1、數(shù)學(xué)物理方程答案 數(shù)學(xué)物理方程第二版數(shù)學(xué)物理方程第二版答案答案 第一章第一章 波動方程波動方程 1 方程的導(dǎo)出。定解條件方程的導(dǎo)出。定解條件 1細(xì)桿（或彈簧）受某種外界原因而產(chǎn)生縱向振動，以 u(x,t)表示靜止時在 x 點處的點 在時刻 t 離開原來位置的偏移， 假設(shè)振動過程發(fā)生的張力服從虎克定律， 試證明),(txu滿足 方程 x u E xt u x t 其中為桿的密度，E為楊氏模量。 證：在桿上任取一段，其中兩端于靜止時的坐標(biāo)分別為 x與xx?，F(xiàn)在計算這段桿 在時刻t的相對伸長。在時刻t這段桿兩端的坐標(biāo)分別為： ),();,(txxuxxtxux 其相對伸長等于 ),( ),(),(

2、txxu x xtxuxtxxuxx x 令0x，取極限得在點x的相對伸長為 x u),(tx。由虎克定律，張力),(txT等于 ),()(),(txuxEtxT x 其中)(xE是在點x的楊氏模量。 設(shè)桿的橫截面面積為),(xS則作用在桿段),(xxx兩端的力分別為 x uxSxE)()( x uxxSxxEtx)()();,().,(txx 于是得運動方程 tt uxxsx )()( x ESutx),( xxxx xESuxx| )(| )( 利用微分中值定理，消去x，再令0x得 tt uxsx)()( x x ESu() 若)(xs常量，則得 2 2 )( t u x =)( x u

3、xE x 即得所證。 2在桿縱向振動時，假設(shè)(1)端點固定，(2)端點自由， (3)端點固定在彈性支承上，試 分別導(dǎo)出這三種情況下所對應(yīng)的邊界條件。 數(shù)學(xué)物理方程答案 解：(1)桿的兩端被固定在lxx , 0兩點則相應(yīng)的邊界條件為 . 0),(, 0), 0(tlutu (2)若lx 為自由端，則桿在lx 的張力 x u xEtlT )(),(| lx 等于零，因此相應(yīng) 的邊界條件為 x u | lx =0 同理，若0x為自由端，則相應(yīng)的邊界條件為 x u 0 0x (3)若lx 端固定在彈性支承上， 而彈性支承固定于某點， 且該點離開原來位置的 偏移由函數(shù))(tv給出，則在lx 端支承的伸長

4、為)(),(tvtlu。由虎克定律有 x u E )(),(tvtluk lx 其中k為支承的剛度系數(shù)。由此得邊界條件 )(u x u )(tf lx 其中 E k 特別地，若支承固定于一定點上，則, 0)(tv得邊界條件 )(u x u 0 lx 。 同理，若0x端固定在彈性支承上，則得邊界條件 x u E )(), 0( 0 tvtuk x 即 )(u x u ).( 0 tf x 3. 試證：圓錐形樞軸的縱振動方程為 2 2 22 )1 ()1( t u h x x u h x x E 其中h為圓錐的高(如圖 1) 證：如圖，不妨設(shè)樞軸底面的半徑為 1，則x 點處截面的半徑l為： h x

5、 l1 所以截面積 2 )1 ()( h x xs。利用第 1 題，得 )1 ()1 ()( 2 2 2 2 x u h x E xt u h x x 若ExE)(為常量，則得 2 2 22 )1 ()1( t u h x x u h x x E 數(shù)學(xué)物理方程答案 4. 絕對柔軟逐條而均勻的弦線有一端固定，在它本身重力作用下，此線處于鉛垂平衡 位置，試導(dǎo)出此線的微小橫振動方程。 解：如圖 2，設(shè)弦長為l，弦的線密度為，則x點處的張力)(xT為 )()(xlgxT 且)(xT的方向總是沿著弦在x點處的切線方向。仍以),(txu表示弦上各點在時刻t沿垂直 于x軸方向的位移，取弦段),(xxx則弦段

6、兩端張力在u軸方向的投影分別為 )(sin)();(sin)(xxxxlgxxlg 其中)(x表示)(xT方向與x軸的夾角 又 . sin x u tg 于是得運動方程 x u xxl t u x )( 2 2 x u xlg xx g x 利用微分中值定理，消去x，再令0x得 )( 2 2 x u xl x g t u 。 5. 驗證 222 1 ),( yxt tyxu 在錐 222 yxt0 中都滿足波動方程 2 2 2 2 2 2 y u x u t u 證：函數(shù) 222 1 ),( yxt tyxu 在錐 222 yxt0 內(nèi)對變量 tyx,有 二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。且 tyxt t u

7、2 3 222 )( 2 2 5 222 2 3 222 2 2 )(3)(tyxtyxt t u )2()( 222 2 3 222 yxtyxt xyxt x u 2 3 222 )( 數(shù)學(xué)物理方程答案 2 2 5 222 2 3 222 2 2 3xyxtyxt x u 222 2 5 222 2yxtyxt 同理 222 2 5 222 2 2 2yxtyxt y u 所以 .2 2 2 222 2 5 222 2 2 2 2 t u yxtyxt y u x u 即得所證。 6. 在單性桿縱振動時,若考慮摩阻的影響,并設(shè)摩阻力密度涵數(shù)(即單位質(zhì)量所受的摩阻力) 與桿件在該點的速度大小

8、成正比(比例系數(shù)設(shè)為 b), 但方向相反,試導(dǎo)出這時位移函數(shù)所滿足 的微分方程. 解: 利用第 1 題的推導(dǎo),由題意知此時尚須考慮桿段xxx,上所受的摩阻力.由題設(shè), 單位質(zhì)量所受摩阻力為 t u b ,故xxx,上所受摩阻力為 t u xxsxpb 運動方程為: t u xxsxbx x u ES t u ES t u xxsx xx 2 2 利用微分中值定理，消去x,再令0x得 . 2 2 t u xsxb x u ES xt u xsx 若)(xs常數(shù)，則得 t u xb x u E xt u x 2 2 若 則得方程令也是常量是常量,., 2 E aExEx . 2 2 2 2 2 x

9、 u a t u b t u 2 達(dá)朗貝爾公式、達(dá)朗貝爾公式、 波的傳抪波的傳抪 1. 證明方程 數(shù)學(xué)物理方程答案 常數(shù)01 1 1 2 2 2 2 2 h t u h x ax u h x x 的通解可以寫成 xh atxGatxF u 其中 F,G 為任意的單變量可微函數(shù),并由此求解它的初值問題: .,:0 x t u xut 解：令vuxh則 x v uxh x u xh x v u x u xh 2 , )()()()()( 2 2 22 x v uxh x u xh x u xh x v u x u xh x 又 2 2 2 2 t v t u xh 代入原方程，得 2 2 22 2

10、 1 t v xh ax v xh 即 2 2 22 2 1 t v ax v 由波動方程通解表達(dá)式得 atxGatxFtxv, 所以 xh atxGatxF u 為原方程的通解。 由初始條件得 ) 1 ( 1 xGxF xh x xaGxaF xh x / 1 數(shù)學(xué)物理方程答案 所以 )2( 1 0 cdh a xGxF x x 由)2(),1 (兩式解出 22 1 2 1c dh a xxhxF x xo 22 1 2 1c dh a xxhxG x xo 所以 )()()()( )(2 1 ),(atxatxhatxatxh xh txu + atx atx h xha ()( )(2

11、1 .)d 即為初值問題的解散。 問初始條件)(x與)(x滿足怎樣的條件時， 齊次波動方程初值問題的解僅由右傳 播波組成？ 解：波動方程的通解為 u=F(x-at)+G(x+at) 其中 F，G 由初始條件)(x與)(x決定。初值問題的解僅由右傳播組成，必須且只須對 于任何tx,有 G(x+at)常數(shù). 即對任何 x, G(x)C 0 又 G（x）= x x a C d a x 02 )( 2 1 )( 2 1 所以)(),(xx應(yīng)滿足 )(x x x Cd a 0 1 )( 1 （常數(shù)） 或 (x)+)( 1 x a =0 3.利用傳播波法，求解波動方程的特征問題（又稱古爾沙問題） ).(

12、)( 0 0 2 2 2 2 2 xu xu x u a t u atx atx )0()0( 數(shù)學(xué)物理方程答案 解：u(x,t)=F(x-at)+G(x+at) 令 x-at=0 得 )(x=F（0）+G（2x） 令 x+at=0 得 )(x=F（2x）+G(0) 所以 F(x)=) 2 ( x -G(0). G（x）=) 2 ( x -F(0). 且 F（0）+G(0)=).0()0( 所以 u(x,t)=() 2 atx +) 2 ( atx -).0( 即為古爾沙問題的解。 4對非齊次波動方程的初值問題 )()(),(, 0 ), 0(),( 2 2 2 2 2 xx t u xut

13、xttxf x u a t u 證明： （1） 如果初始條件在 x 軸的區(qū)間x1,x 2上發(fā)生變化，那末對應(yīng)的解在區(qū)間1 x， 2 x的影響區(qū)域以外不發(fā)生變化； （2） 在 x 軸區(qū)間 2 , 1 xx上所給的初始條件唯一地確定區(qū)間 21,x x的決定區(qū) 域中解的數(shù)值。 證： （1） 非齊次方程初值問題的解為 u(x,t)= atx atx a atxatx 2 1 )()( 2 1 d)( + t tax tax ddf a 0 )( )( .),( 2 1 當(dāng)初始條件發(fā)生變化時，僅僅引起以上表達(dá)式的前兩項發(fā)生變化，即僅僅影晌到相應(yīng)齊 次方程初值的解。 當(dāng)),(x)(x在 2, 1x x上發(fā)

14、生變化， 若對任何 t0,有 x+atx2,則區(qū)間x-at,x+at 整個落在區(qū)間 2, 1x x之外， 由解的表達(dá)式知u(x,t)不發(fā)生變化， 即對t0,當(dāng)xx2+at, 也就是（x,t）落在區(qū)間 21,x x的影響域 )0( 2 tatxxatxt 數(shù)學(xué)物理方程答案 之外，解 u(x,t)不發(fā)生變化。 （1）得證。 (2). 區(qū)間 21,x x的決定區(qū)域為 atxxatxt 21 , 0 在其中任給（x,t）,則 21 xatxatxx 故區(qū)間x-at,x+at完全落在區(qū)間 21,x x中。因此 21,x x上所給的初紿 條件)(),(xx代入達(dá)朗貝爾公式唯一地確定出 u(x,t)的數(shù)值。

15、 5. 若電報方程 GRuuLGCRCLuu tttxx 為常數(shù)GRLC,具體形如 atxfttxu, 的解（稱為阻礙尼波） ，問此時GRLC,之間應(yīng)成立什么關(guān)系？ 解解 atxfttxu, atxftuxx atxftaatxftut atxftaatxftaatxftutt 2 2 代入方程，得 0 21 2 atxftGRtGRtLGCRtCL atxftLGCRataCLatxftCLa 由于f是任意函數(shù)，故fff , ,的系數(shù)必需恒為零。即 0 02 01 2 tGRtLGCRtCL tLGCRtCL CLa 于是得 2 1 a CL LGCR a tu tu 2 2 所以 tLGC

16、R a ectu 2 0 2 數(shù)學(xué)物理方程答案 代入以上方程組中最后一個方程，得 0 24 2 2 2 4 GRLGCR a LGCR a CL 又 GRCLLGCR CL a 2 2 4 1 , 1 得 即 0 2 LGCR 最后得到 R G L C 6利用波的反射法求解一端固定并伸長到無窮遠(yuǎn)處的弦振動問題 00, 0 00, 00 2 ttu xxuxu uau ttt xxtt 解：滿足方程及初始條件的解，由達(dá)朗貝爾公式給出： atx atx d a atxatxtxu 2 1 2 1 ,。 由題意知 xx,僅在 x0上給出，為利用達(dá)朗貝爾解，必須將 xx,開 拓到0x上，為此利用邊值條

17、件，得 at at datat 2 1 0。 因此對任何t必須有 atat 0 at at d 即 xx,必須接奇函數(shù)開拓到0x上，記開拓后的函數(shù)為 xx ,； 0, 0, 0, 0, xx xx x xx xx x 所以 atx atx d a atxatxtxu 2 1 2 1 , 數(shù)學(xué)物理方程答案 0, 2 1 2 1 0, 2 1 2 1 x a x td a xatatx x a x td a atxatx atx xat atx atx 。 7求方程 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z u y u x u a t u 形如trfu,的解（稱為球面波）其中 222 zyxr。 解

18、： trfu, x r r u x r r u x u 3 2 2 2 2 2 2 2 1 r x rr u r x r u x u 3 2 2 2 2 2 2 2 1 r y rr u r y r u y u ) 1 ( 3 2 2 2 2 2 2 2 r z rr u r z r u z u 代入原方程，得 ) 3 ( 3 222 2 2 2 2 2 r zyx rr u r u a t u 即 ) 2 ( 2 2 2 2 2 r u rr u a t u 令 vru ，則 2 2 2 2 2 2 2 2 2, r v r u r u r r v u r u r t v t u r ， 代

19、入方程，得 v 滿足 2 2 2 2 2 r v a t v 故得通解 )()(),(atrGatrFtrv 所以 )()( 1 atrGatrF r u 8求解波動方程的初值問題 數(shù)學(xué)物理方程答案 x t u u xt x u t u t t sin|, 0 sin 0 0 2 2 2 2 解：由非齊次方程初值問題解的公式得 dddtxu ttx tx tx tx 0 )( )( sin 2 1 sin 2 1 ),( = t dtxtxtxtx 0 )(cos()(cos( 2 1 )cos()cos( 2 1 = t dtxtx 0 )sin(sinsinsin = t ttxtx 0

20、)sin()cos(sinsinsin =xtsin 即 xttxusin),( 為所求的解。 9求解波動方程的初值問題。 2 00 22 2 1 1 |, 0| )1 ( x uu x tx uau ttt xxtt 解： ttax tax atx atx ddd a txu 0 )( )( 222 )1 (1 1 2 1 ),( atx atx atxarctgatxarctgd)()( 1 1 2 t tax tax ttax tax ddd 0 )( )( 2 0 )( )( 22 )1 (2 1 )1 ( = t d taxtax 0 22 )(1)(1 2 1 = x atx x

21、atx du ua uatx du ua uatx )1 (2 1 )1 (2 1 2222 數(shù)學(xué)物理方程答案 = atx atx x atx x atx u du a t u du za t du u ux a 2222 12112 1 = 2 2 22 )(1 )(1 ln 4 1 )()( 2atx atx a atxarctgatxarctg a x +)()(2 2 atxarctgatxarctgarctgx a t =)()( 2 1 )()( 2 1 22 atxarctgatx a atxarctgatx a + 2 2 2 )(1 )(1 ln 4 1 atx atx a

22、arctgx a t 所以 )(1 )(1 ln 2 1 2)( )2()()2( 4 1 ),( 2 2 22 3 atx atx atarctgxatxarctg aatxatxarctgaatx a txu 3 混合問題的分離變量法混合問題的分離變量法 1. 用分離變量法求下列問題的解： (1) 0),(), 0( )0()1 (, 3 sin 0 2 2 2 2 2 tlutu lxxx t u l x u x u a t u ott 解：邊界條件齊次的且是第一類的，令 )()(),(tTxXtxu 得固有函數(shù)x l n xXn sin)(，且 t l an Bt l an AtT n

23、nn sincos)(，)2 , 1(n 于是 1 sin)sincos(),( n nn x l n t l an Bt l an Atxu 今由始值確定常數(shù) n A及 n B，由始值得 1 sin 3 sin n n x l n A l x 數(shù)學(xué)物理方程答案 1 sin)( n n x l n B l an xlx 所以 , 1 3 A, 0 n A當(dāng)3n l n xdx l n xlx an B 0 sin)( 2 x l n x n l x l n n l x l n x n l l an cossincos 2 2 22 2 ) 1(1 ( 4 cos 2 sin 2 44 3 0

24、33 3 22 2 n l an l x l n n l x l n n xl 因此所求解為 1 44 3 sinsin ) 1(143 sin 3 cos),( n n x l n t l an na l x l t l a txu (2) 0)0 ,(,)0 ,( 0),(0), 0( 0 2 2 2 2 2 x t u x l h xu tl t u tu x u a t u 解：邊界條件齊次的，令 )()(),(tTxXtxu 得： 0)(, 0)0( 0 lXX XX (1) 及 )2(0 2 XaT。 求問題(1)的非平凡解，分以下三種情形討論。 1 0時，方程的通解為 xx eC

25、eCxX 21 )( 由0)0(X得0 21 cc 由0)( l X得0 21 ll eCeC 解以上方程組，得0 1 C，0 2 C，故0時得不到非零解。 數(shù)學(xué)物理方程答案 2 0時，方程的通解為xccxX 21 )( 由邊值0)0(X得0 1 c，再由0)( l X得0 2 c，仍得不到非零解。 30時，方程的通解為 xcxcxXsincos)( 21 由0)0(X得0 1 c，再由0)( l X得 0cos 2 lc 為了使0 2 c，必須 0cosl，于是 2 2 12 l n n )2 , 1 , 0(n 且相應(yīng)地得到x l n xXn 2 12 sin)( )2 , 1 , 0(n

26、 將代入方程(2)，解得 ta l n Bta l n AtT nnn 2 12 sin 2 12 cos)( )2 , 1 , 0(n 于是 0 2 12 sin) 2 12 sin 2 12 cos(),( n nn x l n ta l n Bta l n Atxu 再由始值得 0 0 2 12 sin 2 12 0 2 12 sin n n n n x l n Ba l n x l n Ax l h 容易驗證 x l n 2 12 sin)2 , 1 , 0(n構(gòu)成區(qū)間, 0l上的正交函數(shù)系： nm l nm xdx l n x l m l 當(dāng) 當(dāng) 2 0 2 12 sin 2 12

27、sin 0 利用 x l n 2 12 sin正交性，得 xdx l n x l h l A l n 2 12 sin 2 0 數(shù)學(xué)物理方程答案 l x l n n l x l n x n l l h 0 2 2 2 12 sin ) 12( 2 2 12 cos ) 12( 22 n n h ) 1( ) 12( 8 22 0 n B 所以 0 22 2 12 sin 2 12 cos ) 12( ) 1(8 ),( n n x l n ta l n n h txu 2。設(shè)彈簧一端固定，一端在外力作用下作周期振動，此時定解問題歸結(jié)為 0)0 ,()0 ,( sin),(, 0), 0( 2

28、2 2 2 2 x t u xu tAtlutu x u a t u 求解此問題。 解：邊值條件是非齊次的，首先將邊值條件齊次化，取tx l A txUsin),(，則),(txU滿 足 0), 0(tU，tAtlUsin),( 令),(),(),(txvtxUtxu代入原定解問題，則),(txv滿足 ) 1 ( )0 ,(0)0 ,( 0),(, 0), 0( sin 2 2 2 2 2 2 x l A x t v xv tlvtv tx l A x v a t v ),(txv滿足第一類齊次邊界條件，其相應(yīng)固有函數(shù)為x l n xXn sin)(，)2 , 1 , 0(n 故設(shè) )2(si

29、n)(),( 1 n n x l n tTtxv 將方程中非齊次項tx l A sin 2 及初始條件中x l A 按 x l n sin展成級數(shù)，得 1 2 sin)(sin n n x l n tftx l A 數(shù)學(xué)物理方程答案 其中 l n xdx l n tx l A l tf 0 2 sinsin 2 )( l x l n n l x l n x n l t l A 0 22 2 2 2 sincossin 2 x l A t n A n sin) 1( 2 1 2 x l n n n sin 1 其中 n l n n A xdx l n x l A l ) 1( 2 sin 2 0

30、 2 將(2)代入問題(1)，得)(tTn滿足 n nn n nn n A TT t n A tT l an tT ) 1( 2 )0(, 0)0( sin) 1( 2 )()( 1 2 2 解方程，得通解 22 1 2 )( sin ) 1( 2 sincos)( l an t n A t l an Bt l an AtT n nnn 由始值，得0 n A 222222 231 )( 2) 1( )( 2) 1(2 ) 1( 1 lan alA lann lA n A an B nn n n 所以 1 22 sin )()( 2) 1( ),( n n t l an lan alA txv

31、x l n t nlan lA n sinsin 1 )()( 2) 1( 22 221 x l n t n l t l an a lan lA n sinsinsin )()( ) 1( 2 1 22 2 因此所求解為 1 22 2 )()( ) 1( 2sin),( n lan lAtx l A txu x l n t nt l t l an a sinsinsin 數(shù)學(xué)物理方程答案 3用分離變量法求下面問題的解 0| 0| 0 00 2 2 2 2 2 lxx tt uu t u u bshx x u a t u 解：邊界條件是齊次的，相應(yīng)的固有函數(shù)為 ), 2 , 1(sin)(nx

32、l n xXn 設(shè) 1 sin)(),( n n x l n tTtxu 將非次項bshx按sinx l n 展開級數(shù)，得 1 sin)( n n x l n tfbshx 其中 shlbn ln xdx l n shx l b tf n l n 2 ) 1( sin 2 )( 222 1 0 將 1 s in)(),( n n x l n tTtxu 代入原定解問題，得)(tTn滿足 0)0(, 0)0( 2 ) 1()()()( 222 12 nn n nn TT shl ln bn tT l an tT 方程的通解為 shl ln bn an l t l an Bt l an AtT n

33、 nnn 1 222 2 ) 1( 2 )(sincos)( 由0)0( n T，得：shl ln bn an l A n n 1 222 2 ) 1( 2 )( 由0)0( n T，得0 n B 所以 )cos1 () 1( 2 ) 1 ()( 1 222 2 t l an shl ln bn an tT n n 所求解為 1 222 1 2 2 sin)cos1 ( )( ) 1(2 ),( n n x l n t l an lnn shl a bl txu 4用分離變量法求下面問題的解： 數(shù)學(xué)物理方程答案 0|,| 0| )0(2 00 0 2 2 2 2 2 tt lxx t u x

34、l h u uu b x u a t u b t u 解：方程和邊界條件都是齊次的。令 )()(),(tTxXtxu 代入方程及邊界條件，得 X X Ta bTT 2 2 0)()0(lXX 由此得邊值問題 0)()0( 0 lXX XX 因此得固有值 2 l n n ，相應(yīng)的固有函數(shù)為 , 2 , 1,sin)(nx l n xXn 又)(tT滿足方程 02 2 TabTT 將 n 代入，相應(yīng)的)(tT記作)(tTn，得)(tTn滿足 02 2 T l an bTT n n 一般言之，b很小，即阻尼很小，故通常有 , 2 , 1, 2 2 n l an b 故得通解 )sincos()(tB

35、tAetT nnnn bt n 其中 2 2 b l an n 所以 數(shù)學(xué)物理方程答案 x l n tBtAetxu nnn n n bt sin)sincos(),( 1 再由始值，得 x l n BbA x l n Ax l h nn n n n n sin)(0 sin 1 1 所以 1 0 2 ) 1( 2 sin 2 n l n n h xdx l n x l h A 1 ) 1( 2 n n n n n n bh A b B 所求解為 .sin)sin(cos ) 1(2 ),( 1 1 x l n t b t n e h txu n n n n n bt 4 高維波動方程的柯西問

36、題高維波動方程的柯西問題 1 利用泊松公式求解波動方程 )( 2 zzyyxxtt uuuau 的柯西問題 0 0 23 0 tt t u zyxu 解：泊松公式 ds ra ds rat u Sat M Sat M 4 1 4 1 現(xiàn) zyx 23 , 0 且 0 2 0 |sin),( atr s ddrrds r M at 其中 )cos,sinsin,cossin(),(rzryrxr )cos()sinsin()cossin( 23 rzyrx 332222223 cossincossin3cossin3rxrrxzyx cossinsinsinsin2 222 ryrzyzr 數(shù)學(xué)

37、物理方程答案 cossinsinsincossin2 232 ryr 計算 0 2 0 sin),(ddrr )(4 )cos(2)(sin)( 23 0 2 0 0 2323 zyxr zyxrddrzyx 0 2 00 2 0 2222 0cossin3sincossin3ddrxddrrx 0 2 00 2 0 233222 cossin3sincossin3ddxrddrxr 2 00 33 2sin 4 1 2 coscos 3 1 3 xr ddrrxrsincossin4 33 0 2 0 3 33 2 0 4 0 4 4cossinxrddr 0 2 0 22 0 2 0 0s

38、insin2sinsinsin2ddyzrddryzr zrzr ddrzddrzr 32 00 33 2 0 2 0 3 0 2 0 222 3 4 2sin 4 1 2 coscos 3 1 sinsinsinsinsin 0 2 0 22 0 2 0 2 0sincossincosddryddrry 2 00 23 0 2 0 2 0sincossin2 sinsinsin2 ddyr ddrcocyr 0 2 0 234 0 2 0 223 0sincossin sincossinsin ddr ddrr 數(shù)學(xué)物理方程答案 所以 3 1 4 3 4 4)(4 222222 3322 ztatxazyxat zrrzyxrds r Sat M atr u(x,y,z)= Sat M rat4 1 ztaxtazyx ztatxaztytx t 222223 223223 3 3 1 即為所求的解。 2 試用降維法導(dǎo)出振動方程的達(dá)朗貝爾公式。 解：三維波動方程的柯西問題 ),(),( )( 00 2 zyxuzyxu uuuau ttt zzyyxxtt 當(dāng) u 不依賴于 x,y,即 u=u(z),即得弦振動方程的柯西問題： )(),( 00 2 zuzu uau ttt zztt 利用泊松公式求解 Sat M Sat M ds ra ds rat u 4 1