1、高等代數(shù)_ 6 線性變換的值域與核,主講人：,.,一、值域與核的概念,定義1：設(shè) 是線性空間V的一個(gè)線性變換，,集合,稱為線性變換 的值域，也記作 或,集合,稱為線性變換 的核，也記作,命題: 皆為V的子空間.,.,證明: 且對(duì),有,即 對(duì)于V的加法與數(shù)量乘法封閉.,為V的子空間.,再看,首先，,.,又對(duì) 有 從而,即,故 為V的子空間.,對(duì)于V的加法與數(shù)量乘法封閉.,.,定義2：線性變換 的值域 的維數(shù)稱為 的秩；,的核 的維數(shù)稱為 的零度.,例1、在線性空間 中，令,則,所以 的秩為n1， 的零度為1.,.,1. (定理10) 設(shè) 是n 維線性空間V的線性變換，,是V的一組基， 在這組基下

2、的矩陣是A，,則,1） 的值域 是由基象組生成的子空間，即,2） 的秩A的秩.,二、有關(guān)性質(zhì),.,即,又對(duì),證：1） 設(shè),于是,有,.,因此，,的秩，又, 秩 秩,等于矩陣A的秩.,2）由1）， 的秩等于基象組,由p271補(bǔ)充題2的結(jié)論知， 的秩,.,2. 設(shè) 為n 維線性空間V的線性變換，則,的秩 的零度n,即,證明：設(shè) 的零度等于r ，在核 中取一組基,并把它擴(kuò)充為V的一組基：,生成的.,由定理10， 是由基象組,.,但,設(shè),則有,下證 為 的一組基，即證它們,即 可被 線性表出.,線性無(wú)關(guān).,.,設(shè),于是有,由于為 V的基.,的秩nr .,因此， 的秩 的零度n.,故 線 性無(wú)關(guān)，即它為

3、 的一組基.,.,雖然 與 的維數(shù)之和等于n ，但是,未必等于V.,如在例1中,注意：,.,) 是滿射,證明：) 顯然.,) 因?yàn)?若 為單射，則,3. 設(shè) 為n 維線性空間V的線性變換，則,) 是單射,反之 ，若 任取 若,則,即,故 是單射.,從而,.,是單射 是滿射.,證明： 是單射,4. 設(shè) 為n 維線性空間V的線性變換，則,是滿射.,.,例2、設(shè)A是一個(gè)n階方陣， 證明：A相似于,證：設(shè)A是n維線性空間V的一個(gè)線性變換 在一,組基 下的矩陣，即,一個(gè)對(duì)角矩陣,.,由 知,任取 設(shè),則,故有 當(dāng)且僅當(dāng),因此有,又,所以有,從而 是直和 .,.,在 中取一組基：,則 就是V的一組基.,顯

4、然有，,在 中取一組基 ：,用矩陣表示即,.,所以，A相似于矩陣,.,線性變換 在此基下的矩陣為,1) 求 及,2) 在 中選一組基，把它擴(kuò)充為V的一組基，,并求 在這組基下的矩陣.,并求 在這組基下的矩陣.,3) 在 中選一組基，把它擴(kuò)充為V的一組基，,例3、設(shè) 是線性空間V的一組基，已知,.,解：1）先求 設(shè) 它在,下的坐標(biāo)為,故,由于 有 在 下的坐標(biāo)為,.,解此齊次線性方程組，得它的一個(gè)基礎(chǔ)解系：,從而,是 的一組基.,由于 的零度為2 ，所以 的秩為2，,又由矩陣A，有,即 為2維的.,再求,.,2）因?yàn)?從而有,所以， 線性無(wú)關(guān)，,就是 的一組基.,.,而,可逆.,從而 ， 線性無(wú)關(guān)，