1、北京市西城區(qū)2020學(xué)年度第一學(xué)期期末試卷高三數(shù)學(xué)第卷（共40分）本試卷共5頁,共150分.考試時長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上,在試 卷上作答無效.一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題列出的四個選項中,選出符合題目要求的一項1.設(shè)集合,若集合有且僅有個元素,則實數(shù)的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)集合的交集運(yùn)算，由題意知，由此可得，【詳解】因為集合有且僅有個元素，所以，即有故選：B【點睛】本題主要考查集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題2.已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第

2、四象限【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，化簡復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)的表示，即可判定，得到答案.【詳解】由題意，復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于第四象限.故選D.【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的表示，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，準(zhǔn)確化簡復(fù)數(shù)為代數(shù)形式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3.在中,若,則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和求出角，再根據(jù)正弦定理即可求出邊【詳解】因為，所以根據(jù)正弦定理知，即，解得故選：D【點睛】本題主要考查已知三角形兩角和一邊，利用正弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題4.設(shè),且則下列不等式中一定成立的是（

3、 ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性或者不等式的性質(zhì)，即可判斷各選項的真假【詳解】對A，若，則，錯誤；對B，當(dāng)時，取，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，錯誤；對C，因為，所以，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，正確；對D，當(dāng)時，取，錯誤故選：C【點睛】本題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性或者不等式的性質(zhì)比較大小，屬于基礎(chǔ)題5.已知直線與圓有公共點,則實數(shù)a的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】依題意可知，直線與圓相交或相切，所以由圓心到直線的距離小于等于半徑，即可求出【詳解】依題意可知，直線與圓相交或相切即為由，解得故選：A【點睛】本題主要考查直

4、線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題6.設(shè)三個向量互不共線,則 “”是 “以為邊長的三角形存在”的（ ）A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義即可判斷【詳解】因為三個向量互不共線，所以三個向量皆不為零向量，設(shè)，而互不共線，所以三點不共線當(dāng)時，因為三點不共線， ，所以以為邊長的三角形存在；若以為邊長的三角形存在，但是，故“”是 “以為邊長的三角形存在”的充分不必要條件故選：A【點睛】本題主要考查充分條件、必要條件的理解與判斷，屬于基礎(chǔ)題7.紫砂壺是中國特有的手工制造陶土工藝品,其制作始于明朝正德年間

5、.紫砂壺的壺型眾 多,經(jīng)典的有西施壺、掇球壺、石瓢壺、潘壺等.其中,石瓢壺的壺體可以近似看成一 個圓臺 (即圓錐用平行于底面的平面截去一個錐體得到的).下圖給出了一個石瓢壺的相關(guān)數(shù)據(jù)(單位:cm),那么該壺的容量約為（ ）A. 100B. C. 300D. 400【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圓臺的體積等于兩個圓錐的體積之差，即可求出【詳解】設(shè)大圓錐的高為，所以，解得故故選：B【點睛】本題主要考查圓臺體積的求法以及數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題8.已知函數(shù),若存在區(qū)間,使得函數(shù)f(x)在區(qū)間 上值域為則實數(shù)的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知

6、，即得，故可知是方程的兩個不同非負(fù)實根，由根與系數(shù)的關(guān)系即可求出【詳解】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知，即可得到，即可知是方程的兩個不同非負(fù)實根，所以，解得故選：D【點睛】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用以及一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題第卷(非選擇題 共110分)二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.9.在的展開式中,的系數(shù)為_.【答案】10【解析】【分析】根據(jù)二項展開式的通項，賦值即可求出【詳解】展開式通項為，令，所以的系數(shù)為故答案為：10【點睛】本題主要考查二項展開式某特定項的系數(shù)求法，解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確求出展開式的通項，屬于基礎(chǔ)題10.已知向量滿足,其

7、中,那么_【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示求出，再根據(jù)向量模的坐標(biāo)計算公式即可求出【詳解】因為，所以，解得因此故答案為：【點睛】本題主要考查向量平行的坐標(biāo)表示以及向量模的坐標(biāo)計算公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題11.在公差為的等差數(shù)列中, ,且成等比數(shù)列, 則_【答案】3【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，用表示出，再根據(jù)成等比數(shù)列，列式即可求解【詳解】因為，所以，而成等比數(shù)列，所以，解得或(舍去)故答案為：3【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)以及等比數(shù)列的定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題12.某四棱錐的三視圖如圖所示,則該四棱錐的四個側(cè)面中,直角三角形有_個【答案】3【解析】【分析】根據(jù)三視圖

8、先還原成四棱錐，然后在該四棱錐的四個側(cè)面中判斷，即可得出【詳解】如圖所示，該四棱錐是一個底面為直角梯形，一條側(cè)棱PA垂直于底面的四棱錐由三視圖可知，因為面，所以都是直角三角形在中，所以，也是直角三角形在中，而，所以不是直角三角形因此，該四棱錐的四個側(cè)面中，直角三角形有3個故答案為：3【點睛】本題主要考查三視圖還原成幾何體，線面垂直的定義、勾股定理及其逆定理的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的直觀想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題13.對于雙曲線,給出下列三個條件:離心率為; 一條漸近線的傾斜角為; 實軸長為,且焦點在軸上. 寫出符合其中兩個條件的一個雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 _【答案】,答案不唯一【解析】【分析】根

9、據(jù)雙曲線的性質(zhì)，選擇其中兩個條件，求出，即可得到滿足題意的一個的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程【詳解】若選擇，所以，解得，所以，因為焦點在軸上，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為若選擇其它，可以得到其它的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程故答案為：，答案不唯一【點睛】本題主要考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題14.某商貿(mào)公司售賣某種水果.經(jīng)市場調(diào)研可知:在未來天內(nèi),這種水果每箱的銷售利潤(單位:元)與時間,單位:天)之間的函數(shù)關(guān)系式為, 且日銷售量 (單位:箱)與時間之間的函數(shù)關(guān)系式為第天的銷售利潤為_元; 在未來的這天中,公司決定每銷售箱該水果就捐贈元給 “精準(zhǔn)扶貧”對象.為保證銷售積極性,要求捐贈之后每天的利潤隨時間的增大而增大,

10、則的最小值是_【答案】 (1). 1232 (2). 5【解析】【分析】先求出第4天每箱的銷售利潤，再求出當(dāng)天的銷售量即可求出該天的銷售利潤；先求出捐贈后的利潤解析式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式組即可解出【詳解】因為，所以該天的銷售利潤為；設(shè)捐贈后的利潤為元，則，化簡可得，令，因為二次函數(shù)的開口向下，對稱軸為，為滿足題意所以，解得故答案為：1232；5【點睛】本題主要考查數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用，涉及二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是對題意的理解和函數(shù)模型的建立，屬于基礎(chǔ)題三、解答題:本大題共6小題,共80分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最小正周期;

11、（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值.【答案】（1）（2）最大值最小值.【解析】【分析】（1）先利用兩角差的正弦公式展開，再利用二倍角公式和輔助角公式(或兩角差的正弦公式)合并成的形式，即可求出函數(shù)的最小正周期.（2）由，求出，再根據(jù)的單調(diào)性可求出函數(shù)的最大最小值【詳解】（1）因為所以函數(shù)最小正周期為 （2）因為，所以，而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而，所以當(dāng)，即時，取得最小值，當(dāng)，即時，取得最大值【點睛】本題主要考查兩角差的正弦公式、二倍角公式、輔助角公式的應(yīng)用，以及三角函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求法，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題16.高鐵和航空飛速發(fā)展不僅方便了人們的出行,更帶動了我

12、國經(jīng)濟(jì)的巨大發(fā)展.據(jù)統(tǒng) 計,在2020年這一年內(nèi)從 市到市乘坐高鐵或飛機(jī)出行的成年人約為萬人次.為了 解乘客出行的滿意度,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取人次作為樣本,得到下表(單位:人次):滿意度老年人中年人青年人乘坐高鐵乘坐飛機(jī)乘坐高鐵乘坐飛機(jī)乘坐高鐵乘坐飛機(jī)10分(滿意)1212022015分(一般)2362490分(不滿意)106344（1）在樣本中任取個,求這個出行人恰好不是青年人的概率;（2）在2020年從市到市乘坐高鐵的所有成年人中,隨機(jī)選取人次,記其中老年人出行的人次為.以頻率作為概率,求的分布列和數(shù)學(xué)期望;（3）如果甲將要從市出發(fā)到市,那么根據(jù)表格中的數(shù)據(jù),你建議甲是乘坐高鐵還是飛機(jī)? 并說明

13、理由.【答案】（1）（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望（3）建議甲乘坐高鐵從市到市.見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)分層抽樣的特征可以得知，樣本中出行的老年人、中年人、青年人人次分別為，即可按照古典概型的概率計算公式計算得出；（2）依題意可知服從二項分布，先計算出隨機(jī)選取人次，此人為老年人概率是，所以，即，即可求出的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）可以計算滿意度均值來比較乘坐高鐵還是飛機(jī)【詳解】（1）設(shè)事件：“在樣本中任取個，這個出行人恰好不是青年人”為， 由表可得：樣本中出行的老年人、中年人、青年人人次分別為，所以在樣本中任取個，這個出行人恰好不是青年人的概率（2）由題意，的所有可能取值為： 因為在202

14、0年從市到市乘坐高鐵的所有成年人中，隨機(jī)選取人次，此人為老年人概率是，所以， ，所以隨機(jī)變量的分布列為： 故 （3）答案不唯一，言之有理即可 如可以從滿意度的均值來分析問題，參考答案如下：由表可知，乘坐高鐵的人滿意度均值為：乘坐飛機(jī)的人滿意度均值為：因為， 所以建議甲乘坐高鐵從市到市【點睛】本題主要考查了分層抽樣的應(yīng)用、古典概型的概率計算、以及離散型隨機(jī)變量的分布列和期望的計算，解題關(guān)鍵是對題意的理解，概率類型的判斷，屬于中檔題17.如圖,在三棱柱中,平面為正三角形, 側(cè)面是邊長為的正方形,為的中點.（1）求證平面;（2）求二面角的余弦值;（3）試判斷直線與平面的位置關(guān)系,并加以證明.【答案】

15、（1）證明見解析（2）（3）直線與平面相交.證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理,在面內(nèi)找一條直線平行于即可所以連接交與點，再連接，由中位線定理可得，即可得證；（2）取的中點，連接分別以，為軸，軸，軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，再根據(jù)二面角的向量方法即可求出；（3）根據(jù)平面的法向量與直線的方向向量的關(guān)系，即可判斷直線與平面的位置關(guān)系【詳解】（1）由題意，三棱柱為正三棱柱 連接 設(shè)，則是的中點連接， 由，分別為和的中點，得又因為平面，平面，所以平面 （2）取的中點，連接因為為正三角形，且為中點，所以由，分別為和的中點，得，又因為平面， 所以平面，即有，分別以，為軸，軸，軸，如圖建

16、立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的法向量，由，得令，得 設(shè)平面的法向量，由，得令，得 設(shè)二面角的平面角為，則 由圖可得二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為（3）結(jié)論：直線與平面相交 證明：因為，且，所以 又因為平面的法向量，且，所以與不垂直，因為平面，且與平面不平行，故直線與平面相交【點睛】本題主要考查線面平行的判定定理的應(yīng)用，二面角的求法，以及直線與平面的位置關(guān)系判斷，意在考查學(xué)生的直觀想象能力、邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題18.已知橢圓右焦點為,過點且斜率為的直線與橢圓交于兩點,線段的中點為為坐標(biāo)原點.（1）證明:點在軸的右側(cè);（2）設(shè)線段的垂直平分線與軸、軸分別相交于點.若

17、與的面積相等,求直線的斜率【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出點的橫坐標(biāo)即可證出；（2）根據(jù)線段的垂直平分線求出點的坐標(biāo)，即可求出的面積，再表示出的面積，由與的面積相等列式，即可解出直線的斜率【詳解】（1）由題意，得，直線（） 設(shè)， 聯(lián)立消去，得，顯然，則點的橫坐標(biāo)， 因為，所以點在軸的右側(cè) （2）由（1）得點的縱坐標(biāo) 即 所以線段的垂直平分線方程為： 令，得；令，得 所以的面積， 的面積 因為與的面積相等，所以，解得所以當(dāng)與的面積相等時，直線的斜率【點睛】本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用、根與系數(shù)的關(guān)系應(yīng)用，以及三角

18、形的面積的計算，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題19.已知函數(shù)其中（1）當(dāng)時,求曲線在點處的切線方程;（2）當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;（3）若對于恒成立,求的最大值.【答案】（1）（2）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線斜率，由點斜式方程即可寫出切線方程；（2）求出導(dǎo)數(shù)，依據(jù)在上單調(diào)遞增，且，分別解不等式以及，即可求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和減區(qū)間；（3）由題意得在上恒成立，設(shè)，用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，求出最小值，可得再設(shè)，求出函數(shù)的最大值，即為的最大值【詳解】（1）由，得， 所以，所以曲線在點處的切線方程為 （2）由，得因為，且 在上單調(diào)遞增，所以由得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增 ，由得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減 綜上，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為 （3）由，得在上恒成立 設(shè)， 則 由，得，（） 隨著變化，與的變化情況如下表所示： 0極小值所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增 所以函數(shù)的最小值為 由題意，得，即 設(shè)，則因