1、江蘇省南通市通州區(qū)2020屆高三數(shù)學(xué)第一次調(diào)研抽測試題（含解析）參考公式：錐體的體積公式，其中為錐體的底面積，為高.一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分.請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置.1.已知集合，則=_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)集合交集的概念，可直接得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的交集運(yùn)算，熟記概念即可，屬于基礎(chǔ)題型.2.設(shè)i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的實(shí)部為_.【答案】-2【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，化簡，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋云鋵?shí)部為.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，熟記復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則即可，屬于?？碱}型.3.某校共有

2、學(xué)生2400人，其中高三年級600人.為了解各年級學(xué)生興趣愛好情況，用分層抽樣的方法從全校學(xué)生中抽取容量為100的樣本，則高三年級應(yīng)抽取的學(xué)生人數(shù)為_.【答案】25【解析】【分析】先由題意確定抽樣比，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】由題意，從全校2400人中抽取100人，抽樣比為，又高三年級共有600人，所以高三年級應(yīng)抽取的學(xué)生人數(shù)為.故答案為25【點(diǎn)睛】本題主要考查分層抽樣各層樣本數(shù)的問題，熟記分層抽樣的概念，會求抽樣比即可，屬于?？碱}型.4.若從甲乙丙丁4位同學(xué)中選出3位同學(xué)參加某個活動，則甲被選中的概率為_【答案】【解析】分析：先確定4位同學(xué)中選出3位同學(xué)事件數(shù)，再確定甲被選中事件數(shù)，最后根據(jù)古

3、典概型概率公式求結(jié)果.詳解：因?yàn)?位同學(xué)中選出3位同學(xué)共有種，甲被選中事件數(shù)有,所以甲被選中的概率為.點(diǎn)睛：古典概型中基本事件數(shù)的探求方法(1)列舉法.(2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題中的基本事件的探求.對于基本事件有“有序”與“無序”區(qū)別的題目，常采用樹狀圖法.(3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問題，通過列表把復(fù)雜的題目簡單化、抽象的題目具體化.(4)排列組合法：適用于限制條件較多且元素?cái)?shù)目較多的題目.5.在如圖所示的算法流程圖中，若輸出的y的值為-2，則輸入的x的值為_.【答案】【解析】【分析】先由程序框圖，得到該算法流程圖表示求分段函數(shù)的函數(shù)值，由輸出的值為，分類討論，即可求出

4、結(jié)果.【詳解】由題意可得，程序框圖表示求分段函數(shù)的函數(shù)值；因?yàn)檩敵龅牡闹禐?，?dāng)時(shí)，有，所以，滿足題意；當(dāng)時(shí)，有，所以，不滿足題意；所以輸入的的值為.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查條件結(jié)構(gòu)的流程圖，會分析流程圖的作用即可，屬于?？碱}型.6.已知雙曲線的焦距為4.則a的值為_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)雙曲線方程，得到焦距為 ，求解，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)殡p曲線的焦距為4，所以，解得.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查由雙曲線的焦距求參數(shù)的問題，熟記雙曲線的簡單性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.7.不等式的解集為_.【答案】(1，2)【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求解即可【詳解】由題則，故 故填(1，2)

5、【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及指數(shù)運(yùn)算，是基礎(chǔ)題8.設(shè)A，B分別為橢圓C：(ab0)的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，已知橢圓C過點(diǎn)P(2，1)，當(dāng)線段AB長最小時(shí)橢圓C的離心率為_.【答案】【解析】【分析】先由題意得到，再由橢圓過點(diǎn)，得到，由基本不等式，確定取最小值時(shí)的條件，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)锳，B分別為橢圓C：(ab0)的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，所以，又橢圓C過點(diǎn)，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號，此時(shí)，所以離心率為.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的離心率，熟記橢圓的簡單性質(zhì)，以及基本不等式的應(yīng)用即可，屬于?？碱}型.9.已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為.若，則的值為_.【答案】【解析】【分析】先設(shè)等比數(shù)

6、列的公比為，由題中條件，列出方程組，求出首項(xiàng)與公比，再由求和公式，即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意可得，即，解得，因此.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列前項(xiàng)和基本量的運(yùn)算，熟記通項(xiàng)公式與求和公式即可，屬于?？碱}型.10.將函數(shù)的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象.則“”是“函數(shù)為偶函數(shù)”的_條件，（從“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”中選填一個）【答案】充分不必要【解析】【分析】先由題意得到，結(jié)合充分條件與必要條件的概念，即可得出結(jié)果.【詳解】由題意，將函數(shù)的圖象向右平移個單位，可得的圖像，當(dāng)時(shí)，可得，顯然為偶函數(shù)，所以“”是“函數(shù)為偶函數(shù)”的充

7、分條件；若函數(shù)為偶函數(shù)，則，即，不能推出，所以“”不是“函數(shù)為偶函數(shù)”的必要條件，因此“”是“函數(shù)為偶函數(shù)”的充分不必要條件.故答案為：充分不必要【點(diǎn)睛】本題主要考查命題的充分不必要條件的判定，熟記充分條件與必要條件的概念即可，屬于常考題型.11.已知函數(shù)，若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則的值為_.【答案】3e【解析】【分析】先對函數(shù)求導(dǎo)，得到，再由曲線在點(diǎn)處的切線方程為，列出方程組，求出函數(shù)解析式，從而可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，則，又曲線在點(diǎn)處的切線方程為，當(dāng)時(shí)，即，所以有，解得.因此，所以.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查由曲線的切線方程求參數(shù)的問題，熟記導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可，屬于?？碱}型.1

8、2.設(shè)x0，y0，x2y4，則的最小值為_.【答案】9【解析】【分析】將分式展開，利用基本不等式求解即可【詳解】又x2y4即，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?，故原?故填9【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式求最值，考查等價(jià)變換思想與求解能力，注意等號成立條件13. 函數(shù)有兩個零點(diǎn)，則k的取值范圍是_.【答案】【解析】【分析】先令，作出其圖像，根據(jù)函數(shù)有兩個零點(diǎn)，得到的圖像與直線有兩個交點(diǎn)，結(jié)合圖像，即可得出結(jié)果.【詳解】令，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個零點(diǎn)，所以的圖像與直線有兩個交點(diǎn)，作出函數(shù)的圖像如下：因?yàn)?，由圖像可得：或.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查由函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)求參數(shù)的問題，通常需要將函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖像交點(diǎn)個數(shù)

9、來處理，結(jié)合函數(shù)圖像即可求解，屬于常考題型.14.在長方體中，已知底面為正方形，為的中點(diǎn)，點(diǎn)為正方形所在平面內(nèi)的一個動點(diǎn)，且滿足，則線段的長度的最大值為 _.【答案】6【解析】【分析】先以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，所在方向?yàn)檩S，軸，軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，由題意得到，設(shè)，由，得到，再由圓上的點(diǎn)與定點(diǎn)距離的問題，即可求出結(jié)果.【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，所在方向?yàn)檩S，軸，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)樵陂L方體中，已知底面為正方形，為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)辄c(diǎn)為正方形所在平面內(nèi)的一個動點(diǎn)，設(shè)，因?yàn)?，所以，整理得：即點(diǎn)可看作圓上的點(diǎn)，又，所以表示圓上的點(diǎn)與定點(diǎn)之間的距離，因此（其中表示

10、圓的半徑.）故答案為6【點(diǎn)睛】本題主要考查立體幾何中最值問題，通常可用建系的方法求解，靈活運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸的思想即可，屬于?？碱}型.二、解答題：本大題共6小題，共90分.請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，在四棱錐中，四邊形是平行四邊形，相交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，.（1）求證：平面；（2）求證：平面【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析【解析】【分析】（1）連結(jié)，根據(jù)線面平行的判定定理，即可證明結(jié)論成立；（2）根據(jù)線面垂直的判定定理，即可直接證明結(jié)論成立.【詳解】（1）連結(jié).因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，相交于點(diǎn)，所以為的中點(diǎn).因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫?，平面，所?/p>

11、平面.（2）因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以.由（1）知，所以.因?yàn)椋?平面，所以平面.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行，線面垂直的判定，熟記判定定理即可，屬于?？碱}型.16.在中，角的對邊分別為.已知向量，向量，且.（1）求角的大??；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合兩角和差正弦公式和輔助角公式可求得，根據(jù)角的范圍可確定；（2）利用余弦定理求得，根據(jù)正弦定理求得；由三角形大邊對大角知道為銳角，從而求得；利用二倍角公式求得結(jié)果.【詳解】（1） ，解得：（2）由余弦定理得：由正弦定理得： 為銳角 【點(diǎn)睛】本題考查解三角形知識的應(yīng)用，涉及到正弦定理和余弦定理解三

12、角形、兩角和差和輔助角公式化簡三角函數(shù)、平面向量數(shù)量積公式的應(yīng)用、二倍角公式的應(yīng)用等知識，屬于?？碱}型.17.設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，的前n項(xiàng)和，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為2，公比為q（），前n項(xiàng)和為.若存在正整數(shù)m，使得，求q的值.【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）先由求出，再由時(shí)，求出通項(xiàng)，進(jìn)而可求出結(jié)果；（2）先由（1）得到，根據(jù)，得到，結(jié)合題意求出或，分情況討論，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，則.當(dāng)時(shí)，即，所以.因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以，所以，所以數(shù)列是公差為4的等差數(shù)列，所以.（2）由（1）知，.由，得，所以.因?yàn)?，所以，即，由于，所以?當(dāng)時(shí)

13、，解得（舍負(fù)），當(dāng)時(shí)，解得（舍負(fù)），所以q的值為或.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，熟記等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式即可，屬于?？碱}型.18.如圖，某沿海地區(qū)計(jì)劃鋪設(shè)一條電纜聯(lián)通A，B兩地，A地位于東西方向的直線MN上的陸地處，B地位于海上一個燈塔處，在A地用測角器測得，在A地正西方向4km的點(diǎn)C處，用測角器測得.擬定鋪設(shè)方案如下：在岸MN上選一點(diǎn)P，先沿線段AP在地下鋪設(shè)，再沿線段PB在水下鋪設(shè).預(yù)算地下、水下的電纜鋪設(shè)費(fèi)用分別為2萬元/km和4萬元/km，設(shè)，鋪設(shè)電纜的總費(fèi)用為萬元.（1）求函數(shù)的解析式；（2）試問點(diǎn)P選在何處時(shí)，鋪設(shè)的總費(fèi)用最少，并說明理由.【答案

14、】（1），其中（2）當(dāng)點(diǎn)P選在距離A地處時(shí)，鋪設(shè)的總費(fèi)用最少，詳見解析.【解析】【分析】（1）過B作MN的垂線，垂足為D，根據(jù)題中條件，得到，由，得到，進(jìn)而得到，化簡即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，先設(shè)，對求導(dǎo)，用導(dǎo)數(shù)的方法研究其單調(diào)性，即可求出最值.【詳解】（1）過B作MN的垂線，垂足為D.在中，則.在中，所以.因?yàn)椋?，所?由，則，由，得.所以，即，其中.（2）設(shè)，則.令，得，所以.列表如下：0h()極小值所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以取得最小值，此時(shí).答：當(dāng)點(diǎn)P選在距離A地處時(shí)，鋪設(shè)的總費(fèi)用最少，且為萬元.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的模型的應(yīng)用，以及導(dǎo)數(shù)的方法求最值的問題，熟記導(dǎo)數(shù)的

15、方法研究函數(shù)的單調(diào)性，最值等即可，屬于?？碱}型.19.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，己知橢圓C：的左、右頂點(diǎn)為A，B，右焦點(diǎn)為F.過點(diǎn)A且斜率為k（）的直線交橢圓C于另一點(diǎn)P.（1）求橢圓C的離心率；（2）若，求的值；（3）設(shè)直線l:，延長AP交直線l于點(diǎn)Q，線段BO的中點(diǎn)為E，求證：點(diǎn)B關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)在直線PF上?！敬鸢浮浚?）（2）（3）詳見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的方程，結(jié)合橢圓離心率的求法，即可求出結(jié)果；（2）先由題意，得到直線AP的方程為代入橢圓方程，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，表示出與，進(jìn)而可得出結(jié)果；（3）由直線AP的方程與直線l的方程聯(lián)立，求出，表示出直線EF的斜率，再由結(jié)合韋

16、達(dá)定理，以及題中條件，表示出直線PF的斜率，再由題意，即可證明結(jié)論成立.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓C：，所以，.又，所以，所以橢圓C的離心率.（2）因?yàn)橹本€AP的斜率為，且過橢圓C的左頂點(diǎn)，所以直線AP的方程為.代入橢圓C的方程，得，即，解得或（舍去），將代入，得，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為.又橢圓C的右頂點(diǎn)B（2t,0），所以，所以.（3）直線AP的方程為，將代入，得，所以.因?yàn)镋為線段BQ的中點(diǎn)，所以，因?yàn)榻裹c(diǎn)F的坐標(biāo)為（t,0），所以直線EF的斜率.聯(lián)立消y得，.由于，所以，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為，所以直線PF的斜率.而直線EF的斜率為2k，若設(shè)，則有，即，所以點(diǎn)B關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)在直線PF上.【點(diǎn)睛】

17、本題主要考查橢圓的離心率，以及橢圓的應(yīng)用，熟記橢圓的方程，以及橢圓的簡單性質(zhì)即可，通常處理此類題型時(shí)，需聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理等求解，屬于?？碱}型.20.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)，若，且在上恒成立，求的取值范圍；（3）設(shè)函數(shù)，若，且在上存在零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；（2）；（3）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)后，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號即可確定單調(diào)區(qū)間；（2）分別在和兩種情況下，判斷恒成立的條件；當(dāng)時(shí)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合可構(gòu)造不等式求得的范圍；當(dāng)時(shí)，利用分離變量法得到恒成立，進(jìn)而通過求解右側(cè)函數(shù)最小值得到的范圍；兩個范

18、圍取交集即為最終結(jié)果；（3）將函數(shù)在上存在零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為在上有解的問題；通過討論的正負(fù)可分離變量變?yōu)?，利用?dǎo)數(shù)求解不等式右側(cè)函數(shù)的最大值得到結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)， 令得：函數(shù)的定義域?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為（2）由得：.當(dāng)時(shí)，恒成立當(dāng)，即時(shí)，恒成立；當(dāng)，即時(shí)，解得：綜上所述：當(dāng)時(shí)，由恒成立得：恒成立設(shè)，則.令得：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 綜上所述：的取值范圍為：（3）在上存在零點(diǎn) 在上有解即在上有解又，即在上有解設(shè)，則令得：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即 .設(shè)，則同理可證： 則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故的取值范圍為：【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，涉及到利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、

19、恒成立問題的求解、函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)問題的求解等知識；解決函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)的關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為方程或不等式有解的問題，通過分離變量法將問題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為所求參數(shù)與函數(shù)最值之間大小關(guān)系的比較.數(shù)學(xué)（附加題）21.已知矩陣的一個特征值為4.求矩陣的逆矩陣.【答案】【解析】【分析】由題意，先設(shè)矩陣M的特征多項(xiàng)式為，由題意求出，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】矩陣M的特征多項(xiàng)式為.因?yàn)榫仃嘙的一個特征值為4，所以方程有一根為4，即，所以.所以，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查求矩陣的逆矩陣問題，熟記矩陣的特征多項(xiàng)式，會由特征值求出矩陣中的參數(shù)即可，屬于?？碱}型.22.在極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程是，直線l的極坐標(biāo)方程是.試判斷直線l與曲線C的位置關(guān)系，并說明理由.【答案】直線l與曲線C相離，詳見解析【解析】【分析】根據(jù)極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，求出曲線C的直角坐標(biāo)方程為，得到直線l的直角坐標(biāo)方程為，再由幾何法，即可得出結(jié)果.【詳解】由，得，所以，即曲線C的直角坐標(biāo)方程為為圓.由，得直線l的直角坐標(biāo)方程為.所以圓心（1,0）到