1、壓軸大題突破練壓軸大題突破練函數(shù)與導(dǎo)數(shù)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)( (一一) ) 1已知 f(x)x3ax2a2x2. (1)若 a1，求曲線 yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程； (2)若 a0，求函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間； (3)若不等式 2xln xf(x)a21 恒成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 解(1)a1，f(x)x3x2x2， f(x)3x22x1，kf(1)4，又 f(1)3， 切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3)， 所求切線方程為 y34(x1)，即 4xy10. (2)f(x)3x22axa2(xa)(3xa)， 由 f(x)0 得 xa 或 xa 3. 當(dāng) a0 時(shí)，由 f(x)0，得ax0，得 x

2、a 3， 此時(shí) f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(a，a a 3)，單調(diào)遞增區(qū)間為(，a)和(3，) 當(dāng) a0 時(shí)，由 f(x)0，得a 30 時(shí)，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(a，a 3)， 單調(diào)遞增區(qū)間為(，a)和(a 3，) 當(dāng) a0 時(shí)，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(a 3，a)， 單調(diào)遞增區(qū)間為(，a 3)和(a，) (3)依題意x(0，)，不等式2xln xf(x)a21恒成立，等價(jià)于2xln x3x22ax1在(0， )上恒成立， 31 可得 aln x x在(0，)上恒成立， 22x 3x1131 設(shè) h(x)ln x，則 h(x) 2 22xx22x x13x1 . 2x2 1 令 h(x)

3、0，得 x1，x (舍)， 3 當(dāng) 01 時(shí)，h(x)0， 因此 h(x)在0,1上是增函數(shù)， 故 h(x)h(0)0，所以 f(x)1x，x0,1 要證 x0,1時(shí)，(1x)e2x 只需證明 exx1. ， 1x 1 記 K(x)exx1，則 K(x)ex1， 當(dāng) x(0,1)時(shí)，K(x)0， 因此 K(x)在0,1上是增函數(shù)， 故 K(x)K(0)0. 1 所以 f(x)，x0,1 1x 1 綜上，1xf(x)，x0,1 1x (2)解f(x)g(x)(1x)e2x x3x3 (ax 12xcos x)1xax1 2xcos x 22 x2 x(a1 2cos x)(由(1)知) 2 x2

4、 故 G(x) 2cos x，則 G(x)x2sin x. 2 記 H(x)x2sin x，則 H(x)12cos x， 當(dāng) x(0,1)時(shí)，H(x)0， 所以存在 x0(0,1)，使得 I(x0)0， 此時(shí) f(x0)0.設(shè)兩曲線 y 2 f(x)，yg(x)有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同 (1)用 a 表示 b，并求 b 的最大值； (2)求證：f(x)g(x) 3a2 (1)解f(x)x2a，g(x)， x 由題意知 f(x0)g(x0)，f(x0)g(x0)， 即 3a x 2a. x 2 0 0 1 2 x02ax03a2ln x0b， 2 3a2 由 x02a，得 x0a 或 x0

5、3a(舍去) x0 15 即有 b a22a23a2ln a a23a2ln a. 22 5 令 h(t) t23t2ln t(t0)， 2 則 h(t)2t(13ln t) 于是當(dāng) t(13ln t)0，即 00) xx 故 F(x)在(0，a)上為減函數(shù)，在(a，)上為增函數(shù) 于是 F(x)在(0，)上的最小值是 F(a)F(x0)f(x0)g(x0)0. 故當(dāng) x0 時(shí)，有 f(x)g(x)0， 即當(dāng) x0 時(shí)，f(x)g(x) a1 4已知 f(x)x23x1，g(x)x. x1 (1)a2 時(shí)，求 yf(x)和 yg(x)的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)； (2)a 為何值時(shí)，yf(x)和 yg(x)的

6、公共點(diǎn)個(gè)數(shù)恰為兩個(gè) 2 1 3 2 1 3 1 3 1 3 1 3 yfx， 1 解(1)由得 x23x1x， x1ygx， 整理得 x3x2x20(x1) 令 yx3x2x2， 求導(dǎo)得 y3x22x1， 1 令 y0，得 x11，x2 ， 3 1 故得極值點(diǎn)分別在1 和 處取得，且極大值、極小值都是負(fù)值 3 故公共點(diǎn)只有一個(gè) a1yfx， 2 (2)由得 x 3x1x， x1ygx， 整理得 ax3x2x(x1)， 令 h(x)x3x2x， ya， 聯(lián)立 32yhxx x xx1， 1 對(duì) h(x)求導(dǎo)可以得到極值點(diǎn)分別在1 和 處，畫出草圖，如圖， 3 15 h(1)1，h( )， 327

7、 當(dāng) ah(1)1 時(shí)，ya 與 yh(x)僅有一個(gè)公共點(diǎn)(因?yàn)?1,1)點(diǎn)不在 yh(x)曲線上)， 5 故 a時(shí)恰有兩個(gè)公共點(diǎn) 27 中檔大題規(guī)范練中檔大題規(guī)范練數(shù)列數(shù)列 1已知公差大于零的等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和 Sn，且滿足：a2a464，a1a518. (1)若 1i21，a1，ai，a21是某等比數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng)，求i 的值 n (2)設(shè) bn，是否存在一個(gè)最小的常數(shù)m 使得 b1b2bn0，所以 a2a4，所以 a25，a413. a1d5， 所以 a13d13， 所以 a11，d4.所以 an4n3. 由 1i21，a1，ai，a21是某等比數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng)， 所以 a1a21a

8、2 i ， 即 181(4i3)2，解得 i3. nn1 (2)由(1)知，Snn142n2n， 2 1111 所以 bn ()， 2n12n1 2 2n12n1 所以 b1b2bn 111111n (1 )， 2335 2n12n12n1 n111 因?yàn)?， 2n1 2 22n1 2 1 所以存在 m 使 b1b2bnm 對(duì)于任意的正整數(shù) n 均成立 2 2設(shè) Sn為數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和，已知 a10,2ana1S1Sn，nN *. (1)求 a1，a2，并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； (2)求數(shù)列nan的前 n 項(xiàng)和 2 解(1)令 n1，得 2a1a1a2 1，即 a1a1. 因?yàn)?a10，

9、所以 a11. 令 n2，得 2a21S21a2，解得 a22. 當(dāng) n2 時(shí)，由 2an1Sn,2an11Sn1， 兩式相減得 2an2an1an，即 an2an1. 于是數(shù)列an是首項(xiàng)為 1，公比為 2 的等比數(shù)列 因此，an2n1. 所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為 an2n1. (2)由(1)知，nann2n1. 記數(shù)列n2n1的前 n 項(xiàng)和為 Bn，于是 Bn122322n2n1. 2Bn12222323n2n. ，得 Bn12222n1n2n2n1n2n. 從而 Bn1(n1)2n. 即數(shù)列nan的前 n 項(xiàng)和為 1(n1)2n. 3設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足2Snan12n 11，

10、nN *，且a 11，設(shè)數(shù)列bn滿足 bnan2n. (1)求證數(shù)列bn為等比數(shù)列，并求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式； 6n3 (2)若數(shù)列 cn，Tn是數(shù)列cn的前 n 項(xiàng)和，證明：Tn3. bn n1 2Snan121， (1)解當(dāng) n2 時(shí)，由 n2S n1an2 1 2anan1an2n an13an2n， 從而 bn1an12n13(an2n)3bn， 故bn是以 3 為首項(xiàng)，3 為公比的等比數(shù)列， bnan2n33n13n， an3n2n(n2)， 因?yàn)?a11 也滿足，于是 an3n2n. 6n32n1 (2)證明cn n1 ， bn 3 2n32n1 135 則 Tn 012 n2 n

11、1 ， 333 33 2n32n1 1135 T n1 n ， 3 n3132333 3 2n1 21222 ，得 Tn 012 n1 n 33333 3 1 1 n1 32n1 2 1 n 313 13 2n1 2 n1 n 3 3 1 2n1 2， 3n n1 故 Tn3 n1 3. 3 1 2 4已知單調(diào)遞增數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn，滿足 Sn (ann) 2 (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； 1 a2 1，n為奇數(shù)， (2)設(shè) cn n1求數(shù)列cn的前 n 項(xiàng)和 Tn. 32an 11，n為偶數(shù)， 1 解(1)n1 時(shí)，a1 (a21)，得 a11， 2 1 1 2 由 Sn (an

12、n)， 2 1 則當(dāng) n2 時(shí)，Sn1 (a2n1)， 2 n1 1 2 得 anSnSn1 (a2 nan11)，2 2 化簡(jiǎn)得(an1)2an10， anan11 或 anan11(n2)， 又an是單調(diào)遞增數(shù)列，故anan11， 所以an是首項(xiàng)為 1，公差為 1 的等差數(shù)列，故 ann. a1，n為奇數(shù)， (2)c 32a 1，n為偶數(shù)， n 2 n1 n1 1 當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)， Tn(c1c3cn1)(c2c4cn) ( 11n 13n1 )3(2 2 2) 222 2 2 14 1n 1 1 n 214 2n111 32 1335 n1n114 1111111nn ( )2(4 1

13、) 2133522 n1n1 2n1 n22n4 . 2n1 當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)， Tn(c1c3cn)(c2c4cn1) n1 11 13n2 3(2 2 2) 222 2 2 14 1n1 1 1 n1n1 1111111 ( )2(41) 21335n n2 22 2 n 2n9 2n. 2n2 所以 T 2 n 2 n 2n9 n 2 n為奇數(shù)， 2n2 n1n 2n4n為偶數(shù). 2n1 2 2x31 5已知函數(shù) f(x)，數(shù)列an滿足 a11，an1f()，nN N*. 3xan (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； m2 0141 (2)令 bn(n2)，b13，Snb1b2bn，若 Sn對(duì)一切 nN N*恒成立，求 2an 1an 最小正整數(shù) m. 2 3 23an 1an2 解(1)an1f()an ， an333 an 2 an是以 1 為首項(xiàng)， 為公差的等差數(shù)列 3 221 an1(n1) n . 333 (2)當(dāng) n2 時(shí)，bna n1an2