1、.,層次分析法及案例分析,邵亞飛,.,目錄,1、問(wèn)題提出 2、層次分析法的定義 3、層次分析法解決問(wèn)題的思路 4、案例分享,.,目錄,1、問(wèn)題提出 2、層次分析法的定義 3、層次分析法解決問(wèn)題的思路 4、案例分享,.,問(wèn)題提出,決策,.,問(wèn)題提出,決策,買房子,買汽車,報(bào)專業(yè),娶老婆,旅游,選擇,選擇,選擇,選擇,.,問(wèn)題提出,決策,買房子,報(bào)專業(yè),旅游,價(jià)格,位置,環(huán)境,發(fā)展,難易,收益,成本,.,目錄,1、問(wèn)題提出 2、層次分析法的定義 3、層次分析法解決問(wèn)題的思路 4、案例分享,.,層次分析法（AHP）是美國(guó)運(yùn)籌學(xué)家匹茨堡大學(xué)教授薩蒂(T.L.Saaty)于上世紀(jì)70年代初，為美國(guó)國(guó)防部

2、研究“根據(jù)各個(gè)工業(yè)部門對(duì)國(guó)家福利的貢獻(xiàn)大小而進(jìn)行電力分配”課題時(shí)，應(yīng)用網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)理論和多目標(biāo)綜合評(píng)價(jià)方法，提出的一種層次權(quán)重決策分析方法。 這種方法的特點(diǎn)是在對(duì)復(fù)雜的決策問(wèn)題的本質(zhì)、影響因素及其內(nèi)在關(guān)系等進(jìn)行深入分析的基礎(chǔ)上，利用較少的定量信息使決策的思維過(guò)程數(shù)學(xué)化，從而為多目標(biāo)、多準(zhǔn)則或無(wú)結(jié)構(gòu)特性的復(fù)雜決策問(wèn)題提供簡(jiǎn)便的決策方法。 是對(duì)難于完全定量的復(fù)雜系統(tǒng)作出決策的模型和方法。,.,人們?cè)趯?duì)社會(huì)、經(jīng)濟(jì)以及管理領(lǐng)域的問(wèn)題進(jìn)行系統(tǒng)分析時(shí)，面臨的經(jīng)常是一個(gè)由相互關(guān)聯(lián)、相互制約的眾多因素構(gòu)成的復(fù)雜系統(tǒng)。層次分析法則為研究這類復(fù)雜的系統(tǒng)，提供了一種新的、簡(jiǎn)潔的、實(shí)用的決策方法。 層次分析法(AHP法)

3、 是一種解決多目標(biāo)的復(fù)雜問(wèn)題的定性與定量相結(jié)合的決策分析方法。該方法將定量分析與定性分析結(jié)合起來(lái)，用決策者的經(jīng)驗(yàn)判斷各衡量目標(biāo)能否實(shí)現(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)之間的相對(duì)重要程度，并合理地給出每個(gè)決策方案的每個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的權(quán)數(shù)，利用權(quán)數(shù)求出各方案的優(yōu)劣次序，比較有效地應(yīng)用于那些難以用定量方法解決的課題。,.,目錄,1、問(wèn)題提出 2、層次分析法的定義 3、層次分析法解決問(wèn)題的思路 4、案例分享,.,層次分析法的基本原理,層次分析法根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)和要達(dá)到的總目標(biāo)，將問(wèn)題分解為不同的組成因素，并按照因素間的相互關(guān)聯(lián)影響以及隸屬關(guān)系將因素按不同層次聚集組合，形成一個(gè)多層次的分析結(jié)構(gòu)模型，從而最終使問(wèn)題歸結(jié)為最低層(供決策的方案

4、、措施等)相對(duì)于最高層(總目標(biāo))的相對(duì)重要權(quán)值的確定或相對(duì)優(yōu)劣次序的排定。,.,層次分析法的步驟和方法,運(yùn)用層次分析法構(gòu)造系統(tǒng)模型時(shí)，大體可以分為以下四個(gè)步驟： 1. 建立層次結(jié)構(gòu)模型 2. 構(gòu)造判斷(成對(duì)比較)矩陣 3. 層次單排序及其一致性檢驗(yàn) 4. 層次總排序及其一致性檢驗(yàn),.,一、建立層次結(jié)構(gòu)模型,將決策的目標(biāo)、考慮的因素（決策準(zhǔn)則）和決策對(duì)象按它們之間的相互關(guān)系分為最高層、中間層和最低層，繪出層次結(jié)構(gòu)圖。 最高層：決策的目的、要解決的問(wèn)題。 最低層：決策時(shí)的備選方案。 中間層：考慮的因素、決策的準(zhǔn)則。 對(duì)于相鄰的兩層，稱高層為目標(biāo)層，低層為因素層。 下面舉例說(shuō)明：,.,工作選擇,可供

5、選擇的單位P1 P2 ， Pn,目標(biāo)層,準(zhǔn)則層,方案層,例1. 工作選擇,如何在幾個(gè)工作中，按照不同的需求確定最終的工作需求,.,目標(biāo)層,O(選擇旅游地),準(zhǔn)則層,方案層,例2. 選擇旅游地,如何在3個(gè)目的地中按照景色、費(fèi)用、居住條件等因素選擇.,.,二、構(gòu)造判斷(成對(duì)比較)矩陣,在確定各層次各因素之間的權(quán)重時(shí)，如果只是定性的結(jié)果，則常常不容易被別人接受，因而Santy等人提出：一致矩陣法，即： 1. 不把所有因素放在一起比較，而是兩兩相互比較。 2. 對(duì)此時(shí)采用相對(duì)尺度，以盡可能減少性質(zhì)不同的諸因 素相互比較的困難，以提高準(zhǔn)確度。,心理學(xué)家認(rèn)為成對(duì)比較的因素不宜超過(guò)9個(gè)，即每層不要超過(guò)9個(gè)因

6、素。,判斷矩陣是表示本層所有因素針對(duì)上一層某一個(gè)因素的相對(duì)重要性的比較。判斷矩陣的元素aij用Santy的19標(biāo)度方法給出。,.,判斷矩陣元素aij的標(biāo)度方法,.,設(shè)要比較各準(zhǔn)則C1,C2, , Cn對(duì)目標(biāo)O的重要性,A成對(duì)比較陣,A是正互反陣,要由A確定C1, , Cn對(duì)O的權(quán)向量,選擇旅游地,稍加分析就發(fā)現(xiàn)上述成對(duì)比較矩陣有問(wèn)題,.,成對(duì)比較的不一致情況,允許不一致，但要確定不一致的允許范圍,.,考察完全一致的情況,可作為一個(gè)排序向量,成對(duì)比較,A的秩為1，A的唯一非零特征根為n,非零特征根n所對(duì)應(yīng)的特征向量歸一化后可作為權(quán)向量,對(duì)于不一致(但在允許范圍內(nèi))的成對(duì)比較陣A， Saaty等人

7、建議用對(duì)應(yīng)于最大特征根的特征向量作為權(quán)向量w ，即,一致陣性質(zhì),但允許范圍是多大？如何界定？,.,三、層次單排序及其一致性檢驗(yàn),對(duì)應(yīng)于判斷矩陣最大特征根max的特征向量，經(jīng)歸一化(使向量中各元素之和等于1)后記為W。 W的元素為同一層次因素對(duì)于上一層次因素某因素相對(duì)重要性的排序權(quán)值，這一過(guò)程稱為層次單排序。 能否確認(rèn)層次單排序，需要進(jìn)行一致性檢驗(yàn)，所謂一致性檢驗(yàn)是指對(duì)A確定不一致的允許范圍。,定理：n 階一致陣的唯一非零特征根為n,定理：n 階正互反陣A的最大特征根 n, 當(dāng)且僅當(dāng) =n時(shí)A為一致陣,.,由于 連續(xù)的依賴于aij ，則 比n 大的越多，A 的不一致性越嚴(yán)重。用最大特征值對(duì)應(yīng)的特

8、征向量作為被比較因素對(duì)上層某因素影響程度的權(quán)向量，其不一致程度越大，引起的判斷誤差越大。因而可以用 -n 數(shù)值的大小來(lái)衡量 A 的不一致程度。,定義一致性指標(biāo):,CI=0，有完全的一致性 CI 接近于0，有滿意的一致性 CI 越大，不一致越嚴(yán)重,.,為衡量CI 的大小，引入隨機(jī)一致性指標(biāo) RI。方法為,Saaty的結(jié)果如下 隨機(jī)一致性指標(biāo) RI,則可得一致性指標(biāo),隨機(jī)構(gòu)造500個(gè)成對(duì)比較矩陣,.,一致性檢驗(yàn)：利用一致性指標(biāo)和一致性比率0.1 及隨機(jī)一致性指標(biāo)的數(shù)值表，對(duì) 進(jìn)行檢驗(yàn)的過(guò)程。,一般，當(dāng)一致性比率,的不一致程度在容許范圍之內(nèi)，有滿意的一致性，通過(guò)一致性檢驗(yàn)?？捎闷錃w一化特征向量作為權(quán)

9、向量，否則要重新構(gòu)造成對(duì)比較矩陣A，對(duì) aij 加以調(diào)整。,時(shí)，認(rèn)為,定義一致性比率 ：,.,“選擇旅游地”中準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)的權(quán)向量及一致性檢驗(yàn),準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)的成對(duì)比較陣,最大特征根=5.073,權(quán)向量(特征向量)w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T,一致性指標(biāo),隨機(jī)一致性指標(biāo) RI=1.12 (查表),一致性比率CR=0.018/1.12=0.0160.1,通過(guò)一致性檢驗(yàn),.,正互反陣最大特征根和特征向量的簡(jiǎn)化計(jì)算,精確計(jì)算的復(fù)雜和不必要,簡(jiǎn)化計(jì)算的思路一致陣的任一列向量都是特征向量，一致性尚好的正互反陣的列向量都應(yīng)近似特征向量，可取其某種意義下的平均。,和法

10、取列向量的算術(shù)平均,精確結(jié)果:w=(0.588,0.322,0.090)T, =3.010,.,四、層次總排序及其一致性檢驗(yàn),計(jì)算某一層次所有因素對(duì)于最高層(總目標(biāo))相對(duì)重要性的權(quán)值，稱為層次總排序。 這一過(guò)程是從最高層次到最低層次依次進(jìn)行的。,對(duì)總目標(biāo)Z的排序?yàn)?的層次單排序?yàn)?.,即 B 層第 i 個(gè)因素對(duì)總目標(biāo)的權(quán)值為： （影響加和）,層的層次總排序?yàn)椋?A,B,.,層次總排序的一致性檢驗(yàn),設(shè) 層 對(duì)上層( 層)中因素 的層次單排序一致性指標(biāo)為 ，隨機(jī)一致性指為 ，則層次總排序的一致性比率為：,當(dāng) 時(shí)，認(rèn)為層次總排序通過(guò)一致性檢驗(yàn)。層次總排序具有滿意的一致性，否則需要重新調(diào)整那些一致性比

11、率高的判斷矩陣的元素取值。 到此，根據(jù)最下層（決策層）的層次總排序做出最后決策。,.,1.建立層次結(jié)構(gòu)模型 該結(jié)構(gòu)圖包括目標(biāo)層，準(zhǔn)則層，方案層。,層次分析法的基本步驟歸納如下,3.計(jì)算單排序權(quán)向量并做一致性檢驗(yàn),2.構(gòu)造成對(duì)比較矩陣,從第二層開始用成對(duì)比較矩陣和19尺度。,對(duì)每個(gè)成對(duì)比較矩陣計(jì)算最大特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量，利用一致性指標(biāo)、隨機(jī)一致性指標(biāo)和一致性比率做一致性檢驗(yàn)。若檢驗(yàn)通過(guò)，特征向量（歸一化后）即為權(quán)向量；若不通過(guò)，需要重新構(gòu)造成對(duì)比較矩陣。,.,計(jì)算最下層對(duì)最上層總排序的權(quán)向量。,4.計(jì)算總排序權(quán)向量并做一致性檢驗(yàn),進(jìn)行檢驗(yàn)。若通過(guò)，則可按照總排序權(quán)向量表示的結(jié)果進(jìn)行決策，否

12、則需要重新考慮模型或重新構(gòu)造那些一致性比率 較大的成對(duì)比較矩陣。,利用總排序一致性比率,.,目錄,1、問(wèn)題提出 2、層次分析法的定義 3、層次分析法解決問(wèn)題的思路 4、案例分享,.,案例分享,1、確定評(píng)估項(xiàng)目：*類型供應(yīng)商甄選,2、建立評(píng)比指標(biāo)以及層次結(jié)構(gòu)：,.,案例分享,3、為了簡(jiǎn)化計(jì)算步驟，本文在供應(yīng)商決策分析時(shí)，只做關(guān)鍵指標(biāo)的分析，具體的層次結(jié)構(gòu)如下圖：,.,案例分享,4、建立矩陣結(jié)構(gòu) （1）建立B層次與A層次的矩陣關(guān)系 A、首先對(duì)各項(xiàng)指標(biāo)進(jìn)行打分（B1：B2，即價(jià)格指標(biāo)、質(zhì)量指標(biāo)、交貨指標(biāo)、服務(wù)指標(biāo)、硬件資質(zhì)）,特別說(shuō)明：在打分時(shí)，必須以Bii為對(duì)角線兩邊數(shù)據(jù)對(duì)稱成倒數(shù)關(guān)系，如B1比B

13、2更不重要，則B12位置打分為0.2，則B21位置打分為5，即B12=1/B21；,.,案例分享,B、進(jìn)行一致性檢測(cè)，以確保打分時(shí)不出現(xiàn)前后的邏輯錯(cuò)誤 計(jì)算上述矩陣的最大特征值 =5.08（計(jì)算方法參考高等數(shù)據(jù)，由于方法較為復(fù)雜，這里不作解釋） 計(jì)算一致性指標(biāo)： =0.08/4=0.02 （n=5，矩陣的階數(shù)），原則上 比n越大，說(shuō)明不一致性越嚴(yán)重 查詢隨機(jī)性一致性指標(biāo)：RI 當(dāng)n=5時(shí)，RI=1.12 計(jì)算一致性比率： 一般認(rèn)為當(dāng)CR0.1時(shí)，認(rèn)為矩陣的不一致程度在容許范圍之內(nèi)，可用其歸一化特征向量作為權(quán)向量，否則要重新構(gòu)造成對(duì)比較矩陣。,.,案例分享,5、計(jì)算各項(xiàng)指標(biāo)結(jié)構(gòu)的權(quán)值（歸一化特征

14、向量） 按照上述第四小點(diǎn)中說(shuō)明，可將特征值的歸一化特征向量作為權(quán)重。計(jì)算最大特征向量除高數(shù)中講到的數(shù)學(xué)方法外，有一個(gè)較為簡(jiǎn)便的方法，即“求和法”： 按照縱列求和,.,案例分享,計(jì)算 ， 得一新的矩陣 ，并按照橫列求和,.,案例分享,取橫列求和的轉(zhuǎn)制矩陣 T=1.102，2.522，0.715，0.450，0.180，求和 =5 計(jì)算每一個(gè) 的值即為最大特征值 的特征向量 0.220，0.504，0.143，0.0961，0.0361，也是作為目標(biāo)在五項(xiàng)指標(biāo)中的權(quán)重；,.,案例分享,6、采用上述相同的方法分別計(jì)算C1和C2對(duì)于B1：B5各項(xiàng)指標(biāo)的得分，即對(duì)于B1指標(biāo)C1和C2相對(duì)的有利程度分別是

15、多少； 建立B1與CI和C2的矩陣關(guān)系 采用上述的方法，分別計(jì)算C1和C2對(duì)于B1指標(biāo)的權(quán)重,得矩陣 0.167，0.833； 同理分別計(jì)算C1和C2對(duì)于B2：B5的權(quán)重 0.875，0.125 0.1，0.9 0.5，0.5 0.25，0.75,.,案例分享,7、將 - 組合建立一個(gè)新的矩陣 ：,.,案例分享,8、通過(guò) * 可以計(jì)算C1和C2的綜合得分C1和C2的得分分別為0.55和0.45，因此供應(yīng)商1的整體情況要優(yōu)于供應(yīng)商2。,.,介紹通過(guò)EXCEL進(jìn)行矩陣的乘法,上述分析中，用到了矩陣的相乘，為了提供計(jì)算效率，這里介紹一種通過(guò)EXCEL進(jìn)行矩陣計(jì)算的方法： 矩陣乘法在Excel中通過(guò)函數(shù)MMult完成，操作方法是首先選定結(jié)果區(qū)域，而后在公式欄中輸入“=MMult(矩陣A，矩陣B)”，結(jié)果區(qū)域要根據(jù)原始矩陣的大小設(shè)定，如原始矩陣分別為2行2列和2行3列，則選定的結(jié)果區(qū)域需為2行3列方可返回全部結(jié)果，即要求矩陣A的列數(shù)等于矩陣B的行數(shù)。由于MMult函數(shù)屬于數(shù)組函數(shù)，在輸入公式后需同按Ctrl+Shift+Enter鍵返回，結(jié)果將以花括號(hào)標(biāo)識(shí)，代表