1、直線與平面垂直的判定,1.了解線面垂直的判定定理的直觀感知，歸納推導(dǎo)過程. 2.理解線面垂直的定義以及判定定理. 3.能夠運(yùn)用線面垂直的判定定理判定或證明線面垂直.,1.本節(jié)課的重點(diǎn)是掌握線面垂直的定義以及判定定理、線面角的概念，并能正確運(yùn)用. 2.本節(jié)課的難點(diǎn)是判定定理和線面角的理解以及應(yīng)用.,1.直線與平面垂直 (1)定義：若直線l與平面內(nèi)的_直線都垂直，則直線l與平面互相垂直.記作_. (2)相關(guān)概念：直線l叫做平面的_.平面叫做直線l 的_.直線與平面垂直時(shí)，它們唯一的公共點(diǎn)叫做_.,任意一條,l,垂線,垂面,垂足,(3)畫法：通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直，如圖.,2

2、.直線與平面垂直的判定定理 (1)語言表述 條件：直線垂直于平面內(nèi)的兩條_. 結(jié)論:直線與此平面_. (2)符號(hào)表述： la lb _ _,相交直線,垂直,l.,a,b,ab=P,1.若直線l與平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，能否一定得出直線l與平面垂直？,1.若直線l與平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，能否一定得出直線l與平面垂直？ 提示：不一定.如果這無數(shù)條直線是一組平行線，就得不出垂直.,2.若直線m直線n,且直線m平面,能否推出直線n平面? .,2.若直線m直線n,且直線m平面,能否推出直線n平面? 提示:能.任取直線a,b,ab=P，又直線m平面,所以ma,mb，又直線m直線n,所以na,nb,于是得

3、直線n平面.,3.如果直線l與平面內(nèi)的所有直線都垂直，則直線l與平面的位置關(guān)系是_.,3.如果直線l與平面內(nèi)的所有直線都垂直，則直線l與平面的位置關(guān)系是_. 【解析】由線面垂直的定義可知，直線l垂直于平面. 答案：垂直,1.關(guān)于直線與平面垂直的定義的理解 (1)定義中的“任何一條直線”這一詞語，它與“所有直線”是同義語，定義是說這條直線和平面內(nèi)所有直線垂直. (2)直線與平面垂直是直線與平面相交的一種特殊形式.,(3)若直線與平面垂直，則直線和平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，即“線面垂直，則線線垂直”，這是我們判定兩條直線垂直時(shí)經(jīng)常使用的一種重要方法. (4)在畫線面垂直時(shí)，要把直線畫成和表示平面

4、的平行四邊形的橫邊垂直，符號(hào)語言表述為l.,線面垂直的判定定理的理解 【技法點(diǎn)撥】正確把握線面垂直的判定定理 (1)記法及意義：“線線垂直，則線面垂直”中“線線”指一條直線和平面內(nèi)的兩相交直線；“線面”指這條直線和兩相交直線所在的平面. (2)成立的條件：直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，此直線與兩相交直線有無公共點(diǎn)均可.,【典例訓(xùn)練】 1.下列說法中正確的個(gè)數(shù)是( ) 若直線l與平面內(nèi)的一條直線垂直，則l. 若直線l與平面內(nèi)的兩條直線垂直，則l. 若直線l與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則l. 若直線l與平面內(nèi)的任意一條直線垂直，則l. (A)4 (B)2 (C)3 (D)1,2.如圖所示： 直角

5、ABC所在的平面外一點(diǎn)S，SA=SB=SC,點(diǎn)D為斜邊AC的中點(diǎn).則直線SD與平面ABC的位置關(guān)系為_.,【解析】1.選B.對(duì)于不能斷定該直線與平面垂直，該直線與平面可能平行，也可能斜交，也可能在平面內(nèi)，所以是錯(cuò)誤的，是正確的. 2.SA=SC，點(diǎn)D為斜邊AC的中點(diǎn)， SDAC. 連接BD,在RtABC中，則AD=DC=BD， ADSBDS， SDBD.又ACBD=D, SD平面ABC. 答案：垂直.,【互動(dòng)探究】在題2中，若AB=BC,其他條件不變，則BD與平面SAC的位置關(guān)系為_. 【解題指南】利用線面垂直的定義以及判定定理.,【解析】AB=BC，點(diǎn)D為斜邊AC的中點(diǎn)， BDAC.又由題2

6、知SD平面ABC， SDBD. 于是BD垂直于平面SAC內(nèi)的兩條相交直線， 故BD平面SAC. 答案：垂直,【變式訓(xùn)練】設(shè)表示平面，a，b表示直線，給出下列四個(gè)命題， ,b,其中正確的命題序號(hào)是_.,ab a,a ab,a b,ab,a ab,b,b,【解析】由ab,a,可得b或b，而得不到b,故錯(cuò).由平行線的性質(zhì)以及線面垂直的定義可知正確.若直線b，則錯(cuò)誤；對(duì)于，直線b有可能與平面平行或斜交或在平面內(nèi),故錯(cuò)誤. 答案：,線面垂直的判定 【技法點(diǎn)撥】 1.利用線面垂直的判定定理證明直線與平面垂直的步驟 (1)在這個(gè)平面內(nèi)找兩條直線，使它和這條直線垂直. (2)確定這個(gè)平面內(nèi)的兩條直線是相交的直

7、線. (3)根據(jù)判定定理得出結(jié)論.,2.解決線面垂直的常用方法 (1)利用勾股定理的逆定理. (2)利用等腰三角形底邊的中線就是底邊的高線. (3)利用線面垂直的定義. (4)利用平行轉(zhuǎn)化，即ab，bc，則ac.,【典例訓(xùn)練】 1.如圖所示，如果MC菱形ABCD所在平面，那么MA與BD的位置關(guān)系是( ) (A)平行 (B)垂直相交 (C)垂直但不相交 (D)相交但不垂直,2.如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱AA1底面ABC，AB=AC=1，AA1=2，B1A1C1=90，D為BB1的中點(diǎn). 求證：AD平面A1DC1,【解析】1.選C.連接AC,因?yàn)锳BCD是菱形，所以BDAC.又

8、MC平面ABCD，則BDMC.因?yàn)锳CMC=C,所以BD平面AMC.又MA平面AMC，所以MABD.顯然直線MA與直線BD不共面，因此直線MA與BD的位置關(guān)系是垂直但不相交.,2.AA1底面ABC, 平面A1B1C1平面ABC， AA1平面A1B1C1， A1C1AA1.又B1A1C1=90， A1C1A1B1而A1B1AA1=A1, A1C1平面AA1B1B,AD平面AA1B1B, A1C1AD.,由已知計(jì)算得AD= ,A1D= ,AA1=2. AD2+A1D2=AA12, A1DAD. A1C1A1D=A1, AD平面A1DC1.,【思考】(1)判定線面垂直的依據(jù)主要有哪些？ (2)利用線

9、面垂直的判定定理時(shí)易出現(xiàn)哪方面的失誤？,提示：(1)直線與平面垂直的定義以及判定定理都是判斷直線與平面垂直的依據(jù)，但前者要說明直線與平面內(nèi)所有直線的情況，后者只需說明直線與平面內(nèi)的兩條相交直線的情況就可以了. (2)在證明出所要證的直線與平面內(nèi)的兩條直線垂直后，易忽略說明這兩條直線是相交直線.,【變式訓(xùn)練】在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M為棱CC1的中點(diǎn)，AC交BD于點(diǎn)O. 求證：A1O平面MBD.,【證明】連接MO. BDA1A,BDAC,A1AAC=A, BD平面A1ACC1. 而A1O平面A1ACC1， A1OBD.,又 RtA1AO RtOCM， AA1O=MOC， 則A1OA

10、+MOC=90， A1OOM. OMBD=O, A1O平面MBD.,【規(guī)范解答】證明線面垂直 【典例】(12分)如圖，已知P是ABC所在平面外一點(diǎn)，PA,PB,PC兩兩互相垂直，H是ABC的垂心. 求證：PH平面ABC.,【解題指導(dǎo)】,【規(guī)范解答】如圖所示， PCAP，PCBP， APBP=P ，AP平面APB，BP平面APB， PC平面APB.3分,AB平面APB， PCAB.5分 連接CH，H為ABC的垂心， CHAB，7分 PCCH=C，PC平面PHC,CH平面PHC， AB平面PHC，PH平面PHC， ABPH.9分 同理可證PHBC.10分 AB平面ABC，BC平面ABC且ABBC=

11、B， PH平面ABC.12分,【規(guī)范訓(xùn)練】(12分)如圖，已知PA圓O所在平面，AB為圓O的直徑，C是圓周上的任意一點(diǎn)，過A作AEPC于E.求證：AE平面PBC.,【解題設(shè)問】(1)由PA圓O所在平面會(huì)得到線線垂直，根據(jù) 是什么？_. (2)欲證AE平面PBC.可利用_.,線面垂直的定義,線面垂直的判定定理,【規(guī)范答題】PA平面ABC，BC平面ABC， PABC.3分 ACBC,ACPA=A， BC平面PAC. AE平面PAC，6分 BCAE.8分 又PCAE，BCPC=C，10分 PC平面PBC,BC平面PBC， AE平面PBC.12分,1.一條直線和三角形的兩邊同時(shí)垂直，則這條直線和三角形

12、的第三邊的位置關(guān)系是( ) (A)平行 (B)垂直 (C)相交不垂直 (D)不確定,2.直線a與b垂直，b平面，則a與平面的位置關(guān)系是( ) (A)a (B)a (C)a (D)a或a,3.已知兩條直線m,n，兩個(gè)平面,，給出下面四種說法： mn,mn； ,m,nmn； mn,mn； ,mn,mn. 其中正確的序號(hào)是( ) (A) (B) (C) (D),1.【解析】選B.一條直線和三角形的兩邊同時(shí)垂直，則其垂直于三角形所在平面，從而垂直于第三邊.,2.【解析】選D.a與b垂直，b平面，則a或a.,3.【解析】選C.中n或n,不正確；中，兩直線可以平行，也可以異面，故不正確；中，n或n，故不正確,所以選C.,5.