1、專題專題 1212向量與圓錐曲線向量與圓錐曲線 高考在考什么高考在考什么 【考題回放】【考題回放】 x2y2 1點(diǎn) P(-3,1)在橢圓 2 2 1(a b 0)的左準(zhǔn)線上.過(guò)點(diǎn) P 且方向?yàn)?a a=(2,-5)的 ab 光線,經(jīng)直線y=-2 反射后通過(guò)橢圓的左焦點(diǎn),則這個(gè)橢圓的離心率為(A ) 3211 ( B )( C )( D ) 3232 uuuu r uuuur y2 21的焦點(diǎn)為 F 1、F2，點(diǎn) M 在雙曲線上且 MF 1MF2 0,則 2已知雙曲線x 2 ( A ) 點(diǎn) M 到 x 軸的距離為（C） （A） 2 345 （B）（C）（D） 3 333 r uuu ruuu r

2、uuu ruuu 點(diǎn) P 關(guān)于 y 軸對(duì)稱，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，若BP 2PA且OQgAB 1，則點(diǎn) P 的軌跡方程 是（D ） 3 設(shè)過(guò)點(diǎn) P(x,y)的直線分別與 x 軸的正半軸和 y 軸的正半軸交于 A,B 兩點(diǎn)， 點(diǎn) Q 與 3 2 3 y 1(x 0, y 0)B3x2y21(x 0, y 0) 22 33 Cx23y21(x 0, y 0)Dx23y21(x 0, y 0) 22 A3x2 4已知兩點(diǎn)M（2，0）、N（2，0），點(diǎn) P 為坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足 MN MP MN NP 0 ，則動(dòng)點(diǎn) P（x，y）的軌跡方程為（ B ） （A）y2 8x（B）y2 8x（C）y2 4x（D

3、）y2 4x 5若曲線 y2|x|1 與直線 ykxb 沒(méi)有公共點(diǎn)，則 k、b 分別應(yīng)滿足的條件是 k k 0,b b(1,1) 6已知兩定點(diǎn)F 1 2,0 ,F 2 uuu u ruuu r 2,0 ，滿足條件PF 2 PF 1 2的點(diǎn) P 的軌跡 是曲線 E，直線 y=kx-1 與曲線 E 交于 A,B 兩點(diǎn)。如果AB 6 3，且曲線 E 上存在點(diǎn) uuu ruuu ruuu r C，使OAOB mOC，求 m 的值和ABC 的面積 S。 【專家解答專家解答】由雙曲線的定義可知，曲線E是以 F 1 2,0 ,F 2 且c 2,0為焦點(diǎn)的雙曲線的左支， 22 2, a 1，易知b 1， 故曲

4、線E的方程為x y 1x 0 設(shè)Ax 1,y1 ,Bx 2 ,y 2 ，由方程組 y kx1 22 x y 1 消去y，得1k2x22kx2 0 又已知直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)A,B，有 1k2 0 2 2 2k 81k 0 解得 2 k 1 x x 2k 0 12 1k2 2 x 1x2 0 21k 又 AB 1k x 1 x 2 1k 2 22x 1 x 2 2 4x 1x2 22 2 2 2 2k 21 k2 4 2 1k2 1k 依題意得 2 1k 2k 1k 42 1k 2k 6 1k 22 2 2 3 整理后得28k 55k 25 0 555 或k2但 2 k 1k 274 5 x

5、 y 1 0 故直線AB的方程為 2 uuu ruuu ruuu r 設(shè)Cxc,yc，由已知OAOB mOC，得x 1, y1 x 2 , y 2 mx c ,my c k2 x 1 x 2 y 1 y 2 , ，m0 mm 2k2k22 又x 1 x 2 2 4 5，y 1 y 2 kx 1 x 2 2 2 2 2 8 k 1k 1k 1 8064 點(diǎn)C 4 5 , 8 將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入曲線E的方程，得 2 2 1 mm mm x c , y c ， 得m 4，但當(dāng)m 4時(shí)，所得的點(diǎn)在雙曲線的右支上，不合題意 m 4，C點(diǎn)的坐標(biāo)為 5,2 5 ，C到AB的距離為 2 5 21 5 2 1 2

6、 2 1 3 ABC的面積S 11 6 33. 23 高考要考什么高考要考什么 【考點(diǎn)透視】【考點(diǎn)透視】 近幾年平面向量與解析幾何交匯試題考查方向?yàn)?（1）考查學(xué)生對(duì)平面向量的概念、加減運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積及學(xué)生對(duì)平面向 量知識(shí)的簡(jiǎn)單運(yùn)用，如向量共線、垂直、定比分點(diǎn)。 （2）考查學(xué)生把向量作為工具的運(yùn)用能力，如求軌跡方程，圓錐曲線的定義，標(biāo) 準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系。 【熱點(diǎn)透析】【熱點(diǎn)透析】 向量具有代數(shù)與幾何形式的雙重身份，故它是聯(lián)系多項(xiàng)知識(shí)的媒介，成為中學(xué)數(shù)學(xué) 知識(shí)的一個(gè)交匯點(diǎn)，數(shù)學(xué)高考重視能力立意，在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)上設(shè)計(jì)試題，因此， 解析幾何與平面向量的融合交匯是

7、今后高考命題改革的發(fā)展方向和創(chuàng)新的必然趨勢(shì)。 要注意以平面向量作為工具，綜合處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度、共線、平行、垂直、射影等問(wèn) 題以及圓錐曲線中的軌跡、范圍、最值、定值、對(duì)稱等典型問(wèn)題。 突破重難點(diǎn)突破重難點(diǎn) y2 【范例【范例 1 1】設(shè)雙曲線x1上兩點(diǎn) A、B，AB 中點(diǎn) M（1，2） 2 （1）求直線 AB 方程； （2）如果線段 AB 的垂直平分線與雙曲線交于C、D 兩點(diǎn)，那么 A、B、C、D 是否共圓，為什么？ 解析：解析：（1）法一：顯然 AB 斜率存在。 設(shè) AB：y-2=k(x-1) y kx 2 k 由 2 y2 得(2-k2)x2-2k(2-k)x-k2+4k-6=0 1 x

8、2 x x 2 k(2 k) 當(dāng)0 時(shí)，設(shè) A（x1,y1），B（x2,y2），則 1 2 2 k2 k=1，滿足0 直線 AB：y=x+1 2 y12 1 x 1 2 法二：設(shè) A（x1,y1），B（x2,y2）， 則 2 2 y 2 x 2 1 2 1 兩式相減得(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2) 2 y y 2 2(x1 x 2 )21 x1x 2 1 k AB 1 x1 x 2 y1 y 2 2 2 y2 AB：y=x+1代入x1得0. 2 （2）設(shè) A、B、C、D 共圓于M，因AB 為弦，故 M在 AB 垂直平分線即 CD 上； 又 CD 為弦， 故圓心 M為

9、 CD 中點(diǎn)。 因此只需證CD 中點(diǎn) M 滿足|MA|=|MB|=|MC|=|MD| y x 1 由 2 y2 得 A（-1，0），B（3，4）. 又 CD 方程：y=-x+3 1 x 2 y x 3 由 2 y2 得 x2+6x-11=0. 設(shè) C(x3,y3)，D(x4,y4)，CD 中點(diǎn) M( x0,y0) 1 x 2 2 x 3 x 4 3,y 0 x 0 3 6 M（-3，6） 2 1 |MC|=|MD|=|CD|=2 10 2 又|MA|=|MB|=2 10 |MA|=|MB|=|MC|=|MD| 則x 0 A、B、C、D 在以 CD 中點(diǎn)，M（-3，6）為圓心，2 10為半徑的圓

10、上 【點(diǎn)晴】【點(diǎn)晴】第（1）小題中法一為韋達(dá)定理法，法二稱為點(diǎn)差法，當(dāng)涉及到弦的中點(diǎn) 時(shí)，常用這兩種途徑處理。在利用點(diǎn)差法時(shí)，必須檢驗(yàn)條件0 是否成立；第（2）小 題此類探索性命題通常肯定滿足條件的結(jié)論存在，然后求出該結(jié)論，并檢驗(yàn)是否滿足所 有條件，本題應(yīng)著重分析圓的幾何性質(zhì)，以定圓心和定半徑這兩定為中心。充分分析平 面圖形的幾何性質(zhì)可以使解題思路更清晰，在復(fù)習(xí)中必須引起足夠重視。 【文】【文】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l與拋物線 y22x 相交于 A、B 兩點(diǎn) （1）求證：“如果直線 l 過(guò)點(diǎn) T（3，0），那么OAOB3”是真命題； （2）寫(xiě)出（1）中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假

11、命題，并說(shuō)明理由 解解 （1）設(shè)過(guò)點(diǎn) T(3,0)的直線 l 交拋物線 y2=2x 于點(diǎn) A(x1,y1)、B(x2,y2). 當(dāng)直線 l 的鈄率不存在時(shí),直線 l 的方程為 x=3,此時(shí),直線 l 與拋物線相交于 點(diǎn) A(3, 6)、B(3,6). OAOB=3； 當(dāng)直線 l 的鈄率存在時(shí),設(shè)直線 l 的方程為y yk k(x x3)，其中k k0， y y22x x 由得kyky22y y6k k 0 y y1y y26 y yk k(x x3) 又 x x1 1 y y12,x x2 1 y y22， 22 uuu r uuu r OAOAgOBOB x x1x x2 y y1y y2

12、1 (y y1y y2)2 y y1y y23， 4 綜上所述，命題“如果直線l l過(guò)點(diǎn) T(3,0)，那么OAOB=3”是真命題； (2)逆命題逆命題是：設(shè)直線 l 交拋物線 y2=2x 于 A、B 兩點(diǎn),如果OAOB=3,那么該直線 過(guò)點(diǎn) T(3,0).該命題是假命題假命題. uuu r uuu r 1 OBOB=3,直線 AB 的方程為： 例如：取拋物線上的點(diǎn) A(2,2)，B(,1)，此時(shí)OA OAg 2 y y 2(x x1) ，而 T(3,0)不在直線 AB 上； 3 說(shuō)明：由拋物線y2=2x 上的點(diǎn) A (x1,y1)、B (x2,y2) 滿足OAOB=3，可得y1y2=6， 或

13、 y1y2=2，如果 y1y2=6，可證得直線 AB 過(guò)點(diǎn)(3,0)；如果 y1y2=2，可證得直線 AB 過(guò) 點(diǎn)(1,0),而不過(guò)點(diǎn)(3,0). 【范例【范例 2 2】已知i , j是 x,y 軸正方向的單位向量，設(shè)a=(x 3)i yj, b=(x 3)i yj,且滿足bi=|a|.求點(diǎn) P(x,y)的軌跡. r rr 2 r r 解：法一：Q bi (x 3)i yi j x3， 222 x 3 (x3) y ，化簡(jiǎn)得y 4 3x， 故點(diǎn) P 的軌跡是以( 3,0)為焦點(diǎn)以x 3為準(zhǔn)線的拋物線 r rrr r 法二：Q bi |b|cos b,i r 則b i表示b在x軸上的投影， 即點(diǎn)

14、P到x 3的距離， 設(shè) F1 (- 3,0)，F(xiàn)2(3,0)， 所以點(diǎn) P 到定點(diǎn) F2的距離與到定直線 y d P(x, y) x 3的距離相等， 故點(diǎn) P 的軌跡是以( 3,0)為焦點(diǎn)以 F 1 x 3 o F2K x x 3為準(zhǔn)線的拋物線。 【點(diǎn)晴】【點(diǎn)晴】將向量問(wèn)題坐標(biāo)化進(jìn)而數(shù)量化（法一）和將向量問(wèn)題幾何化（法二）是兩 種常用轉(zhuǎn)化方法，應(yīng)熟練掌握。 【 文文 】 已 知i , j是 x,y 軸 正 方 向 的 單 位 向 量 ， 設(shè)a=(x 3)i yj , b=(x 3)i yj,且滿足|a|+|b|=4. (1) 求點(diǎn) P(x,y)的軌跡 C 的方程. (2) 如果過(guò)點(diǎn) Q(0，m

15、)且方向向量為c=(1,1) 的直線 l 與點(diǎn) P 的軌跡交于 A，B 兩 點(diǎn)，當(dāng)AOB 的面積取到最大值時(shí)，求m 的值。 解：(1)a=(x 3)i yj,b=(x 3)i yj,且|a|+|b|=4. 點(diǎn)P(x,y)到點(diǎn)(3,0)， (-3,0)的距離這和為4， 故點(diǎn)P的軌跡方程為 x y21 4 (2)設(shè) A(x1，y1),B(x2，y2)依題意直線AB 的方程為 y=x+m.代入橢圓方程，得 2 4(m 1)xx5x28mx 4m2 4 0，則x 1+ x 2 =-8m,= 1255 2 因此，S AOB 22 1 2 ABd 2 5 (5 m2)m2 10 2 當(dāng)5 m m時(shí)，即 m

16、=時(shí)，S max 1 【范例【范例3 3】 已知點(diǎn)A(2 2， 0)， B( 2， 0)動(dòng)點(diǎn)P滿足AP AB (1)若動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡記作曲線 C1，求曲線 C1的方程. (2)已知曲線 C1交 y 軸正半軸于點(diǎn) Q，過(guò)點(diǎn) D（0， 2 | AB| BP| 2 ）作斜率為 k 的直線交曲 3 線 C1于 M、N 點(diǎn)，求證：無(wú)論 k 如何變化，以 MN 為直徑的圓過(guò)點(diǎn) Q. 解： （1） 設(shè) P(x， y)， 則有AP (x 2 2, y)AB ( 2,0)BP (x2, y) AP AB 22 2| AB| BP| 2x 4 2 2 (x 2)2 y2 得x 2y 4 2x2y2 1 得 Q

17、(0， 2) 設(shè)直線 C 的方程為 y=kx- （2）由 342 4 232 kx 0 代入 x2+2y2=4 得 (1+2k2) x2 39 設(shè) M(x1，y1) N(x2，y2)QM (x1, y12),QN (x2, y22) x1 x2 324 2k x x 12 229(1 2k ) 3(1)k 又QM QN x1x2 (kx1 4 24 2 ) (kx 2 )=x 1x2 (1 k2) 33 32 (1k2) 4 2324 24 2k32 k(x 1 x 2 ) 9 k 0 223912k33(12k )9 QM QN點(diǎn) Q 在以 MN 為直徑的圓上. 【點(diǎn)晴】【點(diǎn)晴】直接法求軌跡

18、是最常見(jiàn)的方法，要注意運(yùn)用；向量是將幾何問(wèn)題代數(shù)化的 有力工具。 【文】【文】如圖，過(guò)拋物線 x2=4y 的對(duì)稱軸上任一點(diǎn) P（0,m）(m0)作直線與拋物線交于A，B 兩點(diǎn)，點(diǎn) Q 是點(diǎn) P 關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn).設(shè)點(diǎn) P 分有向線段AB所 成的比為，證明: QP (QAQB)； 解：依題意，可設(shè)直線AB 的方程為y kx m, 2 代入拋物線方程x 4y得x 4kx 4m 0. 2 設(shè) A、B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 (x 1 , y 1 )、(x 2 , y 2 ), 則x1、x2是方程的兩根. 所以 x 1 x 2 4m. 由點(diǎn) P（0，m）分有向線段AB所成的比為，得 又點(diǎn) Q 是點(diǎn) P 關(guān)于

19、原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)， 故點(diǎn) Q 的坐標(biāo)是（0，m），從而QP (0,2m). x 1 x 2 x 0,即 1. 1x 2 QAQB (x 1, y1 m)(x 2 , y 2 m) (x 1 x 2 , y 1 y 2 (1)m). QP(QAQB) 2my 1 y 2 (1)m 2x 1 2x 1 x 2 xx x 4m 2m(11)n 2m(x 1 x 2 )12 4x 2 4x 2 4x 2 4m 4m 0. 2m(x 1 x 2 ) 4x 2 所以QP (QAQB). 【范例【范例 4 4】已知 A,B 為拋物線 坐標(biāo)為（0，2p） （1）求證：A,B,C 三點(diǎn)共線； x2=2py(p0)上

20、異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)， uuu r uuu r OAOB 0，點(diǎn) C uuuu r uuu r （2）若AMBM（R）且OM AB 0試求點(diǎn) M 的軌跡方程。 uuu r uuu r x 1 2x 2 2 ),B(x 2 ,)，由OAOB 0得 （1）證明：設(shè)A(x 1,2p 2p x 1 2x 2 2 x 1x2 0,x 1x2 4p2， 2p 2p uuu rr x 1 2 uuu x 2 2x 1 2 ),AB(x 2 x 1, ) 又Q AC(x 1,2p2p 2p x 2 2x 1 2x 1 2 x 1 (2p)(x 2 x 1)0 ， 2p2p uuu ruuu r AC / AB，即

21、A,B,C 三點(diǎn)共線。 uuuu r uuu r （2）由（1）知直線 AB 過(guò)定點(diǎn) C，又由OM AB 0及AM BM（R） 知 OMAB，垂足為M，所以點(diǎn)M 的軌跡為以 OC 為直徑的圓，除去坐標(biāo)原點(diǎn)。即點(diǎn)M 的軌跡方程為 x2+(y-p)2=p2(x0，y0)。 【點(diǎn)晴】【點(diǎn)晴】?jī)蓚€(gè)向量的平行（共線）與垂直的充要條件在解析幾何中有重要應(yīng)用。在 解題時(shí)尤其要注意幾何位置向量表達(dá)式坐標(biāo)表示之間的轉(zhuǎn)化。 【文】【文】已知雙曲線 M：x2y2=1，直線 l 與雙曲線 M 的實(shí)軸不垂直，且依次交直線 y=x、雙曲線 M、直線 y=x 于 A、B、C、D 四點(diǎn)，O 為坐標(biāo)原點(diǎn) uuu ruuu ru

22、uu r (1) 若AB BC CD，求AOD 的面積； (2) 若BOC 的面積等于AOD 面積的 1 ，求證：AB BC CD 3 22 解：（1）設(shè)l : y kx b代入x y 1, 得(1 k )x 2bkx b 1 0. L L (1) 顯然k 1, 22 222 uuu ruuu ruuu r y A B 4b k 4(1b )(1 k ) 0, 2222 即b (1k ) 0. 設(shè)B(x 1, y1 ),C(x 2 , y 2 ), 則x 1,x2是方程(1) 的兩 (1b2) 2bk , x 1x2 .個(gè)根，有x 1 x 2 221k1k 設(shè)A(x 3 , y 3 ), D(

23、x 4 , y 4 ) 由 O l C D x y kxb, 1k y x, by kxb, Q AB BC CD,所以x 1 x 2 1 x 3 x 4 。由得x 4 3 1k y x, 得x 3 b ;。 24b 4 12b ,整理，得b2 9 (k21).所以 83 1k21k2 bb Q b2 0,k21.又Q OA 2, OD 2,AOD 90, 1 k1 k 2bk 1k2 2 S AOB 1 2 OA OD 9 . 1k28 x x 4 x 1 x 2 bk 2 ,x Q 3 bk 2 , 22 1k1k b2 （2）設(shè)BC的中點(diǎn)為P, AD的中點(diǎn)Q,則xP xP xQ, 又P,

24、Q都在直線上, 所以P,Q重合. AP DP, AP BP DP CP, AB CD. 又S BOC 1 S AOD , BC 1 AD, AB CD 2 AD , AB BC CD. 333 自我提升自我提升 1、平面直角坐標(biāo)系中，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知 A（3，1），B（-1，3），若點(diǎn) C 滿 足OC OAOB，其中R，且=1，則點(diǎn) C 的軌跡方程為(D) A 3x+2y-11=0B(x-1)2+(y-2)2=5C 2x-y=0D x+2y-5=0 2、已知i , j是 x,y 軸正方向的單位向量，設(shè)a=(x 2)i yj, b=(x 2)i yj, 且滿足|a|+|b|=4.則點(diǎn) P(x

25、,y)的軌跡是.( C ) A橢圓B雙曲線C線段D射線 3、中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)為(0，52)的橢圓被直線 3xy2=0 截得的弦的中 點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 1 ，則橢圓方程為(C ) 2 2x22y22x22y2x2y2x2y2 A.1 B.1C.1 D.1 2575752525757525 x2y2 1恒有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是（A）. 4、直線y=kx+1與橢圓 5m 5、 已知i , j是x,y軸正方向的單位向量， 設(shè)a=(x 3)i yj,b=(x 3)i yj, y2 2 且滿足|a|-|b|=2.則點(diǎn) P(x,y)的軌跡 C 的方程為_(kāi).( x 1(x 0). 2 6已知A、B 為拋

26、物線 x2=2py (p0)上兩點(diǎn)，直線AB 過(guò)焦點(diǎn) F，A、B 在準(zhǔn)線上的 射影分別為 C、D，則y 軸上恒存在一點(diǎn) K，使得KA KF 0；CF DF 0； 存在實(shí)數(shù)使得 AD AO；若線段 AB 中點(diǎn) P 在在準(zhǔn)線上的射影為 T，有 A、m1且m5B、m1C、m5D、m5 FT AB 0。中說(shuō)法正確的為_(kāi) 7已知圓x2+y2=1，雙曲線(x-1)2-y2=1，直線l 同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：與雙曲線 交于不同兩點(diǎn)；與圓相切， 且切點(diǎn)是直線與雙曲線相交所得弦的中點(diǎn)。 求直線 l 方程。 分析：分析：選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程形式，把條件“l(fā) 是圓的切線”“切點(diǎn) M 是弦 AB 中點(diǎn)”翻 譯為關(guān)于參數(shù)的方程組。 法一：當(dāng) l 斜率不存在時(shí)，x=-1 滿足； 當(dāng) l 斜率存在時(shí)，設(shè) l：y=kx+b 與O 相切，設(shè)切點(diǎn)為 M，則|OM|=1 |b| 1 b2=k2+1 k21 y