1、合理“巧設(shè)”，輕松應(yīng)對函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的交匯問題經(jīng)常出現(xiàn)在壓軸題（包括客觀題和主觀題中的壓軸題）位置解決這類問題時，往往會遇到某些難以確定的根、交點、極值點或難以計算的代數(shù)式.倘若迎難而上，往往無功而返；這時，放棄正面求解所需要的量，先設(shè)它為某字母，再利用其滿足的條件式進(jìn)行整體代換以達(dá)到消元或化簡的效果.下面通過介紹幾種具體的“設(shè)”的方法來解決這類難題.一、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，巧設(shè)自變量【例1】（2020四川卷理）設(shè)函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)），若曲線上存在點，使得，則的取值范圍是（ ）.A. B. C. D. 【解析】 易知為單調(diào)遞增函數(shù).設(shè) ，又，由單調(diào)性則 . 下面證明. 若，由單調(diào)

2、性則，則與已知矛盾，.所以必有.代入即.曲線上存在點，使得，等價為：在上存在解.即在上有解.設(shè)，則.在上，所以，則在上單調(diào)遞增，所以.故. 故選A.【評注】由的單調(diào)性可知, 對于,則必存在唯一的自變量,使得,從而有.這樣方便表達(dá).【變式1】（2020石家莊高三教學(xué)檢測一）設(shè)函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)），若曲線上存在點，使得，則的取值范圍是（ ）.A. B. C. D. 【答案】易知為單調(diào)遞增函數(shù).同例1，有.曲線上存在點，使得，等價為：在上存在解.即在上有解.設(shè)，則在上單調(diào)遞增，所以.故. 故選A.【變式2】（2020屆廣雅中學(xué)高三開學(xué)測試）已知是定義在上的單調(diào)函數(shù)，且對，都有，則方程的實數(shù)解所在

3、的區(qū)間是（ ）.A. B. C. D. 【答案】因為是定義在上的單調(diào)函數(shù)，所以存在唯一，使得 .又，故有，解得.用代替，則有 .由解得.將代入化簡，得.令，因為，又在上單調(diào)遞增，故在上存在唯一零點，即方程的實數(shù)解所在的區(qū)間是.故選C.二、根據(jù)兩個函數(shù)的圖象，巧設(shè)交點的橫坐標(biāo)【例2】(2020四川卷理)已知函數(shù)，.對于不相等的實數(shù)，設(shè).現(xiàn)有如下命題：對于任意不相等的實數(shù)，都有；對于任意的及任意不相等的實數(shù)，都有；對于任意的，存在不相等的實數(shù)，使得；對于任意的，存在不相等的實數(shù)，使得.其中的真命題有 （寫出所有真命題的序號）.【解析】對于，由的單調(diào)遞增的性質(zhì)可知，故正確.對于，由先單調(diào)遞減再遞增的

4、性質(zhì)可知，存在的情形，故不正確.對于，等價于，即，即.設(shè)，則.此時由和的圖象（如下圖）可知，調(diào)整合適的可使的圖象全在的圖象之下，這時恒成立，所以單調(diào)遞增. 據(jù)此分析可知：存在，使得對于不相等的實數(shù)，不可能有，即不可能有，故不正確.對于，等價于，即，即.設(shè)，則.此時由和的圖象（如下圖）可知，兩者必有交點，設(shè)交點橫坐標(biāo)為.由簡圖可知，當(dāng)時，則，單調(diào)遞減；時，則，單調(diào)遞增.于是，對于任意的，由單調(diào)性可知：存在不相等的實數(shù)，使得，即成立.故正確.綜上，所給命題中的真命題有、. 【評注】當(dāng)導(dǎo)函數(shù)為超越函數(shù)時，有時我們無法直接求得零點，即便二次求導(dǎo)也難以奏效.這時不妨將其轉(zhuǎn)化為研究兩個簡單函數(shù)的圖象的交點

5、問題.由圖象可直觀獲得兩圖象的高低情況（對應(yīng)函數(shù)值的大小比較），從而輕松判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)情況.為了方便表述，可設(shè)兩圖象的交點的橫坐標(biāo)為.【變式3】（2020鄭州市質(zhì)量預(yù)測節(jié)選）給定方程：，探究該方程在的實數(shù)根的個數(shù).【答案】設(shè)，則.由簡圖可知，與在有唯一交點. 設(shè)兩圖象的交點的橫坐標(biāo)為.由簡圖可知，當(dāng)時，則，單調(diào)遞減；時，則，單調(diào)遞增.所以在處取得極小值.結(jié)合和，可得的簡圖如下,所以給定方程在的實數(shù)根的個數(shù)為1，且該根屬于區(qū)間.三、根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)，巧設(shè)極值點【例3】（2020全國卷文）設(shè)函數(shù).（1）討論的導(dǎo)函數(shù)零點的個數(shù)；（2）證明：當(dāng)時，.【解析】（1）.當(dāng)時，因為，所以沒有零點；當(dāng)時，令

6、，因為，所以在上單調(diào)遞增. 當(dāng)時，又,所以，結(jié)合，可得即在上存在唯一零點. （2）證明：由（1）可知，當(dāng)時，在上存在唯一零點.設(shè)該零點為，則有.此時由和的圖象可知，當(dāng)時，則，單調(diào)遞減；時，則，單調(diào)遞增.所以在處取得最小值.由得和，代入，所以當(dāng)時，.【評注】當(dāng)我們研究函數(shù)的極值大小時，經(jīng)常遇到一些較難確定大小的代數(shù)式（如），而又是一個無法算得的數(shù)值，這時我們利用極值點處的導(dǎo)數(shù)為零這一條件（如），消去某些式子，得到較為簡單的代數(shù)式（如），使研究更為簡便.【例4】設(shè)函數(shù)有兩個極值點，且（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）求的取值范圍【解析】（1）求導(dǎo)得.令函數(shù)，則由函數(shù)有兩個極值點，可知，必為方程在上的兩

7、個不等根，又注意到函數(shù)圖像的對稱軸為，所以只需，解得故實數(shù)的取值范圍是.(2)為的根，則有.由（1）可知，而對稱軸，故有.設(shè)，則.所以在上單調(diào)遞增，則故的取值范圍是.【評注】為函數(shù)極值點，若直接求解，再代入，顯然運算量較大.不妨由，求得，將中的消去即可迅速求解.【變式4】（2020新課標(biāo)全國卷節(jié)選）已知函數(shù)，證明【答案】易知函數(shù)在單調(diào)遞增由知在有唯一實根當(dāng)時，故單調(diào)遞減；當(dāng)時，故單調(diào)遞增故取得最小值由得即,則即. 所以，則有得證【變式5】（2020惠州二模第21題節(jié)選)已知函數(shù)是奇函數(shù)，且圖像在點處的切線斜率為3 (e為自然對數(shù)的底數(shù))(1)求實數(shù)的值；(2)若，且對任意恒成立，求k的最大值【答案】（1）由題意易得 （2）當(dāng)時，由恒成立，得當(dāng)時，設(shè)，則.設(shè)，則，在上是增函數(shù).因為，所以，使. 時，即在上為減函數(shù)；同理在上為增函數(shù)故.由得于是，所以，又，故的最大值為【變式6】（ 2020新課標(biāo)全國卷文節(jié)選）設(shè)函數(shù) (1) 求的單調(diào)區(qū)間；(2)若為整數(shù)，且當(dāng)時，求的最