1、20202020學(xué)年度第一學(xué)期期中考試高三數(shù)學(xué)（理）試題第卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 已知集合，則( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】求解不等式可得：，則集合.本題選擇A選項(xiàng).2. 已知函數(shù)，則 ( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】,選D.3. 已知，則 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】由條件得 所以 ,選B.4. 等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則 ( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】由題意得 所以 ,選A.5. 已知銳角的內(nèi)角的對(duì)邊分別為中，且滿足，

2、則 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】由題意可得：，則：，ABC為銳角三角形，則，由余弦定理有：，整理可得：，邊長(zhǎng)為正數(shù)，則.本題選擇C選項(xiàng).6. 函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是( )A.個(gè) B.個(gè) C.個(gè) D.個(gè)【答案】B【解析】當(dāng)時(shí),由函數(shù)圖像可知有兩個(gè)交點(diǎn);當(dāng)時(shí),有一個(gè)零點(diǎn),所以共有3個(gè)零點(diǎn),選B.7. 若變量，且滿足線性約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值等于( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】繪制不等式組表示的可行域如圖所示，觀察可得，目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最大值.本題選擇C選項(xiàng).8. 已知函數(shù)的周期為若將其圖像沿軸向右平移個(gè)單位（），所得圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則實(shí)數(shù)的最小值為（ ）A

3、. B. C. D. 【答案】D【解析】函數(shù)的解析式即：，結(jié)合最小正周期公式有：將其圖像沿軸向右平移個(gè)單位所得函數(shù)解析式為，該函數(shù)圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，則當(dāng)時(shí)：，故，取可得：.本題選擇D選項(xiàng).9. 用數(shù)學(xué)歸納法證明：“”時(shí)，從到，等式的左邊需要增乘的代數(shù)式是A. B. C. D. 【答案】D【解析】等式的左邊為 等式的左邊為所以需要增乘的代數(shù)式是,選D.10. 定義運(yùn)算 ，若函數(shù) 在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 所以,選A.點(diǎn)睛：研究二次函數(shù)單調(diào)性的思路(1)二次函數(shù)的單調(diào)性在其圖象對(duì)稱軸的兩側(cè)不同，因此研究二次函數(shù)的單調(diào)性時(shí)要依據(jù)其圖象的對(duì)稱

4、軸進(jìn)行分類討論(2)若已知f(x)ax2bxc(a0)在區(qū)間A上單調(diào)遞減(單調(diào)遞增)，則A（A）即區(qū)間A一定在函數(shù)對(duì)稱軸的左側(cè)(右側(cè))11. 已知命題： “若，則”的命題是“若，則”；函數(shù)，則“是偶函數(shù)”是“的充分不必要條件”則下述命題；，其中的真命題是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】為真命題；因?yàn)楹瘮?shù)時(shí)“是偶函數(shù)”是“的必要不充分條件，所以為假命題，因此為真命題，選C.點(diǎn)睛：若要判斷一個(gè)含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假，需先判斷構(gòu)成這個(gè)命題的每個(gè)簡(jiǎn)單命題的真假，再依據(jù)“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反，做出判斷即可.12. 在所在平面上有三點(diǎn)，滿足,則的面積與的面

5、積之比是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】試題分析：由 ，為線段的一個(gè)三等分點(diǎn)，同理可得的位置，的面積為的面積減去三個(gè)小三角形面積，面積比為,故選B考點(diǎn)：1、向量的運(yùn)算法則；2、向量共線的充要條件；3、相似三角形的面積關(guān)系【方法點(diǎn)晴】本題主要考查向量的運(yùn)算法則、向量共線的充要條件和相似三角形的面積關(guān)系，涉及數(shù)形結(jié)合思想和一般與特殊思想，考查邏輯推理能力和計(jì)算能力，屬于較難題型首先將已知向量等式變形，利用向量的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)得到，利用向量共線的充要條件得到為線段的一個(gè)三等分點(diǎn)，同理可得的位置；利用三角形的面積公式求出三角形的面積比第卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答

6、案填在答題紙上）13. 平面向量與的夾角為，則等于_.【答案】【解析】由題意可得：，則：，據(jù)此有：.14. 若，則的由小到大的順序關(guān)系是_.【答案】【解析】 , , 所以15. 將正整數(shù)排成如圖所示，其中第行，第列的那個(gè)數(shù)記為，則數(shù)表中的應(yīng)記為_.【答案】【解析】因?yàn)榍皀行共有 所以數(shù)表中的應(yīng)記為16. 設(shè)函數(shù)，若存在唯一的整數(shù)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.【答案】【解析】作函數(shù)圖可知， ，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是點(diǎn)睛：對(duì)于方程整數(shù)解的問題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、草圖確定其中參數(shù)范圍從圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對(duì)稱性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢(shì)

7、，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.） 17. 函數(shù),部分圖像如圖所示，（）求的值；（）若為第三象限的角，試求的值.【答案】(),，；().【解析】試題分析：()由題意結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得,，；() 由（）知，據(jù)此可得，結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系有試題解析：（）由題中圖可知,周期，由圖知，,，（）由（）知，即，又為第三象限的角，18. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，（）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（）設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)，其前項(xiàng)和為，且點(diǎn)在直線上，求數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】()證明見解析；()【解析】試題分析：（1）先根據(jù)和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系轉(zhuǎn)化為項(xiàng)之間遞

8、推關(guān)系，再整理成等比數(shù)列形式，最后根據(jù)等比數(shù)列定義給予證明（2）先根據(jù)等差數(shù)列定義求通項(xiàng)公式，得，再根據(jù)和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)公式，最后利用錯(cuò)位相減法求試題解析：（）由， 得， -，得，由得是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，（）由（）得，點(diǎn)在直線上，是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，當(dāng)時(shí)，又滿足上式， ， -，得，點(diǎn)睛：用錯(cuò)位相減法求和應(yīng)注意的問題(1)要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；(2)在寫出“”與“”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“”的表達(dá)式；(3)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解.19. 已知分

9、別是內(nèi)角的對(duì)邊，且依次成等差數(shù)列.（）若,試判斷的形狀；（）若為鈍角三角形，且，試求的取值范圍.【答案】()正三角形；()【解析】試題分析：（1）先由正弦定理將角的關(guān)系得邊的關(guān)系，再根據(jù)，利用余弦定理得，解得，從而確定三角形形狀（2）先根據(jù)二倍角公式以及配角公式將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為基本三角函數(shù)，再根據(jù)鈍角條件確定自變量范圍，最后根據(jù)正弦函數(shù)形狀確定取值范圍試題解析：（）由正弦定理及，得三內(nèi)角成等差數(shù)列，由余弦定理，得，又為正三角形，（）由（）知，中由題意，知，所求代數(shù)式的取值范圍是20. 我市某礦山企業(yè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的年固定成本為萬元，每生產(chǎn)千件該產(chǎn)品需另投入萬元，設(shè)該企業(yè)年內(nèi)共生產(chǎn)此種產(chǎn)品千件，并且全

10、部銷售完，每千件的銷售收入為萬元，且（）寫出年利潤(rùn)（萬元）關(guān)于產(chǎn)品年產(chǎn)量（千件）的函數(shù)關(guān)系式；（）問：年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該企業(yè)生產(chǎn)此產(chǎn)品所獲年利潤(rùn)最大？注：年利潤(rùn)=年銷售收入-年總成本.【答案】()；()當(dāng)年產(chǎn)量為千件時(shí)，該企業(yè)生產(chǎn)的此產(chǎn)品所獲年利潤(rùn)最大.（2）對(duì)x進(jìn)行分類討論，分當(dāng)和當(dāng)兩種情況進(jìn)行討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)最值中的應(yīng)用，即可求出結(jié)果試題解析：解：（1）當(dāng)時(shí)，。2分 當(dāng)時(shí)，（2）當(dāng)時(shí)，由。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，W取得最大值，即9分當(dāng)，當(dāng)且僅當(dāng)綜合知：當(dāng)時(shí)，取得最大值為386萬元。故當(dāng)年產(chǎn)量為9千件時(shí)，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得年利潤(rùn)最大（13分）考點(diǎn)：1函數(shù)的應(yīng)用；2導(dǎo)數(shù)在

11、求函數(shù)最值中的應(yīng)用21. 已知函數(shù)（）若函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線與直線平行，求實(shí)數(shù)的值；（）討論函數(shù)的單調(diào)性；（）若在函數(shù)定義域內(nèi)，總有成立，試求實(shí)數(shù)的最大值.【答案】()；()證明見解析；()【解析】試題分析：（1）先根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得，解得實(shí)數(shù)的值；（2）求導(dǎo)數(shù)并分解因式，根據(jù)a與1的大小分類討論導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)確定函數(shù)的單調(diào)性；（3）先化簡(jiǎn)不等式，并根據(jù)不等式恒成立轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值問題：最大值不大于零，再利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)最值從而有的最大值，最后利用導(dǎo)數(shù)求得最大值，即得實(shí)數(shù)的最大值.試題解析：（）易得，且由題意，得，解得，（）由（）得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，由，得；由，得或函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，同理，得函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（）由題意，知恒成立，恒成立，恒成立，令，則只需，由，得，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，令，則只需由，得，此時(shí)，在上單調(diào)遞減，由，得，此時(shí)，在上單調(diào)遞減，即故所求實(shí)數(shù)的最大值為2