1、蘇州市初三數(shù)學定值問題專題復習課前演練：一、選擇題1(2015濰坊)如圖，直線l是一條河，A，B兩地相距5 km，A，B兩地到l的距離分別為3 km，6 km，欲在l上的某點M處修建一個水泵站，向A，B兩地供水，現(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案，圖中實線表示鋪設(shè)的管道，則鋪設(shè)的管道最短的是() 2.(2015甘肅)如圖，A，B兩個電話機離電話線l的距離分別是3米，5米，CD6米，若由l上一點分別向A，B連線，最短為( )A11米 B10米 C9米 D8米 （第2題圖)（第3題圖)3如圖，ACBC于C，連接AB，點D是AB上的動點，AC6，BC8，AB10，則點C到點D的最短距離是()A6 B8 C. D.

2、（第4題圖) ,第5題圖),第6題圖)4(2015貴陽模擬)如圖RtABC中，ABBC4，D為BC的中點，在AC邊上存在一點E，連接ED，EB，則BDE周長的最小值為()A2 B2 C22 D22二、填空題5如圖，從直線外一點A到這條直線的所有線段中，線段_ _最短6如圖，想在河堤兩岸搭建一座橋，圖中搭建方式中，最短的是PB，理由是_ _ _7如圖，在等腰三角形ABC中，ABC120，P是底邊AC上的一個動點，M，N分別是AB，BC的中點，若PMPN的最小值是2，則ABC的周長是_ _,第7題圖),第8題圖)8如圖，在菱形ABCD中，BAD60，點M是AB的中點，P是對角線AC上的一個動點，若

3、PMPB的最小值是9，則AB的長是_ _9如果P是邊長為2的正方形ABCD的邊CD上任意一點且PEDB，PFCA，垂足分別為E，F(xiàn)，則PEPF _ _,第9題圖),第10題圖)10如圖，ABC45，BC4，BD平分ABC交AC于點D，M，N分別是BD和BC上的動點(M與B，D兩點不重合，N與B，C兩點不重合)，則CMMN的最小值是_ _典型例題：例1小虎家新建一間房子，要在屋外的A處安裝水表，從大路邊到A處怎樣接水管最近？把最短的線段畫出來，并簡要說明道理例2等邊ABC的邊長是8，ADBC，E是BD的中點，M，N分別是AB，AD上的動點，求MNEN的最小值例3如圖，AOB45，P是AOB內(nèi)一定

4、點，PO10，Q，R分別是OA，OB上的動點，求PQR周長的最小值(要求畫出示意圖，寫出解題過程)例4如圖，在菱形ABCD中，AB4，A135，點P，M，N分別為對角線BD及邊BC，CD上的動點，求PMPN的最小值例5如圖，正方形ABCD的邊長為4，DAC的平分線交DC于點E，若點P，Q分別是AD和AE上的動點，求DQPQ的最小值鞏固練習：一、填空題1在半O中，點C是半圓弧AB的中點，D是弧BC上距離點B較近的一個三等分點，點P是直徑AB上的動點，若AB10，則PCPD的最小值是_ _.（第1題圖)（第2題圖) （第3題圖）2(2015株洲)如圖，AB是O的一條弦，點C是O上一動點，且ACB3

5、0，點E，F(xiàn)分別是AC，BC的中點，直線EF與O交于G，H兩點，若O的半徑為7，則GEFH的最大值為_ _3(2015莆田)如圖，在反比例函數(shù)y上有兩點A(3，2)，B(6，1)，在直線yx上有一動點P，當P點的坐標為_ _時，PAPB有最小值二、解答題4已知點M(3，2)，N(1，1)，點P在y軸上，求使得PMN的周長最小的點P的坐標5(2015寧德)如圖，AB是O的直徑，AB8，點M在O上，MAB20，N是弧MB的中點，P是直徑AB 上的一動點若MN1，則PMN周長的最小值為多少6(2015永州模擬)如圖，已知拋物線yax2bxc經(jīng)過A(3，0)，B(1，0)，C(0，3)三點，其頂點為D

6、，對稱軸與x軸交于點H. (1)求拋物線的解析式； (2)若點P是該拋物線的對稱軸上的一個動點，求PBC周長的最小值7小明在學習軸對稱的時候，老師留了一道思考題：如圖1，若點A，B在直線m的同側(cè)，在直線m上找一點P，使得APBP的值最小，小明通過獨立思考，很快得出了解決這個問題的正確方法，他的做法是這樣的：(a)作點B關(guān)于直線m的對稱點B，(b)連接AB與直線m交于點P，則點P為所求請你參考小明的做法解決下列問題：(1)如圖2，在等邊ABC中，AB2，點E是AB的中點，AD是高，在AD上找一點P(尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法)，使得BPPE的值最小，并求出最小值；(2)如圖3，在矩形ABC

7、D中，AB4，BC6，G為邊AD上的中點，若E，F(xiàn)為AB邊上的兩個動點，點E在點F的左側(cè)，且EF1，當四邊形CGEF的周長最小時，請你在圖3中確定點E，F(xiàn)的位置(尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法)，并求出四邊形CGEF的周長的最小值8(2015大慶)如圖，拋物線yx24x5與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C.已知M(0，1)，E(a，0)，F(xiàn)(a1，0)，點P是第一象限內(nèi)的拋物線上的動點PCM是以CM為底的等腰三角形(1)求點P的坐標；(2)當a為多少時，四邊形PMEF周長最小. 拓展提高：1（2012年蘇州）如圖，已知半徑為2的O與直線l相切于點A，點P是直徑AB左側(cè)半圓上的動點，過點P作

8、直線l的垂線，垂足為C，PC與O交于點D，連接PA、PB，設(shè)PC的長為x（2x4）（1）當x=時，求弦PA、PB的長度；（2）當x為何值時，PDCD的值最大？最大值是多少？2（2012年蘇州）如圖，正方形ABCD的邊AD與矩形EFGH的邊FG重合，將正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移動，移動開始前點A與點F重合，在移動過程中，邊AD始終與邊FG重合，連接CG，過點A作CG的平行線交線段GH于點P，連接PD已知正方形ABCD的邊長為1cm，矩形EFGH的邊FG，GH的長分別為4cm，3cm，設(shè)正方形移動時間為x（s），線段GP的長為y（cm），其中0x2.5（1）試求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)

9、系式，并求當y=3時相應(yīng)x的值；（2）記DGP的面積為S1，CDG的面積為S2試說明S1S2是常數(shù)；（3）當線段PD所在直線與正方形ABCD的對角線AC垂直時，求線段PD的長中午作業(yè)：（分類練習）一、定值問題解1、如圖，在平面直角坐標系O中，矩形AOCD的頂點A的坐標是（0,4），現(xiàn)有兩動點P、Q，點P從點O出發(fā)沿線段OC（不包括端點O，C）以每秒2個單位長度的速度，勻速向點C運動，點Q從點C出發(fā)沿線段CD（不包括端點C，D）以每秒1個單位長度的速度勻速向點D運動.點P，Q同時出發(fā)，同時停止，設(shè)運動時間為t秒，當t=2秒時PQ=.（1）求點D的坐標，并直接寫出t的取值范圍；（2）連接AQ并延長

10、交軸于點E,把AE沿AD翻折交CD延長線于點F,連接EF，則AEF的面積S是否隨t的變化而變化？若變化，求出S與t的函數(shù)關(guān)系式；若不變化，求出S的值.（3）在（2）的條件下，t為何值時，四邊形APQF是梯形？（第1題圖）2、如圖所示，在菱形ABCD中，AB=4，BAD=120，AEF為正三角形，點E、F分別在菱形的邊BCCD上滑動，且E、F不與BCD重合（1）證明不論E、F在BCCD上如何滑動，總有BE=CF；（2）當點E、F在BCCD上滑動時，分別探討四邊形AECF和CEF的面積是否發(fā)生變化？如果不變，求出這個定值；如果變化，求出最大（或最?。┲担?題圖）（3題圖）二、由運動產(chǎn)生的線段和差問

11、題（最值問題）3、如圖所示，已知A，B為反比例函數(shù)圖像上的兩點，動點P在x正半軸上運動，當線段AP與線段BP之差達到最大時，點P的坐標是【 】A. B. C. D. 4、如圖，拋物線l交x軸于點A（3，0）、B（1，0），交y軸于點C（0，3）將拋物線l沿y軸翻折得拋物線l1（1）求l1的解析式；（2）在l1的對稱軸上找出點P，使點P到點A的對稱點A1及C兩點的距離差最大，并說出理由；5、如圖，已知拋物線y=x2+bx+c與一直線相交于A（1，0），C（2，3）兩點，與y軸交于點N其頂點為D（1）拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)點M（3，m），求使MN+MD的值最小時m的值；（3）若拋物

12、線的對稱軸與直線AC相交于點B，E為直線AC上的任意一點，過點E作EFBD交拋物線于點F，以B，D，E，F(xiàn)為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點E的坐標；若不能，請說明理由；（4）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點，求APC的面積的最大值回家作業(yè)：（壓軸題訓練）1、如圖，已知拋物線經(jīng)過A（4，0），B（2，3），C（0，3）三點（1）求拋物線的解析式及對稱軸（2）在拋物線的對稱軸上找一點M，使得MA+MB的值最小，并求出點M的坐標（3）在拋物線上是否存在一點P，使得以點A、B、C、P四點為頂點所構(gòu)成的四邊形為梯形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由2. （2012四川自貢

13、12分）如圖所示，在菱形ABCD中，AB=4，BAD=120，AEF為正三角形，點E、F分別在菱形的邊BCCD上滑動，且E、F不與BCD重合（1）證明不論E、F在BCCD上如何滑動，總有BE=CF；（2）當點E、F在BCCD上滑動時，分別探討四邊形AECF和CEF的面積是否發(fā)生變化？如果不變，求出這個定值；如果變化，求出最大（或最?。┲?. （2015常州10分）如圖，一次函數(shù)y=x+4的圖象與x軸、y軸分別相交于點A、B，過點A作x軸的垂線l，點P為直線l上的動點，點Q為直線AB與OAP外接圓的交點，點P、Q與點A都不重合（1）寫出點A的坐標；（2）當點P在直線l上運動時，是否存在點P使得O

14、QB與APQ全等？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由（3）若點M在直線l上，且POM=90，記OAP外接圓和OAM外接圓的面積分別是S1、S2，求的值參考答案：課前演練：1. B；2. B；3.D；4. C；5. AD；6. 垂線段最短；7. 42；8. 6；9. ；10. 4；2. 典型例題：例1.解：如圖所示：沿AB線段接水管最近，因為直線外一點與直線的所有連接線段中，垂直線段最短（例1答圖）（例2答圖）（例3答圖）例2. 解：作點E關(guān)于AD的對稱點H，過點H作HGAB于G，則MNEN的最小值是HG，RtHBG中，sin60，解得，GH3 。例3. 解：分別作點P關(guān)于OA，O

15、B的對稱點M，N，連接OM，ON，MN，MN交OA，OB于點Q，R，連接PR，PQ，此時PQR周長的最小值等于MN.由軸對稱性質(zhì)可得，OMONOP10，MOAPOA，NOBPOB，MON2AOB24590，在RtMON中，MN10，即PQR周長的最小值等于10。例4. 解：過點M作關(guān)于BD的對稱點M1, 連接M1N交BD于點P，連接PM, 則PMPN的最小值就是M1N，過點C作CHAB于點H, 則M1NCH，A135，HBC45，四邊形ABCD是菱形，ABBC4，由三角函數(shù)的定義有，sin45，解得，CH2，即PMPN的最小值為2 。（例4答圖）（例5答圖）例5.解：作D關(guān)于AE的對稱點D，再

16、過D作DPAD于P，DDAE，AFDAFD，AFAF，DAECAE，DAFDAF，D是D關(guān)于AE的對稱點，ADAD4，DP即為DQPQ的最小值，四邊形ABCD是正方形，DAD45，APPD，在RtAPD中，PD2AP2AD2，AD216，APPD，2PD2AD2，即2PD216，PD2，即DQPQ的最小值為2鞏固練習：1. _5；2. _；3. (，)_點撥：設(shè)A點關(guān)于直線yx的對稱點為A，連接AB，交直線yx為P點，此時PAPB有最小值，A點關(guān)于直線yx的對稱點為A，A(3，2)，A(2，3)，設(shè)直線AB的直線解析式為ykxb，解得k，b2，直線AB解析式為yx2，聯(lián)立解得x，y，即P點坐標

17、(，)，故答案為(，)。4. 解：作出M關(guān)于y軸的對稱點M，連接NM，與y軸相交于點P，則P點即為所求，設(shè)過NM兩點的直線解析式為ykxb(k0)，則解得k，b，故此一次函數(shù)的解析式為yx，因為b，所以P點坐標為(0，)。5. 解：作N關(guān)于AB的對稱點N，連接MN，NN， ON，OM，ON，N關(guān)于AB的對稱點N， MN與AB的交點P即為PMN 周長最小時的點，N是弧MB的中點， ANOBMON20，MON60， MON為等邊三角形，MNOM4, PMN周長的最小值為415（5題答圖）（6題答圖）（7題答圖）6. 解：(1)把A(3，0)，B(1，0)，C(0，3)三點坐標代入yax2bxc中，

18、解得即拋物線的解析式是yx22x3 (2)如圖，PBC的周長PBPCBC，BC是定值，當PBPC最小時，PBC的周長最小A，B兩點關(guān)于對稱軸對稱，連接AC，交對稱軸于點P，點P即為所求，APBP，PBC的最小周長PBPCBCACBC，A(3，0)，B(1，0)，C(0，3)，AC3，BC，PBC的最小周長3。7. 解：(1)如圖2，作點E 關(guān)于AD的對稱點F，交AC于點 F，連接BF，交AD 于點P，連接PE, 點P即為所求. 在等邊ABC中， AB2，點E是AB 的中點，AD是高，F(xiàn)是AC的中點，BFAC于點F,BPPE的最小值BF(2)如圖3，作點G關(guān)于AB的對稱點M，在CD上截取CH1，

19、連接MH，交AB于點E，在BE上截取EF1，連接CF，則E，F(xiàn)為所求，AB4，BC6, G為邊AD上的中點，DGGAAM3，AEDH，MAEMDH，AE1，在RtGAE，RtCBF，RtCDG中，分別由勾股定理解得，GE，CF2，CG5, 四邊形GEFC的周長的最小值GEEFFCCG125 638. 解：(1)yx24x5與y軸交于點C，點C的坐標為(0，5)又M(0，1)，PCM是以點P為頂點的等腰三角形，點P的縱坐標為3，令yx24x53，解得x2，點P在第一象限，P(2，3)(2)四邊形PMEF的四條邊中，PM，EF長度固定，因此只要MEPF最小，則PMEF的周長將取得最小值， 將點M向

20、右平移1個單位長度(EF的長度)，得M1(1，1)，作點M1關(guān)于x軸的對稱點M2，則M2(1，1)，連接PM2，與x軸交于F點，此時MEPFPM2最小，設(shè)直線PM2的解析式為ymxn，將P(2，3)，M2(1，1)代入得：，解得：，yx，當y0時，解得x.F(，0)，F(xiàn)(a1，0)，a，a時，四邊形PMEF周長最小（8題答圖）（拓展1答圖）（拓展2答圖）拓展提高：1. 解：（1）O與直線l相切于點A，且AB為O的直徑，ABl，又PCl，ABPC，CPA=PAB，AB是O的直徑，APB=90，又PCl，PCA=APB=90，PCAAPB，=，即PA2=PCAB，PC=，AB=4，PA=，RtAP

21、B中，AB=4，PA=，由勾股定理得：PB=；（2）過O作OEPD，垂足為E，PD是O的弦，OEPD，PE=ED，又CEO=ECA=OAC=90，四邊形OACE為矩形，CE=OA=2，又PC=x，PE=ED=PCCE=x2，CD=PCPD=x2（x2）=4x，PDCD=2（x2）（4x）=2x2+12x16=2（x3）2+2，2x4，當x=3時，PDCD的值最大，最大值是22. 解：（1）CGAP，GCDAPG，=，GF=4，CD=DA=1，AF=x，GD=3x，AG=4x，=，即y=，y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=，當y=3時，=3，解得x=2.5，經(jīng)檢驗的x=2.5是分式方程的根故x的值為2.

22、5；（2）S1=GPGD=（3x）=，S2=GDCD=（3x）1=，S1S2=即為常數(shù)；（3）延長PD交AC于點Q正方形ABCD中，AC為對角線，CAD=45，PQAC，ADQ=45，GDP=ADQ=45DGP是等腰直角三角形，則GD=GP，3x=，化簡得：x25x+5=0解得：x=，0x2.5，x=，在RtDGP中，PD=（3x）=中午作業(yè)：1.【答案】解：（1）由題意可知，當t=2（秒）時，OP=4，CQ=2，在RtPCQ中，由勾股定理得：PC=4，OC=OP+PC=4+4=8。又矩形AOCD，A（0，4），D（8，4）。t的取值范圍為：0t4。（2）結(jié)論：AEF的面積S不變化。AOCD是

23、矩形，ADOE，AQDEQC。，即，解得CE=。由翻折變換的性質(zhì)可知：DF=DQ=4t，則CF=CD+DF=8t。S=S梯形AOCFSFCESAOE=（OA+CF）OC+CFCEOAOE= 4（8t）8+（8t）4（8）。化簡得：S=32為定值。所以AEF的面積S不變化，S=32。（3）若四邊形APQF是梯形，因為AP與CF不平行，所以只有PQAF。由PQAF可得：CPQDAF。CP：AD=CQ：DF，即82t：8= t：4t，化簡得t212t16=0，解得：t1=6+2，t2=。由（1）可知，0t4，t1=6+2不符合題意，舍去。當t=秒時，四邊形APQF是梯形。2. 【答案】解：（1）證明

24、：如圖，連接AC。四邊形ABCD為菱形，BAD=120，BAE+EAC=60，F(xiàn)AC+EAC=60，BAE=FAC。BAD=120，ABF=60。ABC和ACD為等邊三角形。ACF=60，AC=AB。ABE=AFC。在ABE和ACF中，BAE=FAC，AB=AC，ABE=AFC，ABEACF（ASA）。BE=CF。（2）四邊形AECF的面積不變，CEF的面積發(fā)生變化。理由如下：由（1）得ABEACF，則SABE=SACF。S四邊形AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC，是定值。作AHBC于H點，則BH=2，。由“垂線段最短”可知：當正三角形AEF的邊AE與BC垂直時，邊AE

25、最短故AEF的面積會隨著AE的變化而變化，且當AE最短時，正三角形AEF的面積會最小，又SCEF=S四邊形AECFSAEF，則此時CEF的面積就會最大SCEF=S四邊形AECFSAEF。CEF的面積的最大值是。3.【答案】D。【考點】反比例函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標與方程的關(guān)系，三角形三邊關(guān)系?！痉治觥堪袮，B分別代入反比例函數(shù) 得：y1=2，y2= ，A（ ，2），B（2， ）。在ABP中，由三角形的三邊關(guān)系定理得：|APBP|AB，延長AB交x軸于P，當P在P點時，PAPB=AB，即此時線段AP與線段BP之差達到最大。設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b，把A、B的坐標代入得： ，

26、解得：。直線AB的解析式是。當y=0時，x= ，即P（ ，0）。故選D。4.【答案】解：（1）如圖1，設(shè)經(jīng)翻折后，點AB的對應(yīng)點分別為A1、B1，依題意，由翻折變換的性質(zhì)可知A1（3，0），B1（1，0），C點坐標不變，拋物線l1經(jīng)過A1（3，0），B1（1，0），C（0，3）三點，設(shè)拋物線l1的解析式為y=ax2+bx+c，則，解得。拋物線l1的解析式為：y=x22x3。（2）拋物線l1的對稱軸為：x=，如圖2，連接B1C并延長，與對稱軸x=1交于點P，則點P即為所求。此時，|PA1PC|=|PB1PC|=B1C。設(shè)P為對稱軸x=1上不同于點P的任意一點，則有：|PAPC|=|PB1PC|B

27、1C（三角形兩邊之差小于第三邊），|PAPC|PA1PC|，即|PA1PC|最大。設(shè)直線B1C的解析式為y=kx+b，則，解得k=b=3。直線B1C的解析式為：y=3x3。令x=1，得y=6。P（1，6）。5. 【答案】解：（1）由拋物線y=x2+bx+c過點A（1，0）及C（2，3）得，解得。拋物線的函數(shù)關(guān)系式為。設(shè)直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+n，由直線AC過點A（1，0）及C（2，3）得：，解得。直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y=x+1。（2）作N點關(guān)于直線x=3的對稱點N， 令x=0，得y=3，即N（0，3）。N（6，3）由得：D（1，4）。設(shè)直線DN的函數(shù)關(guān)系式為y=sx+t，則：，解得。

28、故直線DN的函數(shù)關(guān)系式為。根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系，知當M（3，m）在直線DN上時，MN+MD的值最小，。使MN+MD的值最小時m的值為。（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2）， 當BD為平行四邊形對角線時，由B、C、D、N的坐標知，四邊形BCDN是平行四邊形，此時，點E與點C重合，即E（2，3）。 當BD為平行四邊形邊時，點E在直線AC上，設(shè)E（x，x+1），則F（x，）。又BD=2，若四邊形BDEF或BDFE是平行四邊形時，BD=EF。，即。若，解得，x=0或x=1（舍去），E（0，1）。若，解得，E或E。綜上，滿足條件的點E為（2，3）、（0，1）、。（4）如圖，過點

29、P作PQx軸交AC于點Q；過點C作CGx軸于點G， 設(shè)Q（x，x+1），則P（x，x2+2x+3）。 。，當時，APC的面積取得最大值，最大值為。回家作業(yè)：（壓軸題訓練）1. 【答案】解：（1）拋物線經(jīng)過A（4，0），B（2，3），C（0，3）三點， ，解得。拋物線的解析式為：，其對稱軸為：。（2）由B（2，3），C（0，3），且對稱軸為x=1，可知點B、C是關(guān)于對稱軸x=1的對稱點。如圖1所示，連接AC，交對稱軸x=1于點M，連接MB，則MAMB=MAMC=AC，根據(jù)兩點之間線段最短可知此時MAMB的值最小。設(shè)直線AC的解析式為y=kxb，A（4，0），C（0，3）， ，解得。直線AC的解析

30、式為：y=x3。令x=1，得y= 。M點坐標為（1，）。（3）結(jié)論：存在。如圖2所示，在拋物線上有兩個點P滿足題意：若BCAP1，此時梯形為ABCP1。由B（2，3），C（0，3），可知BCx軸，則x軸與拋物線的另一個交點P1即為所求。在中令y=0，解得x1=-2，x2=4。P1（2，0）。P1A=6，BC=2，P1ABC。四邊形ABCP1為梯形。若ABCP2，此時梯形為ABCP2。設(shè)CP2與x軸交于點N，BCx軸，ABCP2，四邊形ABCN為平行四邊形。AN=BC=2。N（2，0）。設(shè)直線CN的解析式為y=k1x+b1，則有： ，解得。直線CN的解析式為：y=x+3。點P2既在直線CN：y=x+3上，又在拋物線：上，x+3=，化簡得：x26x=0，解得x1=0（舍去），x2=6。點P2橫坐標為6，代入直線CN解析式求得縱坐標為6。P2（6，6）。ABCN，AB=CN，而CP2CN，CP2AB。四邊形ABCP2為梯形。綜上所述，在拋物線上存在點P，使得以點A、B、C、P四點為頂點所構(gòu)成的四邊形為梯形，點P的坐標為（2，0）或（6，6）。2. 【答案】解：（1）證明：如圖，連接AC四邊形ABCD為菱形，BAD=