1、3.2獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用,高二數(shù)學(xué) 選修2-3 第三章 統(tǒng)計(jì)案例,2020/6/22,問(wèn)題: 數(shù)學(xué)家龐加萊每天都從一家面包店買(mǎi)一塊1000g 的面包，并記錄下買(mǎi)回的面包的實(shí)際質(zhì)量。一年后，這位數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)，所記錄數(shù)據(jù)的均值為950g。于是龐加萊推斷這家面包店的面包分量不足。,假設(shè)“面包份量足”，則一年購(gòu)買(mǎi)面包的質(zhì)量數(shù)據(jù)的平均值應(yīng)該不少于1000g ； “這個(gè)平均值不大于950g”是一個(gè)與假設(shè)“面包份量足”矛盾的小概率事件； 這個(gè)小概率事件的發(fā)生使龐加萊得出推斷結(jié)果。,2020/6/22,一:假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題的原理,假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題由兩個(gè)互斥的假設(shè)構(gòu)成，其中一個(gè)叫做原假設(shè)，用H0表示；另一個(gè)

2、叫做備擇假設(shè)，用H1表示。,例如，在前面的例子中， 原假設(shè)為： H0：面包份量足， 備擇假設(shè)為： H1：面包份量不足。 這個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題可以表達(dá)為： H0：面包份量足 H1：面包份量不足,2020/6/22,二:求解假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題,考慮假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題： H0：面包分量足 H1：面包分量不足,在H0成立的條件下，構(gòu)造與H0矛盾的小概率事件； 如果樣本使得這個(gè)小概率事件發(fā)生，就能以一定把握斷言H1成立；否則，斷言沒(méi)有發(fā)現(xiàn)樣本數(shù)據(jù)與H0相矛盾的證據(jù)。,求解思路：,2020/6/22,獨(dú)立性檢驗(yàn),本節(jié)研究的是兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)問(wèn)題。,在日常生活中，我們常常關(guān)心分類變量之間是否有關(guān)系：,例如，吸煙是否

3、與患肺癌有關(guān)系？ 性別是否對(duì)于喜歡數(shù)學(xué)課程有影響？等等。,2020/6/22,為了調(diào)查吸煙是否對(duì)肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機(jī)地調(diào)查了9965人，得到如下結(jié)果（單位：人）,列聯(lián)表,說(shuō)明：吸煙者和不吸煙者患肺癌的可能性存在差異，吸煙者患肺癌的可能性大。,0.54%,2.28%,探究,2020/6/22,1、列聯(lián)表,2、三維柱形圖,3、二維條形圖,從三維柱形圖能清晰看出 各個(gè)頻數(shù)的相對(duì)大小。,從二維條形圖能看出，吸煙者中 患肺癌的比例高于不患肺癌的比例。,通過(guò)圖形直觀判斷兩個(gè)分類變量是否相關(guān)：,2020/6/22,4、等高條形圖,等高條形圖更清晰地表達(dá)了兩種情況下患肺癌的比例。,2020/6/22,

4、上面我們通過(guò)分析數(shù)據(jù)和圖形，得到的直觀印象是吸煙和患肺癌有關(guān)，那么事實(shí)是否真的如此呢？這需要用統(tǒng)計(jì)觀點(diǎn)來(lái)考察這個(gè)問(wèn)題。,現(xiàn)在想要知道能夠以多大的把握認(rèn)為“吸煙與患肺癌有關(guān)”， 為此先假設(shè),H0：吸煙與患肺癌沒(méi)有關(guān)系.,把表中的數(shù)字用字母代替，得到如下用字母表示的列聯(lián)表,用A表示不吸煙，B表示不患肺癌，則“吸煙與患肺癌沒(méi)有關(guān)系”等價(jià)于“吸煙與患肺癌獨(dú)立”，即假設(shè)H0等價(jià)于 P(AB)=P(A)P(B).,2020/6/22,因此|ad-bc|越小，說(shuō)明吸煙與患肺癌之間關(guān)系越弱； |ad-bc|越大，說(shuō)明吸煙與患肺癌之間關(guān)系越強(qiáng)。,在表中，a恰好為事件AB發(fā)生的頻數(shù)；a+b和a+c恰好分別為事件A

5、和B發(fā)生的頻數(shù)。由于頻率接近于概率，所以在H0成立的條件下應(yīng)該有,2020/6/22,為了使不同樣本容量的數(shù)據(jù)有統(tǒng)一的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，基于上述分析，我們構(gòu)造一個(gè)隨機(jī)變量-卡方統(tǒng)計(jì)量,（1）,若 H0成立，即“吸煙與患肺癌沒(méi)有關(guān)系”，則K2應(yīng)很小。,根據(jù)表3-7中的數(shù)據(jù)，利用公式（1）計(jì)算得到K2的觀測(cè)值為：,那么這個(gè)值到底能告訴我們什么呢？,（2）,獨(dú)立性檢驗(yàn),2020/6/22,在H0成立的情況下，統(tǒng)計(jì)學(xué)家估算出如下的概率 即在H0成立的情況下，K2的值大于6.635的概率非常小，近似于0.01。,也就是說(shuō)，在H0成立的情況下，對(duì)隨機(jī)變量K2進(jìn)行多次觀測(cè)，觀測(cè)值超過(guò)6.635的頻率約為0.01。,

6、思考,答：判斷出錯(cuò)的概率為0.01。,2020/6/22,判斷 是否成立的規(guī)則,如果 ，就判斷 不成立，即認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)系；否則，就判斷 成立，即認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)系。,獨(dú)立性檢驗(yàn)的定義,上面這種利用隨機(jī)變量K2來(lái)確定在多大程度上可以認(rèn)為“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的方法，稱為兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)。,在該規(guī)則下，把結(jié)論“ 成立”錯(cuò)判成“ 不成立”的概率不會(huì)差過(guò),即有99%的把握認(rèn)為 不成立。,2020/6/22,獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想（類似反證法）,(1)假設(shè)結(jié)論不成立,即 “兩個(gè)分類變量沒(méi)有關(guān)系”.,(2)在此假設(shè)下我們所構(gòu)造的隨機(jī)變量 K2 應(yīng)該很小,如果由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到K2的觀測(cè)值

7、k很大,則在一定可信程度上說(shuō)明 不成立.即在一定可信程度上認(rèn)為“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”；如果k的值很小，則說(shuō)明由樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)沒(méi)有發(fā)現(xiàn)反對(duì) 的充分證據(jù)。,(3)根據(jù)隨機(jī)變量K2的含義,可以通過(guò)評(píng)價(jià)該假設(shè)不合理的程度,由實(shí)際計(jì)算出的,說(shuō)明假設(shè)合理的程度為99%,即“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”這一結(jié)論成立的可信度為約為99%.,怎樣判斷K2的觀測(cè)值k是大還是小呢？,這僅需要確定一個(gè)正數(shù) ，當(dāng) 時(shí)就認(rèn)為K2的觀測(cè)值 k大。此時(shí)相應(yīng)于 的判斷規(guī)則為：,如果 ，就認(rèn)為“兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系”；否則就認(rèn)為“兩個(gè)分類變量之間沒(méi)有關(guān)系”。,-臨界值,按照上述規(guī)則，把“兩個(gè)分類變量之間有沒(méi)關(guān)系”錯(cuò)誤的判斷為“兩個(gè)分類變

8、量之間有關(guān)系”的概率為P( ).,在實(shí)際應(yīng)用中，我們把 解釋為有 的把握認(rèn)為“兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系”；把 解釋為不能以 的把握認(rèn)為“兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系”，或者樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)沒(méi)有提供“兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系”的充分證據(jù)。,2020/6/22,思考： 利用上面的結(jié)論，你能從列聯(lián)表的三維柱形圖中看出兩個(gè)分類變量是否相關(guān)呢？,表1-11 2x2聯(lián)表,一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的值域分別為x1,x2和y1,y2,其樣本頻數(shù)列聯(lián)表（稱為2x2列聯(lián)表）為：,2020/6/22,若要判斷的結(jié)論為：H1：“X與Y有關(guān)系”，可以按如下步驟判斷H1成立的可能性：,2、可以利用獨(dú)立性檢驗(yàn)來(lái)考察兩個(gè)分類

9、變量是否有關(guān)系，并且能較精確地給出這種判斷的可靠程度。,1、通過(guò)三維柱形圖和二維條形圖，可以粗略地判斷兩個(gè)變量是否有關(guān)系,但是這種判斷無(wú)法精確地給出所得結(jié)論的可靠程度。 （1）在三維柱形圖中， 主對(duì)角線上兩個(gè)柱形高度的乘積ad與副對(duì)角線上兩個(gè)柱形高度的乘積bc相差越大，H1成立的可能性就越大。 （2）在二維條形圖中,可以估計(jì)滿足條件X=x1的個(gè)體中具有Y=y1的個(gè)體所占的比例 ，也可以估計(jì)滿足條件X=x2 的個(gè)體中具有Y=y1的個(gè)體所占的比例 。兩個(gè)比例相差越大，H1成立的可能性就越大。,2020/6/22,在實(shí)際應(yīng)用中，要在獲取樣本數(shù)據(jù)之前通過(guò)下表確定臨界值：,具體作法是：,(1)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題需要的可信程度確定臨界值 ； (2)利用公式(1)，由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到隨機(jī)變量 的觀測(cè)值； (3)如果 ，就以 的把握認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”；否則就說(shuō)樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)沒(méi)