1、重復(fù)控制理論2.1 重復(fù)控制的基本思想重復(fù)控制是基于內(nèi)模原理的一種控制思想。所謂“內(nèi)模”，是指在穩(wěn)定的閉環(huán)控制系統(tǒng)中包含外部輸入信號的數(shù)學(xué)模型。下面是內(nèi)模原理的具體描述：對于一個控制系統(tǒng)而言，如果控制其的反饋來自被調(diào)節(jié)的信號，且在反饋回路中包含相同的被控外部信號動態(tài)模型，那么整個系統(tǒng)是結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的。內(nèi)模原理的本質(zhì)是把系統(tǒng)外部信號的動力學(xué)模型植入控制器以構(gòu)成高精度的反饋控制系統(tǒng)。這樣的系統(tǒng)能夠無靜差的跟蹤輸入信號。對于所有的無靜差系統(tǒng)，都存在這樣的問題，即當(dāng)輸入信號趨于0時，如何保證繼續(xù)輸出適當(dāng)?shù)目刂菩盘?，以維持合適的控制作用。此時雖然給定信號和反饋信號依然存在，但誤差信號為0，系統(tǒng)信號通道已經(jīng)斷

2、開，輸出與輸入無關(guān)，這就要求控制器中必須包含能夠反映外部指令或干擾的模型，該模型能持續(xù)不斷地輸出相應(yīng)的控制信號。從這個角度來說，內(nèi)模的作用類似于一個信號發(fā)生器，可以不依賴外部變量給出的控制信號。由控制理論知道，含有積分環(huán)節(jié)的閉環(huán)控制系統(tǒng)可以無靜差的跟蹤階躍信號，而且可以完全抵消作用在積分環(huán)節(jié)之后的階躍型干擾?？蓮膬?nèi)模原理的角度對此作出解釋，階躍信號的數(shù)學(xué)模型為1/s，而閉環(huán)系統(tǒng)中的積分環(huán)節(jié)也是1/s，系統(tǒng)包含了外部信號的數(shù)學(xué)模型，從而獲得來無靜差的跟蹤給定信號的能力，可以將積分控制理解為內(nèi)模原理的一個典型應(yīng)用。當(dāng)內(nèi)模中的數(shù)學(xué)模型描述的是周期性的信號時，那么閉環(huán)控制系統(tǒng)就能夠無靜差地跟蹤周期信號

3、。如果系統(tǒng)的給定信號或擾動為單一頻率的正弦信號，那么只要在控制器內(nèi)植入與指令同頻的正弦信號模型，就可以實現(xiàn)系統(tǒng)的無靜差跟蹤。如果外部信號包含其它頻率成分，這種情況下，若要實現(xiàn)無靜差，只能針對每一種頻率的信號設(shè)置一個內(nèi)模，如果頻率成分較復(fù)雜，那么內(nèi)模數(shù)量就會很大，從應(yīng)用角度而言不太合理，工程上也不易實現(xiàn)。而這種情況在實際系統(tǒng)中經(jīng)常出現(xiàn)，例如機械手在進行重復(fù)性動作時，它所受到的干擾信號并非單一頻率的正弦信號，頻譜比較復(fù)雜，形式為指令信號的倍數(shù)關(guān)系；負(fù)載為整流器的逆變電源的干擾信號除了基波頻率外，還包含諧波成分。對于這樣的系統(tǒng)，若采用傳統(tǒng)的內(nèi)?？刂茣箍刂破鹘Y(jié)構(gòu)異常復(fù)雜。為此需要尋找一種新的內(nèi)模形式

4、來描述此種類型的外部信號。分析可知，上面所述兩種情況的干擾信號具有兩個特點：首先是可重復(fù)性，即周期性。其次是指令信號的諧波形式。因此擾動信號在每個基波周期都以完全相同的波形出現(xiàn)。對于這樣的信號，可采用如下形式的內(nèi)模：，L為給定信號的周期。這是一個周期延時正反饋環(huán)節(jié)，不管什么形式的信號，只要重復(fù)出現(xiàn)，而且頻率是基波的倍數(shù)，那么該內(nèi)模的輸出就是對輸入信號的逐周期累加。當(dāng)輸入信號衰減為0，該內(nèi)模依然會不斷的逐周期輸出與上周期相同的信號，相當(dāng)于任意信號發(fā)生器。它的作用類似于積分環(huán)節(jié)，區(qū)別僅在于它是逐周期的累加，因此這樣的內(nèi)模能夠滿足要求。采用這種特殊形式內(nèi)模的閉環(huán)控制系統(tǒng)稱之為重復(fù)控制系統(tǒng)。由于上式中

5、的存延時環(huán)節(jié)難以用模擬器件實現(xiàn)，因而在應(yīng)用中重復(fù)控制都是以離散的數(shù)字形式實現(xiàn)。重復(fù)控制器內(nèi)模的離散形式為，N為一個周期的采樣次數(shù)。見圖2-1。2.2 重復(fù)控制器的結(jié)構(gòu)及功能2.2.1 重復(fù)控制器的內(nèi)模對于重復(fù)控制控制而言，內(nèi)模是系統(tǒng)的核心，它提供了穩(wěn)定持續(xù)的控制信號，圖2.1 表明，當(dāng)內(nèi)模為理想情況時，輸入信號為0的情況下輸出可以無衰減的反復(fù)重現(xiàn)上一周期的信號。但是理想內(nèi)模的極點分布在虛軸上，處于臨界振蕩狀態(tài)，系統(tǒng)穩(wěn)定性較差。當(dāng)受控對象的參數(shù)稍有變化，整個閉環(huán)系統(tǒng)很可能不穩(wěn)定。圖2.2所示的重復(fù)控制器基本框圖，可得到閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：；整理后得：，此式表明，系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是等式右面第二項是

6、穩(wěn)定收斂的。 由圖可見，系統(tǒng)穩(wěn)定存在約束條件。這表明在理想內(nèi)模條件下，只有滿足此約束條件誤差才會收斂。但在一般情況下，被控對象難以在整個頻段滿足此條件，此時可對內(nèi)模加以改造，即采用代替，保證系統(tǒng)穩(wěn)定收斂。Q可為小于1的常數(shù)，也可以為具有低通性質(zhì)的函數(shù)。使得回路滿足。改進型內(nèi)模結(jié)構(gòu)見圖2.4。但是引入Q之后，內(nèi)模的“純積分”特性也被破壞，當(dāng)輸入信號為0時，改進內(nèi)模的輸出不能完全復(fù)現(xiàn)上個周期的信號，而是逐周期的衰減。如果Q為常數(shù)，那么僅為幅值衰減，如果Q為低通函數(shù)，對于非單一頻譜的信號而言，信號的形式就會發(fā)生變化。以圖2.4為例子，信號的傳遞函數(shù)為下面形式：差分形式為：此式表明每個周期（N步）的輸

7、出量都會增加，增量是將上一周期輸出值衰減Q倍。當(dāng)Q為具有低通特性的函數(shù)時，作用完全相同，只是頻率越高增量越小。此方法雖然提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但是犧牲了無靜差特性，內(nèi)模的“純積分”變成了“準(zhǔn)積分”。=2.2.2 周期延時環(huán)節(jié)在一些文獻中，被單獨列出作為周期延時控制環(huán)節(jié)，本文雖然也采用了這種論述形式，但需要說明的是并非單獨的控制環(huán)節(jié)，它實際是內(nèi)模的一部分，延時特性是重復(fù)控制內(nèi)模的固有性質(zhì)，不能為了提高動態(tài)性能而舍棄次環(huán)節(jié)。由圖2.1可以看出，完整的內(nèi)模表達式應(yīng)為：。為了便于分析內(nèi)模的作用，將內(nèi)模變化為圖2.2中虛線內(nèi)的形式，數(shù)學(xué)表達式為：。形式上可以理解為“積分”和延遲兩部分。位于重復(fù)控制系統(tǒng)的前

8、向通道上，使控制信號延時為個周期。由于指令信號和擾動信號均為周期性，這樣可使控制信號對下一周期而言具有一定的超前性。而且對于超前相位補償，此環(huán)節(jié)也是必須的，后面的章節(jié)有詳細(xì)說明。引入周期延遲環(huán)節(jié)后，系統(tǒng)的快速性受到影響，有較大的控制滯后。因此在使用重復(fù)控制器時多采用嵌入式結(jié)構(gòu)，保留指令信號的快速通路，見圖2-5.2.2.3 補償器補償器是針對對象特性而設(shè)置的，它決定了重復(fù)控制系統(tǒng)的性能。當(dāng)重復(fù)控制器的內(nèi)模輸出了包含指令和擾動信息的信號后，如何使控制對象的輸出完美地跟蹤指令信號，這是補償器要解決的問題。以往的文獻利用零相移誤差跟蹤理論對補償器進行設(shè)計研究，但此方法沒有考慮到補償器對系統(tǒng)性能的影響

9、。對于控制系統(tǒng)而言，極點的位置和系統(tǒng)的性能有著密切的關(guān)系，因此本文從極點分布的角度對補償器的特性進行研究。由圖2.5給出r到e的傳遞函數(shù)：由傳遞函數(shù)可知，系統(tǒng)的極點：，當(dāng)所有的極點都位于圓心上，即z=0時，系統(tǒng)具有最好的動靜態(tài)特性，此時，在理想內(nèi)模情況下，即。所以當(dāng)取形式時，系統(tǒng)既有最好的穩(wěn)定性，又具有最快的誤差收斂速度和最小的穩(wěn)態(tài)誤差。但是有兩個因素制約著無法取的形式。首先，如果包含單元圓外的零點，這樣按照會存在單位圓外的極點，補償器會不穩(wěn)定，導(dǎo)致整個系統(tǒng)無法穩(wěn)定。其次，要想在整個頻段保證，前提是獲得一個完美精確的逆變電源模型，這在一定程度上是很難實現(xiàn)的，尤其是針對其高頻的特性。2.2.4

10、補償器的設(shè)計假定受控對象，為受控對象的響應(yīng)延時，根據(jù)前面的結(jié)論設(shè)計控制器，可以實現(xiàn)完美的跟蹤特性。但由于上述原因（補償器的極點為受控對象的零點，當(dāng)受控對象的零點在單位圓外時，可能會導(dǎo)致補償器不穩(wěn)定）不能對受控對象直接求逆的方法設(shè)計。傳統(tǒng)的方法是通過零相移誤差跟蹤理論設(shè)計相應(yīng)的控制器。首先對進行分解，得到，其中包含所有單位圓內(nèi)的零點，包含單位圓外以及單位圓上的零點。新設(shè)計的補償器形式為，其中的作用是調(diào)整的增益。根據(jù)零相移誤差跟蹤理論，應(yīng)滿足零相移、零增益的條件，因此有如下推導(dǎo)：定義：，SP的頻率形式為：其中：得出：，分析可知，幅值和頻率隨頻率的變化有明顯變化。盡管在實際系統(tǒng)中需跟蹤的信號頻率都很

11、低，和變化都很小，但是較大，所以會引起較大的延時，明顯影響對信號的跟蹤特性。此時可采用下面的數(shù)學(xué)特性達到零相移跟蹤，即：，其中，計算得:上式計算結(jié)果為一實數(shù)，這表明任何頻率下的相移均為0，在低頻段增益接近1。當(dāng)受控對象含有單元圓外零點時，補償器的形式為下面形式：，其中2.3 重復(fù)控制系統(tǒng)性能分析2.3.1 諧波抑制特性由圖2.5可以得到假設(shè)，且穩(wěn)定，那么閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為：對于圖2.5所示系統(tǒng)，若擾動d的角頻率，有：，此時，這表明重復(fù)控制器可以消除任意次諧波，并且參考信號的頻率小于采樣頻率1/2時，系統(tǒng)可對它無差跟隨。2.3.2 穩(wěn)定性分析關(guān)于穩(wěn)定性的討論，前面已經(jīng)有所涉及，在2.2.1 節(jié)

12、改進型內(nèi)模的討論中，已經(jīng)推導(dǎo)出了穩(wěn)定的一個必要條件。對于此約束條件，我們通過對內(nèi)模加濾波器Q的方式來滿足穩(wěn)定的要求。在2.2.3中，同樣涉及穩(wěn)定的問題，需通過補償器對P進行改造，使得受控對象穩(wěn)定。對于圖2.5所示的嵌入式重復(fù)控制系統(tǒng)而言，在Q、S同時作用下，系統(tǒng)的穩(wěn)定性討論可見下面：由圖2.5得出誤差e的表述為：，整理可得誤差與指令、擾動的關(guān)系為：（2-1）系統(tǒng)的特征方程為：。解此方程，可得到N個根，再根據(jù)根的分布判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。當(dāng)特征方程的所有解都位于單位圓內(nèi)，可以判定重復(fù)控制系統(tǒng)是穩(wěn)定的。但是當(dāng)方程階次較高，N較大時，根的求解比較麻煩。例如給定信號為50Hz，采樣頻率為10kHz時，N=

13、200。采樣頻率越高，N成比例的增大。對于這樣的一個高階方程，求解的難度和工作量可想而知。尤其是設(shè)計時必須反復(fù)調(diào)整參數(shù)，反復(fù)進行計算。由分析可知，當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定時有，為特征方程的一個根，必然有，對于等式而言，有，即，滿足此條件，系統(tǒng)必然穩(wěn)定。此式說明，在控制器工作的頻段內(nèi)，只要保證的模小于1，就可以保證控制系統(tǒng)是穩(wěn)定的。這一結(jié)論避免了求解特征方程的復(fù)雜過程，使得穩(wěn)定性的判斷十分簡單。同樣，也可以通過誤差表達式來研究重復(fù)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，誤差表達式可以表述成圖2.7的形式。圖中控制對象P是穩(wěn)定的，因此1-P也是穩(wěn)定的。Q為常數(shù)或具有低通濾波特性的函數(shù)，因此是穩(wěn)定環(huán)節(jié)。可見此時穩(wěn)定性僅有正反饋回路

14、決定。如果Q-SP的增益小于1，那么就可以保證e有界，即當(dāng)時，系統(tǒng)穩(wěn)定。前面的討論以數(shù)學(xué)的形式對穩(wěn)定性進行了分析，此種方法雖然嚴(yán)禁，但是不夠直觀，下面采用圖形的方式，用幾何意義闡述穩(wěn)定的條件。如圖2.8所示，將的各部分以頻率響應(yīng)的矢量形式畫在復(fù)平面上，在從0到變化的過程中，SP矢量頂端形成的軌跡不能超過以適量O的頂端為圓心的單位圓，這就是的幾何表述。從圖中可以看出，Q為1時，單位圓的圓心位于（1，0）點，單位圓的左側(cè)圓周與虛軸相切。由于受控對象的頻率特性是其固有性質(zhì)，不能改變，因此只能通過補償器S的作用保證SP的軌跡始終位于圓內(nèi)。當(dāng)P精確可知時，可令，那么SP的相角為0，幅值為1，SP矢量頂端

15、始終位于（1，0）點，系統(tǒng)有最好的穩(wěn)定性。但是由于存在建模誤差，幅值和相位的補償不可能很精確。對于實際系統(tǒng)而言，中低頻段的模型比較精確，可以設(shè)計出合適的補償器，使得SP矢量的頂點軌跡接近（1，0）點，滿足條件。但是在中高頻段，模型誤差較大，相位補償?shù)恼`差逐漸增大，當(dāng)頻率高于某一值后，SP的相角可能超過（-90，90）范圍，由于單位圓是與虛軸相切的，因此只要SP不為0，SP的軌跡必然超過單位圓，系統(tǒng)不穩(wěn)定。如果重復(fù)控制器的內(nèi)模采用改進型內(nèi)模，就可以有效地改善系統(tǒng)穩(wěn)定性。這是因為當(dāng)Q為小于1的數(shù)時，相對于圖2.8，只要SP的增益小于某一值，系統(tǒng)仍然保持穩(wěn)定。當(dāng)Q為帶有低通特性的函數(shù)時，單位圓的圓心

16、不再是固定值。在低頻段，圓心接近于（1，0）點，單位圓基本與虛軸相切。隨著頻率的升高，圓心逐漸左移，單位圓進入2，3象限。與Q為常數(shù)的作用相同，矢量SP的變化范圍更大，可獲得比常數(shù)Q更大的穩(wěn)定裕度。需要說明的是，此處對Q的分析是基于Q零相移的前提，若考慮函數(shù)型Q的相頻特性對單位圓軌跡的影響，則對的分析將很困難。2.3.3 收斂性分析由圖2.7可以看出，在穩(wěn)定的重復(fù)控制器中，Q-SP對誤差e具有衰減作用。定義：，或。假設(shè)，且指令和擾動具有完全重復(fù)性，那么有：（2-2）根據(jù)式2-1（亦可根據(jù)圖2-8看出），得到：（在無外部干擾的情況下）上式表明，每經(jīng)過一個基波周期，在每個采樣點上的誤差值都變成上周

17、期的倍，越小，誤差收斂越快。如果將以頻率響應(yīng)的形式表達，那么就可以針對任意諧波討論它的收斂速度。即為諧波收斂速度。理想情況下Q=1，SP=1，則有?？梢钥闯瞿慰固仡l率以下的所有諧波誤差分量，包括基波的誤差，都將在下一周期完全消除，此時各次諧波的誤差收斂速度都相同。但是在實際系統(tǒng)中，由于無法設(shè)計出補償器S使SP的頻率響應(yīng)與Q完全一致，所以不同頻率的諧波誤差收斂速度不同。此外由于指令和擾動在系統(tǒng)中始終處于動態(tài)調(diào)整狀態(tài)，不會呈現(xiàn)完全的重復(fù)性，這也會影響到重復(fù)控制器的收斂速度。例如帶有非線性負(fù)載的逆變電源系統(tǒng)，輸出電壓在重復(fù)控制器作用下逐周期的修正，其電流波形也發(fā)生了變化，這些因素都使得誤差收斂規(guī)律

18、變得復(fù)雜化。但是越小，收斂速度越快這一規(guī)律是成立的。2.3.4 非諧波次干擾分析通過選擇合適的參數(shù)和補償器，重復(fù)控制器可以有效地跟蹤給定信號，消除諧波干擾的影響。但是對于一個控制系統(tǒng)而言，還存在隨機干擾的情況，需要對非諧波次干擾下重復(fù)控制器的性能進行研究。假設(shè)干擾形式為白噪聲且方差為，功率譜定義為，誤差的功率譜為，定義為，誤差的方差，幅值。假設(shè)重復(fù)控制器為理想情況，Q-SP=0，Q為常數(shù)，則幅值為下面形式；（2-3）可以看出對于重復(fù)控制系統(tǒng)，幅值總是大于1。當(dāng)Q=1時，對于諧波擾動，重復(fù)控制器可以完全補償，使其誤差為0，但是對于非諧波次干擾，系統(tǒng)將其放大1倍。圖2.9為Q與的關(guān)系。上面的分析是

19、在假設(shè)Q-SP=0的條件下，實際系統(tǒng)中此假設(shè)往往不能完全成立，下面針對的情況下推導(dǎo)與SP、Q的關(guān)系。令=，令=（2-4）下面在系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下，對的變化范圍進行討論1. ，系統(tǒng)保持穩(wěn)定=2. 以為自變量研究的單調(diào)性，對求導(dǎo)的：因此，在上連續(xù)而且單調(diào)增加。由于，且在上單調(diào)遞增，的變化范圍為：在滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的條件下，的變化規(guī)律見圖2.10?？梢钥闯鱿到y(tǒng)對非諧波次干擾信號的放大倍數(shù)與Q值、SP值呈非線性關(guān)系。為大于1的值，當(dāng)時，趨向于無窮大，此時外部微小的隨機擾動都會導(dǎo)致重復(fù)控制系統(tǒng)發(fā)生振蕩，系統(tǒng)無法工作。也可以通過2.3.2節(jié)的圖2.8進行解釋，當(dāng)Q=1、時，矢量H的頂端位于單位圓周，系統(tǒng)處于臨界

20、穩(wěn)定狀態(tài)，系統(tǒng)難以穩(wěn)定工作。當(dāng)Q不變時，即SP越接近0，越小，SP=0時M有最小值1，表示此時系統(tǒng)對非諧波次干擾即不放大，也不衰減，但重復(fù)控制系統(tǒng)也失去對諧波干擾的抑制作用。因此設(shè)計時應(yīng)保證系統(tǒng)，即，此時的表達式2-3與表達式2-4相同，的值隨Q的增大而從1變化到2，見圖2.9。圖2.11給出了不同下與Q的曲線。結(jié)合圖2.10可以看出，同樣的Q下對的影響程度不同，而且是非線性關(guān)系。在實際系統(tǒng)中，應(yīng)考慮到此非線性對的影響。例如為了有效地消除諧波干擾，重復(fù)控制器參數(shù)的設(shè)計目標(biāo)是Q=SP，即，但是由于設(shè)計誤差以及其他原因，不可能精確為1，由于、的非線性關(guān)系，的微小增量都會引起的急劇增加，因此設(shè)計參數(shù)

21、時應(yīng)保證從小于1側(cè)接近1。對于逆變電源系統(tǒng)，通常在中低頻段的補償誤差較小，接近1，此頻段對非諧波干擾的放大倍數(shù)為，而在高頻段，由于補償誤差較大，遠(yuǎn)遠(yuǎn)偏離1。為了減小對非諧波次干擾的放大效應(yīng)，應(yīng)使偏向小于1的方向，即令，此時放大倍數(shù)近似為1。所以對于采用重復(fù)控制的逆變電源系統(tǒng)而言，它對非諧波次干擾的放大倍數(shù)是從低頻段的向高頻段的1變化。2.3.5 穩(wěn)態(tài)誤差分析根據(jù)2.3.1 可知，重復(fù)控制系統(tǒng)理論上可以消除任意次諧波，實現(xiàn)系統(tǒng)的零靜差。但在實際系統(tǒng)中，不可避免的存在穩(wěn)態(tài)誤差。下面對其進行分析討論。由誤差公式可以看出，誤差包含兩部分，給定信號的跟蹤誤差和擾動引起的誤差?？梢詫⑺D(zhuǎn)化在頻域進行分析。此處只考慮穩(wěn)態(tài)誤差的幅值，得到下面的表達式：這兩種誤差都被抑制到初始值（重復(fù)控制投入前）的倍，顯然這個系數(shù)代表了系統(tǒng)的諧波抑制能力，本文定義為諧波衰減率，將它寫成下面的形式：在一般情況下成立=因此，采用重復(fù)控制器后穩(wěn)態(tài)誤差減小。當(dāng)時，此時從01/2采樣頻率以下的各次諧波都被消除，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為0，與前面的分析一致。當(dāng)時，此時，系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差。值得注意的是，誤差是諧波頻率的函數(shù)，對于不同的諧波頻率，的值不同，抑制效果也不同。在實際應(yīng)用中，需要根據(jù)諧波的頻譜來設(shè)計Q、H參數(shù)，以達到最佳的抑制效果。此外對某一頻率的諧波而言，其穩(wěn)態(tài)誤差值與、的選取也有很大的關(guān)系。例如，當(dāng)，其相位幅值