1、3.1.1 變化率問題,微積分主要與四類問題的處理相關(guān):,一、已知物體運動的路程作為時間的函數(shù),求物體在任意時刻的速度與加速度等; 二、求曲線的切線; 三、求已知函數(shù)的最大值與最小值; 四、求長度、面積、體積和重心等。 導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一它是研究函數(shù)增減、變化快慢、最大（?。┲档葐栴}最一般、最有效的工具。,問題1 氣球膨脹率,在吹氣球的過程中, 可發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加, 氣球的半徑增加得越來越慢. 從數(shù)學(xué)的角度, 如何描述這種現(xiàn)象呢?,氣球的體積V(單位:L)與半徑r (單位:dm)之間的函數(shù)關(guān)系是,若將半徑 r 表示為體積V的函數(shù), 那么,當(dāng)空氣容量V從0L增加到1L ,

2、氣球半徑增加了,氣球的平均膨脹率為,當(dāng)空氣容量V從1L增加到2 L , 氣球半徑增加了,氣球的平均膨脹率為,隨著氣球體積逐漸變大,它的平均膨脹率逐漸變小,思考:,當(dāng)空氣容量從V1增加到V2時,氣球的平均膨脹率是多少?,問題2 高臺跳水,在高臺跳水運動中, 運動員相對于水面的高度 h (單位:m)與起跳后的時間 t (單位:s) 存在函數(shù)關(guān)系,如果用運動員在某段時間內(nèi)的平均速度 描述其運動狀態(tài), 那么:,在0 t 0.5這段時間里,在1 t 2這段時間里,計算運動員在 這段時間里的平均速度,并思考下面的問題:,(1) 運動員在這段時間里是靜止的嗎? (2) 你認(rèn)為用平均速度描述運動員的運動狀態(tài)有

3、什么問題嗎?,平均速度不能反映他在這段時間里運動狀態(tài)， 需要用瞬時速度描述運動狀態(tài)。,探究：,現(xiàn)有南京市某年3月和4月某天日最高氣溫記載.,觀察：3月18日到4月18日與4月18日到4月20日的溫度,變化，用曲線圖表示為：,（注： 3月18日為第一天）,例題：,問題1：“氣溫陡增”是一句生活用語，它的數(shù)學(xué)意義 是什么？（形與數(shù)兩方面）,問題2：如何量化（數(shù)學(xué)化）曲線上升的陡峭程度？,（1）曲線上BC之間一段幾乎成了“直線”，由此聯(lián)想如何量化直線的傾斜程度。,（2）由點B上升到C點，必須考察yCyB的大小，但僅僅注意yCyB的大小能否精確量化BC段陡峭程度？,在考察yCyB的同時必須考察xCxB

4、，函數(shù)的本質(zhì)在于一個量的改變本身就隱含著這種改變必定相對于另一個量的改變。,(3)我們用比值 近似地量化B、C這一段曲線的陡峭程度，并稱該比值為【32，34】上的平均變化率,(4)分別計算氣溫在區(qū)間【1，32】 【32，34】的平均變化率,現(xiàn)在回答問題“氣溫陡增” 它的數(shù)學(xué)意義是什么？（形與數(shù)兩方面）,定義:,平均變化率:,式子 稱為函數(shù) f (x)從x1到 x2的平均變化率.,令x = x2 x1 , y = f (x2) f (x1) ,則,理解： 1，式子中x 、 y 的值可正、可負(fù)，但的x值不能為0， y 的值可以為0 2，若函數(shù)f (x)為常函數(shù)時， y =0 3, 變式,思考:,觀

5、察函數(shù)f(x)的圖象 平均變化率 表示什么?,O,A,B,x,y,Y=f(x),x1,x2,f(x1),f(x2),x2-x1,f(x2)-f(x1),直線AB的斜率,練習(xí)：,1 、已知函數(shù)f(x)=-x2+x的圖象上的一點A(-1,-2)及臨近一點B(-1+x,-2+y),則y/x=( ) A 3 B 3x-(x)2 C 3-(x)2 D 3-x,D,2、求y=x2在x=x0附近的平均速度。 2x0+x,3.甲用5年時間掙到10萬元, 乙用5個月時間掙到2萬元, 如何比較和評價甲、乙兩人的經(jīng)營成果?,4.已知函數(shù) f (x) = 2 x +1, g (x) = 2 x, 分別計算在下列區(qū)間上 f (x) 及 g (x) 的平均變化率.,(1) 3 , 1 ;