1、第九章 奇異期權(quán),奇異期權(quán),奇異期權(quán)：比常規(guī)期權(quán)(標(biāo)準(zhǔn)的歐式或美式期權(quán) )更復(fù)雜的衍生證券，比如執(zhí)行價(jià)格不是一個(gè)確定的數(shù)，而是一段時(shí)間內(nèi)的平均資產(chǎn)價(jià)格的期權(quán)，或是在期權(quán)有效期內(nèi)如果資產(chǎn)價(jià)格超過一定界限，期權(quán)就作廢 。,第九章 奇異期權(quán),奇異期權(quán)的主要性質(zhì),分拆與組合 弱式路徑依賴 強(qiáng)式路徑依賴 時(shí)間依賴 維數(shù)：基本的獨(dú)立變量的個(gè)數(shù) 期權(quán)的階數(shù),第九章 奇異期權(quán),路徑依賴,期權(quán)的價(jià)值會(huì)受到標(biāo)的變量所遵循路徑的影響，它又可以分為弱式路徑依賴和強(qiáng)式路徑依賴兩種。如果期權(quán)價(jià)值會(huì)受到路徑變量的影響，但是在期權(quán)定價(jià)的偏微分方程中并不需要比與之類似的常規(guī)歐式期權(quán)增加新的獨(dú)立路徑依賴變量，就屬于弱式路徑依賴性

2、質(zhì)的期權(quán)。 美式期權(quán)就是弱式路徑依賴型的期權(quán)。,第九章 奇異期權(quán),障礙期權(quán),障礙期權(quán)是指期權(quán)的回報(bào)依賴于標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格在一段特定時(shí)間內(nèi)是否達(dá)到了某個(gè)特定的水平（臨界值），這個(gè)臨界值就叫做“障礙”水平 敲出障礙期權(quán) 敲入障礙期權(quán) 向上期權(quán) 向下期權(quán),第九章 奇異期權(quán),特殊交易條款,障礙水平的時(shí)間依賴性 雙重障礙 多次觸及障礙水平 障礙水平的重新設(shè)定 外部障礙期權(quán) 提前執(zhí)行的可能性 部分折扣,第九章 奇異期權(quán),障礙期權(quán)的性質(zhì),障礙期權(quán)是路徑依賴期權(quán)，它們的回報(bào)，以及它們的價(jià)值要受到資產(chǎn)到期前遵循的路徑的影響。但是障礙期權(quán)的路徑依賴的性質(zhì)是較弱的，因?yàn)槲覀冎恍枰肋@個(gè)障礙是否被觸發(fā)，而并不需要關(guān)于

3、路徑的其他任何信息,第九章 奇異期權(quán),障礙期權(quán)定價(jià),在障礙條件被觸發(fā)之前，期權(quán)價(jià)值仍然滿足 障礙條件則反映在相應(yīng)的邊界條件上,第九章 奇異期權(quán),敲出障礙,當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格達(dá)到敲出障礙水平時(shí)，期權(quán)合約作廢，因此邊界條件為 當(dāng) 時(shí) 如果合約中有部分折扣規(guī)定的話，邊界條件可以修改為：,第九章 奇異期權(quán),敲入障礙,敲入期權(quán)在沒有到達(dá)障礙水平時(shí)，有： 對(duì)于敲入期權(quán)來說，其價(jià)值在于到達(dá)障礙的可能性。如果是一個(gè)向上敲入期權(quán)，那么在資產(chǎn)價(jià)格到達(dá)上限的時(shí)候，合約的價(jià)值 就等于一個(gè)相應(yīng)的常規(guī)期權(quán)價(jià)值 。,第九章 奇異期權(quán),敲入和敲出障礙期權(quán)的關(guān)系,在不考慮折扣R的情況下，具有相同的執(zhí)行價(jià)格、到期時(shí)間和障礙水平的敲入

4、期權(quán)和敲出期權(quán)具有如下的關(guān)系： 敲入期權(quán)敲出期權(quán)執(zhí)行價(jià)格和時(shí)間相同的常規(guī)期權(quán),第九章 奇異期權(quán),障礙期權(quán)的具體定價(jià)公式,向下敲出看漲期權(quán) 向上敲入看漲期權(quán),第九章 奇異期權(quán),障礙期權(quán)定價(jià)的擴(kuò)展,障礙期權(quán)合約中增加條款的考慮 波動(dòng)率的選擇 標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的觀察頻率,第九章 奇異期權(quán),數(shù)值定價(jià)方法,將結(jié)點(diǎn)設(shè)置在障礙上 結(jié)點(diǎn)不在障礙水平上的調(diào)整 適應(yīng)性網(wǎng)狀模型,第九章 奇異期權(quán),三叉樹圖中的障礙水平,第九章 奇異期權(quán),二叉樹圖中的障礙水平,第九章 奇異期權(quán),障礙期權(quán)的靜態(tài)套期保值,盡可能地用交易活躍的常規(guī)看漲和看跌期權(quán)來復(fù)制障礙期權(quán)價(jià)值。比如為向上敲出看漲期權(quán)空頭保值的一個(gè)常用方法是買進(jìn)同樣價(jià)格和到期

5、日的看漲期權(quán)多頭，如果期權(quán)敲出，則還有一個(gè)看漲期權(quán)多頭可以彌補(bǔ)。,第九章 奇異期權(quán),反射保值,這個(gè)方法建立在反射原理和看漲看跌對(duì)稱的基礎(chǔ)上，很簡(jiǎn)單但效果相當(dāng)不錯(cuò)，但是只有在障礙水平和執(zhí)行價(jià)格以正確的順序排列的時(shí)候才有效。 假設(shè)我們目前擁有一個(gè)向下敲入看漲期權(quán)，并假設(shè)障礙水平H和執(zhí)行價(jià)格X相等?，F(xiàn)在用一個(gè)具有同樣執(zhí)行價(jià)格的常規(guī)看跌期權(quán)空頭來為其保值。如果觸及障礙水平，則我們的組合頭寸價(jià)值為 ，其中第一項(xiàng)來自障礙期權(quán)，第二項(xiàng)來自常規(guī)期權(quán)。根據(jù)平價(jià)關(guān)系和 ，組合價(jià)值正好等于 ，這是一個(gè)接近0的數(shù)。此時(shí)我們將兩個(gè)期權(quán)平倉(cāng)，就可實(shí)現(xiàn)保值。,第九章 奇異期權(quán),亞式期權(quán),亞式期權(quán)是當(dāng)今金融衍生品市場(chǎng)上交易最

6、為活躍的奇異期權(quán)之一。它最重要的特點(diǎn)在于：其到期回報(bào)依賴于標(biāo)的資產(chǎn)在一段特定時(shí)間（整個(gè)期權(quán)有效期或其中部分時(shí)段）內(nèi)的平均價(jià)格。它屬于強(qiáng)式路徑依賴期權(quán)，因?yàn)檫@一平均價(jià)格將成為定價(jià)公式中的一個(gè)獨(dú)立狀態(tài)變量。,第九章 奇異期權(quán),亞式期權(quán)的種類,平均資產(chǎn)價(jià)期權(quán) 平均執(zhí)行價(jià)期權(quán) 算術(shù)平均 幾何平均,第九章 奇異期權(quán),連續(xù)取樣平均,定義反映資產(chǎn)價(jià)格路徑平均值的變量為 其中 為平均值函數(shù)，視期權(quán)合約條款規(guī)定而不同 建立一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)組合 應(yīng)用布萊克-舒爾斯模型的方法，得到：,第九章 奇異期權(quán),連續(xù)取樣平均（續(xù)）,偏微分方程中增加了對(duì)變量I的一階偏導(dǎo)，是對(duì)第三個(gè)獨(dú)立變量的影響的描述。這時(shí)，邊界條件變?yōu)?具體運(yùn)用到

7、算術(shù)平均和幾何平均期權(quán)，偏微分方程分別為,第九章 奇異期權(quán),更新規(guī)則,在簡(jiǎn)單的亞式平均期權(quán)中： 這里I的新值只由I的舊值、取樣日的資產(chǎn)價(jià)格和取樣日決定。這個(gè)規(guī)則還可以根據(jù)計(jì)算平均數(shù)的不同方法進(jìn)行推廣。但無論函數(shù)F如何變化，這個(gè)路徑依賴變量始終都是在取樣日進(jìn)行相應(yīng)的更新。,第九章 奇異期權(quán),離散取樣的定價(jià)方程,由于更新規(guī)則，實(shí)際上只有在取樣日變量I才發(fā)生變化。在取樣日之間，I是常數(shù)，因此定價(jià)方程與一般的布萊克-舒爾斯偏微分方程相同：,第九章 奇異期權(quán),幾何平均亞式期權(quán),在亞式期權(quán)中，只有幾何平均期權(quán)能得到精確的解析解。幾何平均期權(quán)的解析價(jià)格公式之所以存在，是因?yàn)椴既R克-舒爾斯模型假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格

8、服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，而一系列對(duì)數(shù)正態(tài)分布變量的幾何平均值仍為對(duì)數(shù)正態(tài)分布,第九章 奇異期權(quán),算術(shù)平均亞式期權(quán),亞式期權(quán)中更常見的情況是取算術(shù)平均，但是一系列對(duì)數(shù)正態(tài)分布值的算術(shù)平均值并不服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。為了解決這個(gè)問題，人們采用了各種方法，但是仍然無法得到解析的定價(jià)公式。對(duì)標(biāo)的算術(shù)平均亞式期權(quán)更多的是采用數(shù)值方法或以標(biāo)的幾何平均亞式期權(quán)來近似逼近，常見的如下： 二階矩近似法 控制方差法 相似變量代換法,第九章 奇異期權(quán),回溯期權(quán),回溯期權(quán)的收益依附于標(biāo)的資產(chǎn)在某個(gè)確定的時(shí)段（稱為回溯時(shí)段）中達(dá)到的最大或最小價(jià)格（又稱為回溯價(jià)），根據(jù)是資產(chǎn)價(jià)還是執(zhí)行價(jià)采用這個(gè)回溯價(jià)格，回溯期權(quán)可以分為： 固定執(zhí)

9、行價(jià)期權(quán) 浮動(dòng)執(zhí)行價(jià)期權(quán),第九章 奇異期權(quán),B-S模型框架下的回溯期權(quán),回溯期權(quán)定價(jià)模型中包含路徑依賴變量，因此回溯期權(quán)也屬于強(qiáng)式路徑依賴期權(quán)。可以采用在亞式期權(quán)中所討論的強(qiáng)式路徑依賴定價(jià)的思路，根據(jù)連續(xù)觀測(cè)和離散觀測(cè)的不同，將回溯期權(quán)定價(jià)納入到布萊克-舒爾斯模型框架中去。但由于回溯價(jià)和亞式期權(quán)中的平均價(jià)性質(zhì)不同，平均價(jià)必然會(huì)隨著觀測(cè)值的增加而改變，而最大值的回溯價(jià)則不一定會(huì)改變，這使得回溯期權(quán)的定價(jià)和亞式期權(quán)有所不同。,第九章 奇異期權(quán),連續(xù)觀測(cè),Goldman, Sosin和Gatto推導(dǎo)出這個(gè)方程的邊界條件是 當(dāng) 時(shí) 由回報(bào)推出的邊界條件是 （固定執(zhí)行價(jià)看漲期權(quán)） （浮動(dòng)執(zhí)行價(jià)看跌期權(quán)）

10、,第九章 奇異期權(quán),離散觀測(cè),回溯價(jià)是通過離散時(shí)間取得的觀測(cè)值比較形成的，其更新規(guī)則為： 根據(jù)這一更新規(guī)則，可以得到離散觀測(cè)的回溯期權(quán)的跳躍條件：,第九章 奇異期權(quán),歐式浮動(dòng)執(zhí)行價(jià)回溯看漲期權(quán),看漲期權(quán)回報(bào)為： 其中M是目前已經(jīng)實(shí)現(xiàn)的最小值，在B-S模型框架下，期權(quán)價(jià)值為：,第九章 奇異期權(quán),續(xù),公式中：,第九章 奇異期權(quán),歐式浮動(dòng)執(zhí)行價(jià)回溯看跌期權(quán),浮動(dòng)執(zhí)行價(jià)回溯看跌期權(quán)的回報(bào)為： 其中M是目前已經(jīng)實(shí)現(xiàn)的最大值。在B-S模型框架下，期權(quán)價(jià)值為:,第九章 奇異期權(quán),續(xù),其中：,第九章 奇異期權(quán),回溯期權(quán)的數(shù)值定價(jià)方法,回溯期權(quán)的定價(jià)就經(jīng)常使用到二叉樹模型。但是，在使用二叉樹模型的時(shí)候，在每個(gè)結(jié)

11、點(diǎn)需要考慮到當(dāng)前為止不同路徑所導(dǎo)致的不同的最大值或最小值，路徑越多，這些值的個(gè)數(shù)越多，降低了二叉樹模型的實(shí)用意義 解決方法1:在每個(gè)結(jié)點(diǎn)，僅對(duì)路徑函數(shù)中具有代表性意義的值進(jìn)行計(jì)算，其他值則用內(nèi)插法從已知的值中計(jì)算得到 解決方法2:最高價(jià)格M和現(xiàn)價(jià)S之比 來建立標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格樹圖并進(jìn)一步為期權(quán)定價(jià),第九章 奇異期權(quán),兩值期權(quán),現(xiàn)金或無價(jià)值看漲期權(quán)，期權(quán)價(jià)值為 資產(chǎn)或無價(jià)值看漲期權(quán)，期權(quán)價(jià)值為,第九章 奇異期權(quán),打包期權(quán),打包期權(quán)：由常規(guī)的歐式期權(quán)、遠(yuǎn)期合約、現(xiàn)金和標(biāo)的資產(chǎn)等構(gòu)成的證券組合。 經(jīng)濟(jì)意義：可以利用這些金融工具之間的關(guān)系，組合成符合需要的投資工具。 最常見的打包期權(quán)：具有零初始成本的期權(quán)

12、組合。,第九章 奇異期權(quán),非標(biāo)準(zhǔn)美式期權(quán),標(biāo)準(zhǔn)美式期權(quán)在有效期內(nèi)任何時(shí)間都可執(zhí)行且執(zhí)行價(jià)格總是相同的，非標(biāo)準(zhǔn)美式期權(quán)則對(duì)其做了一些改動(dòng)，例如： 百慕大期權(quán)只能在事先確定的時(shí)間內(nèi)提前執(zhí)行； 公司發(fā)行的認(rèn)股權(quán)證往往規(guī)定提前執(zhí)行的時(shí)間段，而且執(zhí)行價(jià)格也會(huì)有所不同。,第九章 奇異期權(quán),遠(yuǎn)期開始期權(quán),遠(yuǎn)期開始期權(quán)：現(xiàn)在支付期權(quán)費(fèi)而在未來某時(shí)刻才開始的期權(quán) 其定價(jià)也可以在布萊克-舒爾斯模型框架中進(jìn)行零時(shí)刻的期權(quán)為：,第九章 奇異期權(quán),吶喊期權(quán),吶喊期權(quán)：一個(gè)常規(guī)歐式期權(quán)加上一個(gè)額外的特征：在整個(gè)期權(quán)有效期內(nèi)，持有者可以向空頭方“吶喊”一次。在期權(quán)到期時(shí)，期權(quán)持有者可以選擇以下兩種損益中的一種：一個(gè)常規(guī)歐式期權(quán)的回報(bào)；根據(jù)吶喊時(shí)刻的內(nèi)在價(jià)值得到的回報(bào) 可以把吶喊期權(quán)的回報(bào)寫為,第九章 奇異期權(quán),復(fù)合期權(quán),復(fù)合期權(quán)在 時(shí)刻給予持有者一個(gè)在 這一特定時(shí)間以特定價(jià)格買賣另一個(gè)期權(quán)的權(quán)利，后面這個(gè)標(biāo)的期權(quán)將在 時(shí)刻到期 時(shí)刻的復(fù)合期權(quán)價(jià)值滿足： 條件為,第九