產(chǎn)成本，某企業(yè)一個(gè)月生產(chǎn)某種商品x萬件時(shí)

3、的生產(chǎn)成本為C(x)x22x20(萬元)一萬件售價(jià)是20萬元，為獲取最大利潤(rùn)，該企業(yè)一個(gè)月應(yīng)生產(chǎn)該商品數(shù)量為()A36萬件B18萬件C22萬件 D9萬件解析：選B利潤(rùn)L(x)20xC(x)(x18)2142，當(dāng)x18時(shí)，L(x)有最大值4一種產(chǎn)品的成本原為a元，在今后的m年內(nèi)，計(jì)劃使成本平均每年比上一年降低p%，成本y是經(jīng)過年數(shù)x(0xm)的函數(shù)，其關(guān)系式y(tǒng)f(x)可寫成_解析：依題意有ya(1p%)x(0xm)答案：ya(1p%)x(0xm)5.有一批材料可以建成200 m的圍墻，如果用此材料在一邊靠墻的地方圍成一塊矩形場(chǎng)地，中間用同樣的材料隔成三個(gè)面積相等的矩形(如圖所示)，則圍成的矩形最

4、大面積為_(圍墻厚度不計(jì))解析：設(shè)矩形的長(zhǎng)為x m，寬為 m，則Sx(x2200x)當(dāng)x100時(shí)，Smax2 500 m2.答案：2 500 m2 1.解答函數(shù)應(yīng)用題的一般步驟 (1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型； (2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型； (3)求模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論； (4)還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實(shí)際問題的意義 以上過程用框圖表示如下： 2解函數(shù)應(yīng)用題常見的錯(cuò)誤 (1)不會(huì)將實(shí)際問題抽象轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型或轉(zhuǎn)化不全面； (2)在求解過程中忽視實(shí)際問題對(duì)變量參數(shù)的限制條件一次函數(shù)

5、與二次函數(shù)模型典題導(dǎo)入例1為了保護(hù)環(huán)境，發(fā)展低碳經(jīng)濟(jì)，某單位在國(guó)家科研部門的支持下，進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)，采用了新工藝，把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品已知該單位每月的處理量最少為400噸，最多為600噸，月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為：yx2200x80 000，且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價(jià)值為100元該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤(rùn)；如果不獲利，則國(guó)家至少需要補(bǔ)貼多少元才能使該單位不虧損？自主解答設(shè)該單位每月獲利為S，則S100xy100xx2300x80 000(x300)235 000，因?yàn)?00x600，所以當(dāng)x400時(shí)，S有最大

6、值40 000.故該單位不獲利，需要國(guó)家每月至少補(bǔ)貼40 000元，才能不虧損由題悟法1在實(shí)際問題中，有很多問題的兩變量之間的關(guān)系是一次函數(shù)模型，其增長(zhǎng)特點(diǎn)是直線上升(自變量的系數(shù)大于0)或直線下降(自變量的系數(shù)小于0)，對(duì)一次函數(shù)模型，主要是利用一次函數(shù)的圖象與單調(diào)性求解2有些問題的兩變量之間是二次函數(shù)關(guān)系，如面積問題、利潤(rùn)問題、產(chǎn)量問題等對(duì)二次函數(shù)模型，一般是利用配方法并結(jié)合二次函數(shù)圖象與單調(diào)性解決3在解決一次函數(shù)、二次函數(shù)的應(yīng)用問題時(shí)，一定要注意定義域以題試法1(2012撫州質(zhì)檢)一塊形狀為直角三角形的鐵皮，直角邊長(zhǎng)分別為40 cm與60 cm，現(xiàn)將它剪成一個(gè)矩形，并以此三角形的直角為矩

7、形的一個(gè)角問怎樣剪，才能使剩下的殘料最少？解：如圖，剪出的矩形為CDEF，設(shè)CDx，CFy，則AF40y.AFEACB，即.y40x.剩下的殘料面積為S6040xyx240x1 200(x30)2600.0x60，當(dāng)x30時(shí)，S取得最小值為600，這時(shí)y20.在邊長(zhǎng)60 cm的直角邊CB上截CD30 cm，在邊長(zhǎng)為40 cm的直角邊AC上截CF20 cm時(shí)，能使所剩殘料最少分段函數(shù)模型典題導(dǎo)入例2(2012孝感統(tǒng)考)某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每年需投入固定成本0.5萬元，此外每生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品，還需增加投入0.25萬元，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查知這種產(chǎn)品年需求量為500件，產(chǎn)品銷售數(shù)量為t件時(shí)，銷售所得的收

8、入為萬元(1)該公司這種產(chǎn)品的年生產(chǎn)量為x件，生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得到的利潤(rùn)關(guān)于當(dāng)年產(chǎn)量x的函數(shù)為f(x)，求f(x)；(2)當(dāng)該公司的年產(chǎn)量為多少件時(shí)，當(dāng)年所獲得的利潤(rùn)最大？自主解答(1)當(dāng)0500時(shí)，f(x)0.05500500212x，故f(x)(2)當(dāng)0500時(shí)，f(x)12x124時(shí)，y41.83x1.83(5x4)20.4x4.8.當(dāng)乙的用水量超過4噸，即3x4時(shí)，y241.83(3x4)(5x4)24x9.6.所以y(2)由于yf(x)在各段區(qū)間上均單調(diào)遞增，當(dāng)x時(shí)，yf26.4；當(dāng)x時(shí)，yf26.4；當(dāng)x時(shí)，令24x9.626.4，解得x1.5.所以甲戶用水量為5x51.57.

9、5噸，付費(fèi)S141.83.5317.70元；乙戶用水量為3x4.5噸，付費(fèi)S241.80.538.70元指數(shù)函數(shù)模型典題導(dǎo)入例3(2012廣州模擬)一片森林原來面積為a，計(jì)劃每年砍伐一些樹，且每年砍伐面積的百分比相等，當(dāng)砍伐到面積的一半時(shí)，所用時(shí)間是10年，為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，森林面積至少要保留原面積的，已知到今年為止，森林剩余面積為原來的.(1)求每年砍伐面積的百分比；(2)到今年為止，該森林已砍伐了多少年？(3)今后最多還能砍伐多少年？自主解答(1)設(shè)每年降低的百分比為x(0x1)則a(1x)10a，即(1x)10，解得x1.(2)設(shè)經(jīng)過m年剩余面積為原來的，則a(1x)ma，即，解得m5.故

10、到今年為止，已砍伐了5年(3)設(shè)從今年開始，以后砍了n年，則n年后剩余面積為a(1x)n.令a(1x)na，即(1x)n，解得n15.故今后最多還能砍伐15年由題悟法增長(zhǎng)率問題，在實(shí)際問題中?？梢杂弥笖?shù)函數(shù)模型yN(1p)x(其中N是基礎(chǔ)數(shù)，p為增長(zhǎng)率，x為時(shí)間)和冪函數(shù)模型ya(1x)n(其中a為基礎(chǔ)數(shù)，x為增長(zhǎng)率，n為時(shí)間)的形式解題時(shí)，往往用到對(duì)數(shù)運(yùn)算和開方運(yùn)算，要注意用已知給定的值對(duì)應(yīng)求解以題試法3某電腦公司2012年的各項(xiàng)經(jīng)營(yíng)收入中，經(jīng)營(yíng)電腦配件的收入為400萬元，占全年經(jīng)營(yíng)總收入的40%.該公司預(yù)計(jì)2014年經(jīng)營(yíng)總收入要達(dá)到1 690萬元，且計(jì)劃從2012年到2014年，每年經(jīng)營(yíng)總

11、收入的年增長(zhǎng)率相同，2013年預(yù)計(jì)經(jīng)營(yíng)總收入為_萬元解析：設(shè)年增長(zhǎng)率為x，則有(1x)21 690,1x，因此2013年預(yù)計(jì)經(jīng)營(yíng)總收入為1 300(萬元)答案：1 3001設(shè)甲、乙兩地的距離為a(a0)，小王騎自行車以勻速?gòu)募椎氐揭业赜昧?0分鐘，在乙地休息10分鐘后，他又以勻速?gòu)囊业胤祷氐郊椎赜昧?0分鐘，則小王從出發(fā)到返回原地所經(jīng)過的路程y和其所用的時(shí)間x的函數(shù)圖象為()解析：選D注意到y(tǒng)為“小王從出發(fā)到返回原地所經(jīng)過的路程”而不是位移，用定性分析法不難得到答案為D.2(2012湖北三校聯(lián)考)某城市對(duì)一種售價(jià)為每件160元的商品征收附加稅，稅率為R%(即每銷售100元征稅R元)，若年銷售量

12、為萬件，要使附加稅不少于128萬元，則R的取值范圍是()A4,8B6,10C4%,8% D6%,100%解析：選A根據(jù)題意得，要使附加稅不少于128萬元，需160R%128，整理得R212R320，解得4R8，即R4,83由于電子技術(shù)的飛速發(fā)展，計(jì)算機(jī)的成本不斷降低，若每隔5年計(jì)算機(jī)的價(jià)格降低，現(xiàn)在價(jià)格為8 100元的計(jì)算機(jī)經(jīng)過15年的價(jià)格應(yīng)降為()A2 000元 B2 400元C2 800元 D3 000元解析：選B設(shè)經(jīng)過3個(gè)5年，產(chǎn)品價(jià)格為y元，則y8 10032 400.4(2013溫州月考)某電信公司推出兩種手機(jī)收費(fèi)方式：A種方式是月租20元，B種方式是月租0元一個(gè)月的本地網(wǎng)內(nèi)打出電話

13、時(shí)間t(分鐘)與打出電話費(fèi)s(元)的函數(shù)關(guān)系如圖，當(dāng)打出電話150分鐘時(shí)，這兩種方式電話費(fèi)相差()A10元 B20元C30元 D.元解析：選A依題意可設(shè)sA(t)20kt，sB(t)mt，又sA(100)sB(100)，100k20100m，得km0.2.于是sA(150)sB(150)20150k150m20150(0.2)10，即兩種方式電話費(fèi)相差10元5某電視新產(chǎn)品投放市場(chǎng)后第一個(gè)月銷售100臺(tái)，第二個(gè)月銷售200臺(tái)，第三個(gè)月銷售400臺(tái)，第四個(gè)月銷售790臺(tái)，則下列函數(shù)模型中能較好地反映銷量y與投放市場(chǎng)的月數(shù)x之間關(guān)系的是()Ay100x By50x250x100Cy502x Dy10

14、0log2x100解析：選C根據(jù)函數(shù)模型的增長(zhǎng)差異和題目中的數(shù)據(jù)可知，應(yīng)為指數(shù)型函數(shù)模型6(2013長(zhǎng)春聯(lián)合測(cè)試)某位股民購(gòu)進(jìn)某支股票，在接下來的交易時(shí)間內(nèi)，他的這支股票先經(jīng)歷了n次漲停(每次上漲10%)，又經(jīng)歷了n次跌停(每次下跌10%)，則該股民這支股票的盈虧情況(不考慮其他費(fèi)用)為()A略有盈利 B略有虧損C沒有盈利也沒有虧損 D無法判斷盈虧情況解析：選B設(shè)該股民購(gòu)這支股票的價(jià)格為a，則經(jīng)歷n次漲停后的價(jià)格為a(110%)na1.1n，經(jīng)歷n次跌停后的價(jià)格為a1.1n(110%)na1.1n0.9na(1.10.9)n0.99naa，故該股民這支股票略有虧損7(2012河南調(diào)研)為了在“

15、十一”黃金周期間降價(jià)搞促銷，某超市對(duì)顧客實(shí)行購(gòu)物優(yōu)惠活動(dòng)，規(guī)定一次購(gòu)物付款總額：如果不超過200元，則不予優(yōu)惠；如果超過200元，但不超過500元，則按標(biāo)價(jià)給予9折優(yōu)惠；如果超過500元，其中500元按第條給予優(yōu)惠，超過500元的部分給予7拆優(yōu)惠辛云和她母親兩次去購(gòu)物，分別付款168元和423元，假設(shè)她們一次性購(gòu)買上述同樣的商品，則應(yīng)付款額為_解析：依題意，價(jià)值為x元商品和實(shí)際付款數(shù)f(x)之間的函數(shù)關(guān)系式為f(x)當(dāng)f(x)168時(shí)，由1680.9187200，故此時(shí)x168；當(dāng)f(x)423時(shí)，由4230.9470(200,500，故此時(shí)x470.所以兩次共購(gòu)得價(jià)值為470168638元的

16、商品，又5000.9(638500)0.7546.6元，即若一次性購(gòu)買上述商品，應(yīng)付款額為546.6元答案：546.6元8(2012鎮(zhèn)江模擬)如圖，書的一頁的面積為600 cm2，設(shè)計(jì)要求書面上方空出2 cm的邊，下、左、右方都空出1 cm的邊，為使中間文字部分的面積最大，這頁書的長(zhǎng)、寬應(yīng)分別為_解析：設(shè)長(zhǎng)為a cm，寬為b cm，則ab600，則中間文字部分的面積S(a21)(b2)606(2a3b)6062486，當(dāng)且僅當(dāng)2a3b，即a30，b20時(shí)，S最大486.答案：30 cm,20 cm9某商家一月份至五月份累計(jì)銷售額達(dá)3 860萬元，預(yù)測(cè)六月份銷售額為500萬元，七月份銷售額比六月

17、份遞增x%，八月份銷售額比七月份遞增x%，九、十月份銷售總額與七、八月份銷售總額相等若一月份至十月份銷售總額至少達(dá)7 000萬元，則x的最小值是_解析：七月份的銷售額為500(1x%)，八月份的銷售額為500(1x%)2，則一月份到十月份的銷售總額是3 8605002 500(1x%)500(1x%)2，根據(jù)題意有3 8605002500(1x%)500(1x%)27 000，即25(1x%)25(1x%)266，令t1x%，則25t225t660，解得t或者t(舍去)，故1x%，解得x20.答案：2010(2012湖南十二校聯(lián)考)某創(chuàng)業(yè)投資公司擬投資開發(fā)某種新能源產(chǎn)品，估計(jì)能獲得10萬元到1

18、 000萬元的投資收益現(xiàn)準(zhǔn)備制定一個(gè)對(duì)科研課題組的獎(jiǎng)勵(lì)方案：獎(jiǎng)金y(單位：萬元)隨投資收益x(單位：萬元)的增加而增加，且獎(jiǎng)金不超過9萬元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過收益的20%.請(qǐng)分析函數(shù)y2是否符合公司要求的獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型，并說明原因解：對(duì)于函數(shù)模型yf(x)2，當(dāng)x10,1 000時(shí)，f(x)為增函數(shù)，f(x)maxf(1 000)22，即f(x)不恒成立故函數(shù)模型y2不符合公司要求11高新開發(fā)區(qū)某公司生產(chǎn)一種品牌筆記本電腦的投入成本是4 500元/臺(tái)當(dāng)筆記本電腦銷售價(jià)為6 000元/臺(tái)時(shí)，月銷售量為a臺(tái)市場(chǎng)分析的結(jié)果表明，如果筆記本電腦的銷售價(jià)提高的百分率為x(0x1)，那么月銷售量減少的百分率為x

19、2.記銷售價(jià)提高的百分率為x時(shí)，電腦企業(yè)的月利潤(rùn)是y元(1)寫出月利潤(rùn)y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)如何確定這種筆記本電腦的銷售價(jià)，使得該公司的月利潤(rùn)最大解：(1)依題意，銷售價(jià)提高后變?yōu)? 000(1x)元/臺(tái)，月銷售量為a(1x2)臺(tái)，則ya(1x2)6 000(1x)4 500即y1 500a(4x3x24x1)(0x1)(2)由(1)知y1 500a(12x22x4)，令y0，得6x2x20，解得x或x(舍去)當(dāng)0x0；當(dāng)x1時(shí)，y0，y0.(2)依題意，要求四個(gè)矩形木雕總面積的最大值即求4xy的最大值因?yàn)閍，b，x，y均大于0，所以2bx2ay2，從而S44xyab，當(dāng)且僅當(dāng)bxay時(shí)等

20、號(hào)成立令t，則t0，上述不等式可化為4t24tabS0，解得t.因?yàn)閠0，所以0t，從而xy.由得所以當(dāng)x，y時(shí)，四個(gè)矩形木雕的總面積最大，最大值為abS2.1某地2011年底人口為500萬，人均住房面積為6 m2，如果該城市人口平均每年增長(zhǎng)率為1%.問為使2021年底該城市人均住房面積增加到7 m2，平均每年新增住房面積至少為(1.01101.104 6)()A90萬m2 B87萬m2C85萬m2 D80萬m2解析：選B由題意86.6(萬m2)87(萬m2)2.一高為H，滿缸水量為V的魚缸截面如圖所示，其底部破了一個(gè)小洞 ，滿缸水從洞中流出若魚缸水深為h時(shí)的水的體積為v，則函數(shù)vf(h)的大

21、致圖象可能是圖中的_解析：當(dāng)h0時(shí)，v0可排除、；由于魚缸中間粗兩頭細(xì)，當(dāng)h在附近時(shí)，體積變化較快；h小于時(shí)，增加越來越快；h大于時(shí)，增加越來越慢答案：3(2011湖北高考)提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/時(shí))是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時(shí)，車流速度為60千米/時(shí)研究表明：當(dāng)20x200時(shí)，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)(1)當(dāng)0x200時(shí)，求函數(shù)v(x)的表達(dá)式；(2)當(dāng)車流密度x為多大時(shí)，車流量(單位時(shí)間內(nèi)通過橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/時(shí))f(x)xv(x)可以達(dá)到最大，并求出最大值(精確