1、第十二章 極限與導(dǎo)數(shù),數(shù)列的極限,第 講,2,1. 如果當(dāng)項(xiàng)數(shù)n無(wú)限增大時(shí)，無(wú)窮數(shù)列an的第n項(xiàng)an無(wú)限地 于某個(gè)常數(shù)a(即|an-a|無(wú)限地接近于 )，那么就說(shuō)數(shù)列an的極限為a，或者說(shuō)a是數(shù)列an的極限，記作 2. 如果 ， 那么 ; ; (b0).特別地，如果C是常數(shù)，那么 .,趨近,0,ab,ab,Ca,3. 常見(jiàn)的數(shù)列的極限 (1)若C為常數(shù)， . (2) = (其中k0為常數(shù)). (3)若|q|1，q為常數(shù)，則 = . (4)設(shè)無(wú)窮等比數(shù)列an的公比為q， 前n項(xiàng)和為Sn，若|q|1， 則 = .,C,0,0,1.下列極限正確的個(gè)數(shù)是( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 都不

2、正確 解:正確.故選B.,B,2. 等于( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 解:,C,3.下列四個(gè)命題中正確的是( ) 解:排除法：取an=(-1)n，排除A； 取an= ，排除B；取an=bn=n， 都不存在，排除D.,C,題型1 求代數(shù)式的極限,1. 求下列極限：,解：(1)原式 (2)原式,(3)原式=,(4)當(dāng)a3時(shí)，原式= 當(dāng)a=3時(shí)，原式= 當(dāng)0a3時(shí)，原式,點(diǎn)評(píng)：求根式型數(shù)列的極限一般是先分子有理化；求分式型數(shù)列的極限一般先對(duì)分式進(jìn)行通分、約分；求含參數(shù)的數(shù)列的極限注意分類(lèi)討論.,(1)若 求a和b的值. (2)已知 求a的取值范圍. 解：(1 ),由已知 ，得 即a

3、=1，b=-1. (2)因?yàn)?所以 所以 ，所以-4a2. 故a的取值范圍是(-4，2).,1-a=0,a+b=0，,題型2 數(shù)列背景下的極限問(wèn)題,2. 已知數(shù)列an、bn與函數(shù)f(x)、g(x)，xR滿足條件：b1=b，an=f(bn)=g(bn+1)(nN*).若f(x)=tx+1(t0，t2)，g(x)=2x，f(b)g(b)，且 存在，求t的取值范圍，并求 (用t表示). 解法1：由題設(shè)知 ，得an+1=t2an+1. 又已知t2， 可得,an+1=tbn+1+1,an=2bn+1,由f(b)g(b)，t2，t0， 可知 所以 是等比數(shù)列， 其首項(xiàng)為 ，公比為 . 于是 即 又 存在，

4、可得0| |1， 所以-2t2且t0.故,解法2：由題設(shè)知tbn+1=2bn+1，且t2， 可得 由f(b)g(b)，t2，t0， 可知 所以 是首項(xiàng)為下 ， 公比為 的等比數(shù)列.,所以 即 由an=2bn+1可知，若 存在，則 存在. 于是可得0| |1，所以-2t2且t0. 故,點(diǎn)評(píng)：涉及到單個(gè)數(shù)列的極限的問(wèn)題，一般是利用求無(wú)窮等比數(shù)列和的極限方法進(jìn)行求解.注意無(wú)窮等比數(shù)列和的極限存在的充分條件在解題中的轉(zhuǎn)化.,已知數(shù)列an是由正數(shù)構(gòu)成的數(shù)列， a1=3，且滿足lgan =lg an-1+lgc， 其中n是大于1的整數(shù)，c是正數(shù). (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn； (2)求 的值

5、. 解: (1)由已知得an=can-1, 所以 an 是首項(xiàng)a1=3， 公比為c的等比數(shù)列，則an =3cn-1.,所以Sn= (2) 當(dāng)c=2時(shí)，原式=- ; 當(dāng)c2時(shí)，原式 當(dāng)02時(shí)， 原式,3n (c=1),1.求數(shù)列的極限的基本思路是：先將表達(dá)式作適當(dāng)變形，使得各部分的極限都存在，且分母的極限不為0，再利用極限的運(yùn)算法則求解.對(duì)于項(xiàng)數(shù)與n有關(guān)的和(或積)的極限，應(yīng)先求和(或積)，再求極限. 2. 若分式的分母的極限為0，一般要通過(guò)分母有理化，或分子、分母分解因式約分等手段，改變分式結(jié)構(gòu)，使分母的極限不為0，進(jìn)而求解.,3. 將分式的分子、分母同除以某個(gè)式子，使各部分都化為基本極限的形式，是求解分式表達(dá)式的極限的常用手段. 4. 求極限式中的參數(shù)值，一般運(yùn)用方程思想求解