1、陜西陜西 20202020 陜西高考題數(shù)列陜西高考題數(shù)列 北師大版北師大版 (2020)（20）(本小題滿分 12 分) 在等差數(shù)列 24 1 ,0, n d aaaa 在等差數(shù)列中公差與的等差中項(xiàng), 是 已知數(shù)列成等比數(shù)列,求數(shù)列的通項(xiàng) 1213 , nkkka a a aa nknk （20）解：由題意得：1 分 2 214aa a 即3 分 2 11 (3 ) 1 () d d a aa 又4 分0,d 1 d a 又成等比數(shù)列, 1213 , nkkka a a aa 該數(shù)列的公比為，6 分 3 1 3 3 d q d a a 所以8 分 1 13n n kaa 又10 分 11 (1

2、) nknn d aakk a 1 3 n nk 所以數(shù)列的通項(xiàng)為 nk 1 3 n nk (2020_)（） （本小題分） 已知正項(xiàng)數(shù)列，其前項(xiàng)和滿足且成等比 n an n S 2 1056, nnn Saa 1215 ,a a a 數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng) n a. n a 20.解: 10Sn=an2+5an+6, 10a1=a12+5a1+6,解之得 a1=2 或 a1=3. 又 10Sn1=an12+5an1+6(n2), 由得 10an=(an2an12)+6(anan1),即(an+an1)(anan15)=0 an+an10 , anan1=5 (n2). 當(dāng) a1=3 時(shí),a3=1

3、3,a15=73. a1, a3,a15不成等比數(shù)列a13; 當(dāng) a1=2 時(shí), a3=12, a15=72, 有 a32=a1a15 , a1=2, an=5n3. (2020)22. (本小題滿分 12 分) 已知各項(xiàng)全不為零的數(shù)列ak的前k項(xiàng)和為Sk,且SkN N* *),其中a1=1. kaa kk ( 2 1 1 ()求數(shù)列ak的通項(xiàng)公式; ()對(duì)任意給定的正整數(shù)n(n2),數(shù)列bk滿足（k=1,2,，n-1）,b1=1. 1 1 k kk bkn ba 求b1+b2+bn. 解：（）當(dāng)，由及，得1k 1112 1 2 aSa a 1 1a 2 2a 當(dāng)時(shí)，由，得2k 111 11

4、22 kkkkkkk aSSa aaa 11 ()2 kkkk a aaa 因?yàn)?，所以從? k a 11 2 kk aa 21 1 (1) 221 m amm A ，故 2 2(1) 22 m ammA * mN * () k ak kN （）因?yàn)椋?k ak 1 1 1 k kk bnknk bak 所以 1 12 1 121 (1)(2)(1) ( 1)1 (1)2 1 k kk k kk bbbnknkn bb bbbk k AA AAAA AA A A 1 1 ( 1)(12) kk n Ckn n A， 故 123n bbbb 1231 1 ( 1)n n nnnn CCCC

5、n 012 11 1( 1)n n nnnn CCCC nn A 2020 22 （本小題滿分 14 分） 已知數(shù)列的首項(xiàng)， n a 1 3 5 a 1 3 21 n n n a a a 12n ， （）求的通項(xiàng)公式； n a （）證明：對(duì)任意的，；0 x 2 112 1(1)3 n n ax xx 12n ， （）證明： 2 12 1 n n aaa n 22解法一：（）， 1 3 21 n n n a a a 1 121 33 nn aa 1 111 11 3 nn aa 又，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列 12 1 3 n a 1 1 n a 2 3 1 3 ， 1 1212 1 3 33

6、 nn n a A 3 32 n n n a （）由（）知， 3 0 32 n n n a 2 112 1(1)3n x xx 2 112 1 1 1(1)3n x xx 2 111 (1) 1(1) n x xxa 2 112 (1)1 n axx A ，原不等式成立 2 11 1 nn n aa ax n a （）由（）知，對(duì)任意的，有0 x 12 222 112112 1(1)31(1)3 n aaaxx xxxx 2 112 1(1)3n x xx 22 1222 1(1)333n n nx xx 取， 2 21 1 1 2221133 1 13333 1 3 n nn x nn n

7、則 22 12 111 1 111 33 n n n nnn aaa n n n 原不等式成立 解法二：（）同解法一 （）設(shè)， 2 112 ( ) 1(1)3n f xx xx 則 2 222 22 (1)2(1)2 133 ( ) (1)(1)(1) nn xxxx fx xxx A ，0 x 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 2 3n x ( )0fx 2 3n x ( )0fx 當(dāng)時(shí)，取得最大值 2 3n x ( )f x 21 2 3 1 3 n n n fa 原不等式成立 （）同解法一 2020 22 （本小題滿分 12 分） 已知數(shù)列 n x滿足， * 11 11 , 21 n n xxnN x .

8、 猜想數(shù)列 n x的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論； ()證明： 1 1 1 2 |( ) 6 5 n nn xx -| 。 22 題 證（1）由 1n+1244 n 112513 213821 xxxxx x 及得， 由 246 xxx猜想：數(shù)列 2n x是遞減數(shù)列 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： （1）當(dāng) n=1 時(shí)，已證命題成立 （2）假設(shè)當(dāng) n=k 時(shí)命題成立，即 222kk xx 易知 2 0 k x，那么 2321 2224 21232123 11 11(1)(1) kk kk kkkk xx xx xxxx = 222 2212223 0 (1)(1)(1)(1) kk kkkk xx xxxx

9、 即 2(1)2(1) 2kk xx 也就是說(shuō)，當(dāng) n=k+1 時(shí)命題也成立，結(jié)合（1）和（2）知，命題成立 （2）當(dāng) n=1 時(shí)， 121 1 6 nn xxxx ，結(jié)論成立 當(dāng)2n 時(shí)，易知 11 1 11 01,12, 12 nnn n xxx x 111 1 15 (1)(1)(1)(1)2 12 nnnn n xxxx x 1 1 11 11 11(1)(1) nn nn nnnn xx xx xxxx 2n-1 11221 n-1 222 555 1 2 6 5 nnnn xxxxxx （）（） （） 2020 16.（本小題滿分 12 分） 已知 n a是公差不為零的等差數(shù)列，

10、1 1a 且 139 ,a a a成等比數(shù)列 （1）求數(shù)列 n a的通項(xiàng)公式 （2）求數(shù)列的前 N 項(xiàng)和 n S 1139 a 231 n 12d1 8 1, 112 1,0( 1 (1) 1 (2)2 , 2(1 2 ) 222222 1 2 n nn n n nn d aa a a d dd aann n S 解（1）由題設(shè)知公差d0 由成等比數(shù)列得 解得舍去） 故的通項(xiàng) 由（1）知2 由等比數(shù)列前項(xiàng)和公式得 2020 19 （本小題滿分 12 分） 如圖，從點(diǎn) P1（0，0）作軸的垂線交曲線于點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處的切線與x x ye 1(0,1) Q 1 Q 軸交于點(diǎn)再?gòu)淖鲚S的垂線交曲線于點(diǎn)，

11、依次重復(fù)上述過(guò)程得到一系列點(diǎn)：x 2 P 2 Px 2 Q ；，記點(diǎn)的坐標(biāo)為（） 11 ,P Q 22 ,P Q, nn P Q k P(,0) k x0,1,2,kn （1）試求與的關(guān)系（） ； k x 1k x 2kn （2）求 112233 | nn PQPQPQPQ 【分析】 （1）根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求切線方程，然后再求切線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）嘗試求x 出通項(xiàng)的表達(dá)式，然后再求和| nn PQ 【解】 （1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是， 1k P 1 (,0) k x x ye x ye ，在點(diǎn)處的切線方程是， 1 11 (,) k x kk Qxe 1 11 (,) k x kk Qxe 11 1

12、() kk xx k yeexx 令，則（） 0y 1 1 kk xx 2kn （2）， 1 0 x 1 1 kk xx (1) k xk ，于是有 (1) | k xk kk PQee 112233 | nn PQPQPQPQ 12(1) 1 1 1 1 n k e eee e ， 1 1 n ee e 即 112233 | nn PQPQPQPQ 1 1 n ee e 2020 17.（本小題滿分 12 分） 設(shè) n a的公比不為 1 的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為 n S，且 534 ,a a a成等差數(shù)列 （1）求數(shù)列 n a的公比； （2）證明：對(duì)任意kN， 21 , kkk SSS 成等差數(shù)列 【解析】 （1）設(shè)數(shù)列 n a的公比為q（01qq，） 。 由 534 aaa，成等差數(shù)列，得 354 2aaa，即 243 111 2a qa qa q。 由 1 00aq，得 2 20qq，解得 1 2q ， 2 1q （舍去） ，所以2q 。 （2）證法一：對(duì)任意kN， 2121 2 kkkkkkk SSSSSSS 121kkk aaa 11 220 kk aa ， 所以，對(duì)任意kN， 21 , kkk SSS 成等差數(shù)列。 證法二