1、高三數(shù)學(xué)等比數(shù)列高三數(shù)學(xué)等比數(shù)列人教實驗人教實驗 B B 版（文）版（文） 【本講教育信息本講教育信息】 一. 教學(xué)內(nèi)容： 等比數(shù)列 二. 教學(xué)內(nèi)容： 等比數(shù)列的定義、通項、前 n 項和及其應(yīng)用 三. 教學(xué)重點： 等比數(shù)列 四. 課標要求 1. 通過實例，理解等比數(shù)列的概念； 2. 探索并掌握等比數(shù)列的通項公式與前 n 項和的公式； 3. 能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題。體 會等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系。 五. 命題走向 等比數(shù)列與等差數(shù)列同樣在高考中占有重要的地位，是高考出題的重點。客觀性的試 題考查等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項公式、求和公式等基礎(chǔ)知識和基

2、本性質(zhì)的靈活應(yīng)用， 對基本的運算要求比較高，解答題大多以數(shù)列知識為工具。 預(yù)測 08 年高考對本講的考查為： （1）題型以等比數(shù)列的公式、性質(zhì)的靈活應(yīng)用為主的 12 道客觀題目； （2）關(guān)于等比數(shù)列的實際應(yīng)用問題或知識交匯題的解答題也是重點； （3）解決問題時注意數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，像通過逆推思想、函數(shù)與方程、歸納猜想、等 價轉(zhuǎn)化、分類討論等，它將能靈活考查考生運用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力。 【教學(xué)過程】 一、基本知識回顧 1. 等比數(shù)列定義 一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么 這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母表示，

3、q(0)q 即：。 （注意：“從第二項起” 、 “常數(shù)”、等比數(shù)列的公比和項都 1n a (0) n aq qq 不為零） 2. 等比數(shù)列通項公式為：。)0( 1 1 1 qaqaa n n 說明：（1）由等比數(shù)列的通項公式可以知道：當公比 q=1 時該數(shù)列既是等比數(shù)列也是 等差數(shù)列；（2）由等比數(shù)列的通項公式知：若為等比數(shù)列，則。 n a m n m n a q a 3. 等比中項 如果在中間插入一個數(shù)，使成等比數(shù)列，那么叫做的等比中ba與GbGa,Gba與 項（兩個符號相同的非零實數(shù)，都有兩個等比中項） 。 4. 等比數(shù)列前 n 項和公式 一般地，設(shè)等比數(shù)列的前 n 項和是，當 123 ,

4、 n a a aa n S 123n aaaa 時， 或；當 q=1 時，（錯位相減法） 。1q q qa S n n 1 )1 ( 11 1 n n aa q S q 1 naSn 說明：（1）和各已知三個可求第四個；（2）注意求和公式中 n Snqa, 1nn Sqaa, 1 是，通項公式中是，不要混淆；（3）應(yīng)用求和公式時，必要時應(yīng)討論 n q 1n q1q 的情況。1q 【典型例題典型例題】 例 1. “公差為 0 的等差數(shù)列是等比數(shù)列” ；“公比為的等比數(shù)列一定是遞減數(shù)列” ； 2 1 “a,b,c 三數(shù)成等比數(shù)列的充要條件是 b2=ac” ；“a,b,c 三數(shù)成等差數(shù)列的充要條件是

5、 2b=a+c” ，以上四個命題中，正確的有（ ） A. 1 個B. 2 個C. 3 個D. 4 個 解解：四個命題中只有最后一個是真命題。選 A 命題 1 中未考慮各項都為 0 的等差數(shù)列不是等比數(shù)列； 命題 2 中可知 an+1=an，an+1an未必成立，當首項 a1an，此時該數(shù)列為遞增數(shù)列； 命題 3 中，若 a=b=0，cR，此時有，但數(shù)列 a,b,c 不是等比數(shù)列，所以應(yīng)是acb 2 必要而不充分條件，若將條件改為 b=，則成為不必要也不充分條件。ac 點評點評：該題通過選擇題的形式考查了有關(guān)等比數(shù)列的一些重要結(jié)論，為此我們要注意 一些有關(guān)等差數(shù)列、等比數(shù)列的重要結(jié)論。 例 2.

6、 命題 1：若數(shù)列an的前 n 項和 Sn=an+b(a1)，則數(shù)列an是等比數(shù)列； 命題 2：若數(shù)列an的前 n 項和 Sn=an2+bn+c(a0)，則數(shù)列an是等差數(shù)列； 命題 3：若數(shù)列an的前 n 項和 Sn=nan，則數(shù)列an既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列； 上述三個命題中，真命題有（ ） A. 0 個B. 1 個C. 2 個D. 3 個 解解： 由命題 1 得，a1=a+b，當 n2 時，an=SnSn1=(a1)an1。若an是等比數(shù) 列，則=a，即=a，所以只有當 b=1 且 a0 時，此數(shù)列才是等比數(shù)列。 1 2 a a ba aa ) 1( 由命題 2 得，a1=a+b+c，

7、當 n2 時，an=SnSn1=2na+ba，若an是等差數(shù)列，則 a2a1=2a，即 2ac=2a，所以只有當 c=0 時，數(shù)列an才是等差數(shù)列。 由命題 3 得，a1=a1，當 n2 時，an=SnSn1=a1，顯然an是一個常數(shù)列，即公 差為 0 的等差數(shù)列，因此只有當 a10；即 a1 時數(shù)列an才又是等比數(shù)列。 點評點評：等比數(shù)列中通項與求和公式間有很大的聯(lián)系，上述三個命題均涉及到 Sn與 an的 關(guān)系，它們是 an=，正確判斷數(shù)列an是等差數(shù)列或等比數(shù)列，都必 , 1 1 nn SS a 時當 時當 2 1 n n 須用上述關(guān)系式，尤其注意首項與其他各項的關(guān)系。上述三個命題都不是真

8、命題，選擇 A。 例 3. （2000 全國理，20） （）已知數(shù)列cn ，其中 cn2n3n，且數(shù)列cn1pcn 為等比數(shù)列，求常數(shù) p；（）設(shè)an 、 bn是公比不相等的兩個等比數(shù)列，cn=an+bn， 證明數(shù)列cn不是等比數(shù)列。 解：（）解：因為cn1pcn是等比數(shù)列， 故有：（cn1pcn）2（cn2pcn1） （cnpcn1） ， 將 cn2n3n代入上式，得： 2n13n1p（2n3n） 22n23n2p（2n13n1） 2n3np（2n13n1） ， 即（2p）2n（3p）3n2 （2p）2n1（3p）3n1 （2p）2n1（3p）3n1 ， 整理得（2p） （3p）2n3n0，

9、解得 p=2 或 p=3。 6 1 （）證明：設(shè)an 、 bn的公比分別為 p、q，pq，cn=an+bn。 為證cn不是等比數(shù)列只需證 c22c1c3。 事實上，c22（a1pb1q）2a12p2b12q22a1b1pq， c1c3（a1b1） （a1p2b1q2）a12p2b12q2a1b1（p2q2） ， 由于 pq，p2q22pq，又 a1、b1不為零， 因此 c22c1c3，故cn不是等比數(shù)列。 點評點評：本題主要考查等比數(shù)列的概念和基本性質(zhì)，推理和運算能力。 例 4. （2020 京春，21）如圖 1，在邊長為 l 的等邊ABC 中，圓 O1為ABC 的內(nèi)切圓， 圓 O2與圓 O1

10、外切，且與 AB，BC 相切，圓 On+1與圓 On外切，且與 AB、BC 相切， 如此無限繼續(xù)下去.記圓 On的面積為 an（nN*） ，證明an是等比數(shù)列； 圖 1 證明：記 rn為圓 On的半徑，則 r1=tan30=。=sin30=，所以 2 l l 6 3 nn nn rr rr 1 1 2 1 rn=rn1（n2） ， 3 1 于是 a1=r12=，故an成等比數(shù)列。 9 1 )(, 12 2 11 2 n n n n r r a al 點評點評：該題考查實際問題的判定，需要對實際問題情景進行分析，最終根據(jù)對應(yīng)數(shù)值 關(guān)系建立模型加以解析。 例 5. 一個等比數(shù)列有三項，如果把第二項

11、加上 4，那么所得的三項就成為等差數(shù)列，如 果再把這個等差數(shù)列的第三項加上 32，那么所得的三項又成為等比數(shù)列，求原來的等比數(shù) 列。 解解：設(shè)所求的等比數(shù)列為 a，aq，aq2； 則 2(aq+4)=a+aq2，且(aq+4)2=a(aq2+32)； 解得 a=2，q=3 或 a=，q=5； 9 2 故所求的等比數(shù)列為 2，6,18 或，。 9 2 9 10 9 50 點評點評：利用等比數(shù)列的基本量，先求公比，后求其它量，這是解等差數(shù)列、等比qa , 1 數(shù)列的常用方法，其優(yōu)點是思路簡單、實用，缺點是有時計算較繁。 例 6. （2020 年陜西卷）已知正項數(shù)列，其前項和滿足 n an n S

12、且成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項 2 1056, nnn Saa 1531 ,aaa n a. n a 解解：10Sn=an2+5an+6， 10a1=a12+5a1+6，解之得 a1=2 或 a1=3。 又 10Sn1=an12+5an1+6(n2)， 由得 10an=(an2an12)+6(anan1)，即(an+an1)(anan15)=0 an+an10 , anan1=5 (n2)。 當 a1=3 時，a3=13，a15=73，a1, a3,a15不成等比數(shù)列 a13； 當 a1=2 時,，a3=12， a15=72，有 a32=a1a15 , a1=2, an=5n3。 點評點評：該題涉

13、及等比數(shù)列的求和公式與等比數(shù)列通項之間的關(guān)系，最終求得結(jié)果。 例 7. （1） （2020 年遼寧卷）在等比數(shù)列中,前項和為,若數(shù)列 n a 1 2a n n S 也是等比數(shù)列，則等于（ ）1 n a n S A. B. C. D. 1 22 n 3n2n31 n （2） （2020 年北京卷）設(shè)，則等于 4710310 ( )22222() n f nnN ( )f n （ ） A. B. C. D. 2 (81) 7 n 1 2 (81) 7 n 3 2 (81) 7 n 4 2 (81) 7 n （3） （1996 全國文，21）設(shè)等比數(shù)列an的前 n 項和為 Sn，若 S3S62S9，

14、求數(shù)列 的公比 q； 解解：（1）因數(shù)列為等比，則，因數(shù)列也是等比數(shù)列，則 n a 1 2 n n aq 1 n a 22 12112221 2 (1)(1)(1)22 (12 )01 nnnnnnnnnnnn n aaaaaa aaaaaa aqqq 即，所以，故選擇答案 C。2 n a 2 n Sn （2）D； （3）解：若 q=1，則有 S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1。 因 a10，得 S3+S62S9，顯然 q=1 與題設(shè)矛盾，故 q1。 由 S3+S6=2S9，得，整理得 q3（2q6q31） q qa q qa q qa 1 )1 (2 1 )1 ( 1 )1 ( 9 1

15、 6 1 3 1 =0，由 q0，得 2q6q31=0，從而（2q31） （q31）=0，因 q31，故 q3=，所以 2 1 q=。 2 4 3 點評點評：對于等比數(shù)列的求和問題要先分清數(shù)列的通項公式，對應(yīng)好首項和公比求出最 終結(jié)果即可。 例 8. （2020 全國文 17）設(shè)等比數(shù)列的公比，前項和為. 已知 n a1q n n S ，求的通項公式. 342 25aSS， n a 解解：由題設(shè)知， 1 1 (1) 0 1 n n aq aS q ， 則 由得， 42 15(1)qq 22 (4)(1)0qq(2)(2)(1)(1)0qqqq 因為，解得或. 1q 1q 2q 當時，代入得，通

16、項公式；1q 1 2a 1 2 ( 1)n n a 當時，代入得，通項公式. 2q 1 1 2 a 1 1 ( 2) 2 n n a 點評點評：本題考查等比數(shù)列的前 n 項和公式和通項公式，其中包含了方程和分類討論的 思想。 例 9. （1） （2020 江蘇 3）在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列an中，首項 a13，前三項和為 21，則 a3a4a5（ ） A. 33B. 72C. 84 D. 189 （2） （2000 上海，12）在等差數(shù)列an中，若 a100，則有等式 a1+a2+an=a1+a2+a19n（n19，nN 成立.類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：在等比數(shù)列) bn中，若 b91，則有等式

17、成立。 解解：（1）答案：C；解：設(shè)等比數(shù)列an的公比為 q(q0)，由題意得:a1+a2+a3=21,即 3+3q+3q2=21,q2+q-6=0，求得 q=2(q=3 舍去)，所以 a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=4故,8421 選 C。 （2）答案：b1b2bnb1b2b17n（n17，nN*； 解：在等差數(shù)列an中，由 a100，得 a1a19a2a18ana20nan1a19n2a100， 所以 a1a2ana190，即 a1a2ana19a18an1， 又a1a19，a2a18，a19nan1 a1a2ana19a18an1a1a2a19n， 若 a90，同理可得 a1

18、a2ana1a2a17n， 相應(yīng)地等比數(shù)列bn中，則可得：b1b2bnb1b2b17n（n17，nN*。 點評點評：本題考查了等比數(shù)列的相關(guān)概念及其有關(guān)計算能力。 例 10. （1）設(shè)首項為正數(shù)的等比數(shù)列，它的前 n 項和為 80，前 2n 項和為 6560，且前 n 項中數(shù)值最大的項為 54，求此數(shù)列的首項和公比 q。 解解：設(shè)等比數(shù)列an的前 n 項和為 Sn，依題意設(shè)：a10，Sn=80 ，S2n=6560。 S2n2Sn ，q1； 從而 =80，且=6560。 1 1 1 n aq q 2 1(1 ) 1 n aq q 兩式相除得 1+qn=82 ，即 qn=81。 a1=q10 即

19、q1,從而等比數(shù)列an為遞增數(shù)列，故前 n 項中數(shù)值最大的項為 第 n 項。 a1qn-1=54,從而(q1)qn-1=qn-qn-1=54。 qn-1=8154=27 q=3。 1n n q q 27 81 a1=q1=2 故此數(shù)列的首項為 2，公比為 3。 （2）在和之間插入 n 個正數(shù)，使這個數(shù)依次成等比數(shù)列，求所插入的 n n 1 1n2n 個數(shù)之積。 解一解一：設(shè)插入的 n 個數(shù)為，且公比為 q， n xxx, 21 則, 2 , 1, 1 ),1(, 1 1 11 nkq n xnnqq n n k k nn 。 22 ) 1( 212 21 ) 1 ( 11111 nnn n n

20、 n n nn n n q n q n q n q n q n xxxT 解二解二：設(shè)插入的 n 個數(shù)為， n xxx, 21 1, 1 10 nx n x n n n xxxxxx nnn 1 12110 nn xxxT 21 n nnnn n n xxxxxxT) 1 ()()()( 1121 2 。 2 ) 1 ( n n n n T 點評點評：第一種解法利用等比數(shù)列的基本量，先求公比，后求其它量，這是解等差qa , 1 數(shù)列、等比數(shù)列的常用方法，其優(yōu)點是思路簡單、實用，缺點是有時計算較繁；第二種解 法利用等比數(shù)列的性質(zhì)，與“首末項等距”的兩項積相等，這在解題中常用到。 例 11. （2

21、020 高考天津文）在數(shù)列中，. n a 1 2a 1 431 nn aan n * N （）證明數(shù)列是等比數(shù)列； n an （）求數(shù)列的前項和； n an n S （）證明不等式，對任意皆成立. 1 4 nn SS n * N 解解：（）證明：由題設(shè)，得 1 431 nn aan ，. 1 (1)4() nn anan n * N 又，所以數(shù)列是首項為 ，且公比為的等比數(shù)列. 1 11a n an14 （）解：由（）可知，于是數(shù)列的通項公式為 1 4n n an n a . 1 4n n an 所以數(shù)列的前項和. n an 41(1) 32 n n n n S （）證明：對任意的，n * N

22、 1 1 41(1)(2)41(1) 44 3232 nn nn nnn n SS . 2 1 (34)0 2 nn 所以不等式，對任意皆成立. 1 4 nn SS n * N 點評點評：本小題以數(shù)列的遞推關(guān)系式為載體，主要考查等比數(shù)列的概念、等比數(shù)列的通 項公式及前項和公式、不等式的證明等基礎(chǔ)知識，考查運算能力和推理論證能力. n 例 12. （2020 山東文）設(shè)是公比大于 1 的等比數(shù)列，為數(shù)列的前項和. n a n S n an 已知，且構(gòu)成等差數(shù)列. 3 7S 123 334aaa， （1）求數(shù)列的通項。 n a n a （2）令求數(shù)列的前項和 Tn. 31 ln12 nn ban

23、， n bn 解解：（1）由已知得 123 13 2 7 : (3)(4) 3. 2 aaa aa a ， 解得. 2 2a 設(shè)數(shù)列的公比為，由，可得. n aq 2 2a 13 2 2aaq q ， 又，可知， 3 7S 2 227q q 即， 2 2520qq 解得. 12 1 2 2 qq， 由題意得. 12qq， . 1 1a 故數(shù)列的通項為. n a 1 2n n a （2）由于 31 ln12 nn ban ， 由（1）得 3 31 2 n n a 3 ln23 ln2 n n bn 2ln3bb n1n 是等差數(shù)列. n b 12nn Tbbb = 2 bbn n1 2ln 2

24、1nn3 2 2lnn32ln3n 1 () 2 (3ln23ln2) 2 3 (1) ln2. 2 n n bb n n n 故. 3 (1) ln2 2 n n n T 點評點評：對于出現(xiàn)等差、等比數(shù)列的綜合問題，一定要區(qū)分開各自的公式，不要混淆。 二、思維總結(jié) 1. 等比數(shù)列的知識要點（可類比等差數(shù)列學(xué)習(xí)） （1）掌握等比數(shù)列定義q（常數(shù)） （nN） ，同樣是證明一個數(shù)列是等比數(shù)列的 n n a a 1 依據(jù)，也可由 anan2來判斷； 2 1n a （2）等比數(shù)列的通項公式為 ana1qn1； （3）對于 G 是 a、b 的等比中項，則 G2ab，G；ab （4）特別要注意等比數(shù)列前

25、n 項和公式應(yīng)分為 q1 與 q1 兩類，當 q1 時， Snna1，當 q1 時，Sn，Sn。 q qa n 1 )1 ( 1 q qaa n 1 1 2. 等比數(shù)列的判定方法 定義法：對于數(shù)列，若，則數(shù)列是等比數(shù)列； n a)0( 1 qq a a n n n a 等比中項：對于數(shù)列，若，則數(shù)列是等比數(shù)列。 n a 2 12 nnn aaa n a 3. 等比數(shù)列的性質(zhì) 等比數(shù)列任意兩項間的關(guān)系：如果是等比數(shù)列的第項，是等比數(shù)列的第 n an m a 項，且，公比為，則有；mnm q mn mn qaa 對于等比數(shù)列，若，則，也就是： n avumn vumn aaaa ，如圖所示：。 2

26、3121nnn aaaaaa n n aa n aa nn aaaaaa 1 12 , 12321 若數(shù)列是等比數(shù)列，是其前 n 項的和，那么， n a n S * Nk k S kk SS 2 成等比數(shù)列。 kk SS 23 如下圖所示： k kkkk S SS kk SS kkk aaaaaaaa 3 232k 31221 S 321 【模擬試題模擬試題】 （答題時間：50 分鐘） 1 等比數(shù)列中, 則的前項和為（ ） n a,243, 9 52 aa n a4 A B C D 81120168192 2 與，兩數(shù)的等比中項是（ ）12 12 A B C D 111 2 1 3 已知一等比數(shù)列的前三項依次為，那么是此數(shù)列的第（ ）33 , 22 ,xxx 2 1 13 項 A 2 B 4C 6D 8 4 在公比為整數(shù)的等比數(shù)列中，如果那么該數(shù)列的前項 n a,12,18 3241 aaaa8 之和為（ ） A B C D 513512510 8 225 5 在等比數(shù)列中, 若則=_ 頭 頭 頭 頭 頭 頭 頭 頭 頭 頭 頭 頭 頭 頭 頭 wxckt wxckt 頭 頭 頭 頭 頭 頭 頭 頭 頭 頭 頭 頭 頭 頭 頭 n a,75, 3 93 aa 10 a 6 在等比數(shù)列中, 若是方程的兩根，則- n a 101,a a0623 2 xx 47 a