1、1,5.3 置信區(qū)間,一、置信區(qū)間的概念,二、尋求置信區(qū)間的方法,三、正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間,四、大樣本情形的漸近置信區(qū)間,2,定義55(置信區(qū)間),一、置信區(qū)間的概念,3,一、置信區(qū)間的概念,定義55(置信區(qū)間),4,例512 設(shè)總體XN( 2) 2已知 未知 (X1 Xn)為來(lái)自X的樣本 試求的1置信區(qū)間,二、尋求置信區(qū)間的方法,5,二、尋求置信區(qū)間的方法,例512 設(shè)總體XN( 2) 2已知 未知 (X1 Xn)為來(lái)自X的樣本 試求的1置信區(qū)間,6,二、尋求置信區(qū)間的方法,例512 設(shè)總體XN( 2) 2已知 未知 (X1 Xn)為來(lái)自X的樣本 試求的1置信區(qū)間,7,二、尋求置信區(qū)間的方

2、法,例512 設(shè)總體XN( 2) 2已知 未知 (X1 Xn)為來(lái)自X的樣本 試求的1置信區(qū)間,8,求未知參數(shù)的置信區(qū)間的一般步驟,(1)選取的一個(gè)較優(yōu)的點(diǎn)估計(jì) ；,9,解,又由2分布的可加性得,10,解,11,經(jīng)不等式變形得,解,12,三、正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間,1 均值的置信區(qū)間,(1)方差 2已知的情形,根據(jù)例512 在 2已知的條件下 的1置信區(qū)間為,13,由題意知n36 450 005,解,于是,查表得 u/2,196,從而的95%置信區(qū)間為,這里要注意 (5293 5587)是一個(gè)普通區(qū)間 “屬于該區(qū)間”這件事情的可信程度為95% 或該區(qū)間屬于那些套住的區(qū)間的概率為95%,14,例

3、515 設(shè)總體XN( 2) 其中未知 24 設(shè)(X1 Xn)為其一個(gè)樣本 (1)當(dāng)n16時(shí) 試求置信水平分別為09及095的的置信區(qū)間的長(zhǎng)度 (2) n多大方能使的90%置信區(qū)間的長(zhǎng)度不超過(guò)1? (3) n多大方能使的95%置信區(qū)間的長(zhǎng)度不超過(guò)1?,(1)記的置信區(qū)間長(zhǎng)度為 則,解,15,例515 設(shè)總體XN( 2) 其中未知 24 設(shè)(X1 Xn)為其一個(gè)樣本 (1)當(dāng)n16時(shí) 試求置信水平分別為09及095的的置信區(qū)間的長(zhǎng)度 (2) n多大方能使的90%置信區(qū)間的長(zhǎng)度不超過(guò)1? (3) n多大方能使的95%置信區(qū)間的長(zhǎng)度不超過(guò)1?,解,也就是說(shuō) 樣本容量n至少為44時(shí) 的90%置信區(qū)間的長(zhǎng)

4、度才不超過(guò)1,n(22165)2 即n44,(3)當(dāng)195%時(shí) 類(lèi)似可得n62,(1)當(dāng)190%時(shí) 1.65 當(dāng)195%時(shí) 1.96,16,(2)方差 2未知的情形,在 2未知的情況下 的1置信區(qū)間為,17,2 方差 2的置信區(qū)間,在未知時(shí) 2的1置信區(qū)間為,標(biāo)準(zhǔn)差的1置信區(qū)間為,18,在已知時(shí) 2的1置信區(qū)間為,2 方差 2的置信區(qū)間,在未知時(shí) 2的1置信區(qū)間為,19,例516 為考察某大學(xué)成年男性的膽固醇水平 現(xiàn)抽取了樣本容量為25的一個(gè)樣本 并測(cè)得樣本均值為x186 樣本標(biāo)準(zhǔn)差為s12 假定膽固醇水平XN( 2) 與 2均未知 分別求以及的90%置信區(qū)間,查表得t/2(251)t0.05

5、(24),從而的90%置信區(qū)間為(1864106) 即(18189 19011),解,1.7109,于是,20,例516 為考察某大學(xué)成年男性的膽固醇水平 現(xiàn)抽取了樣本容量為25的一個(gè)樣本 并測(cè)得樣本均值為x186 樣本標(biāo)準(zhǔn)差為s12 假定膽固醇水平XN( 2) 與 2均未知 分別求以及的90%置信區(qū)間,解,查表得,從而的90%置信區(qū)間為(974 1580),21,四、大樣本情形的漸近置信區(qū)間,如果樞軸量的分布不易確定 有時(shí)可用極限分布來(lái)構(gòu)造近似的置信區(qū)間 當(dāng)然此時(shí)要求樣本容量足夠大 近似置信區(qū)間的求法與精確的置信區(qū)間求法類(lèi)似 不同的只是將樞軸量的精確分布改為極限分布,22,例517 設(shè)總體X

6、服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布 p未知 0p1 (X1 Xn)為其樣本 試求p的置信區(qū)間,解,根據(jù)定理311(P117)知當(dāng)n足夠大時(shí)u近似服從N(0 1)分布,23,例517 設(shè)總體X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布 p未知 0p1 (X1 Xn)為其樣本 試求p的置信區(qū)間,解,對(duì)給定的置信水平1 由,經(jīng)不等式變形得 Pap2bpc01,其中,又由a0知ap2bpc0等價(jià)于p1pp2 其中,總之 對(duì)給定的1 存在p1與p2使 P(p1pp2)1 于是(p1 p2)是p的一個(gè)置信水平近似為1的置信區(qū)間,24,說(shuō)明 在實(shí)際問(wèn)題中 兩點(diǎn)分布的未知參數(shù)p的置信區(qū)間 往往采用下面簡(jiǎn)化的區(qū)間,25,例518 為了研究在一

7、指定時(shí)間段內(nèi)某地區(qū)的國(guó)際互聯(lián)網(wǎng)用戶(hù)所占的比例 隨機(jī)地調(diào)查了該地區(qū)的400名居民 發(fā)現(xiàn)其中有108名居民為上網(wǎng)者 試求該地區(qū)居民的上網(wǎng)率p的95%置信區(qū)間,由題意知總體服從01分布 參數(shù)p即上網(wǎng)率 p的置信水平近似為1的置信區(qū)間是,解,置信區(qū)間為,即(023 031),26,如果一個(gè)總體X 其均值與方差 2是兩個(gè)獨(dú)立的參數(shù) 或者我們根本就不知道X的分布類(lèi)型 那么在大樣本情形 對(duì)參數(shù)或 2的區(qū)間估計(jì)完全類(lèi)似于正態(tài)總體情形 只不過(guò)那里樞軸量的精確分布在這里均變?yōu)闈u近分布 相應(yīng)的置信區(qū)間變?yōu)榻频闹眯艆^(qū)間,例如 2未知 求的區(qū)間估計(jì),由定理44 當(dāng)樣本容量n充分大時(shí) 樞軸量,漸近服從N(0 1) 于是的近似置信區(qū)間為,大樣本情形下均值與方差的區(qū)間估計(jì),27,例519 某廠新研究開(kāi)發(fā)了某類(lèi)設(shè)備所需的關(guān)鍵部件，現(xiàn)無(wú)法確定此部件的的連續(xù)使用壽命X(單位 kh)所服從的分布類(lèi)型 通過(guò)加速失效試驗(yàn)法 測(cè)試100個(gè)此類(lèi)部件的連續(xù)使用壽命 測(cè)得樣本平均值為x1