1、第四章,微分法:,積分法:,互逆運(yùn)算,不定積分,二、 基本積分表,三、不定積分的性質(zhì),一、 原函數(shù)與不定積分的概念,第一節(jié),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,原函數(shù)與不定積分的概念,第四章,一、 原函數(shù)與不定積分的概念,例: 一個(gè)質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn),下沿直線運(yùn)動(dòng) ,因此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為:,已知,求,在變力,試求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,根據(jù)牛頓第二定律,加速度,定義 1 . 若在區(qū)間 I 上定義的兩個(gè)函數(shù) F (x) 及 f (x),滿足,在區(qū)間 I 上的一個(gè)原函數(shù) .,則稱(chēng) F (x) 為f (x),如引例中,的原函數(shù)有,(P213),問(wèn)題:,1. 在什么條件下, 一個(gè)

2、函數(shù)的原函數(shù)存在 ?,2. 若原函數(shù)存在, 它如何表示 ?,定理1.,存在原函數(shù) . （P213）,(下章證明),初等函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù),初等函數(shù)在定義區(qū)間上有原函數(shù),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,定理 2.,原函數(shù)都在函數(shù)族,( C 為任意常數(shù) ) 內(nèi) .,證: 1),又知,故,即,屬于函數(shù)族,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,即,(P213）,定義 2.,在區(qū)間 I 上的原函數(shù)全體稱(chēng)為,上的不定積分,其中, 積分號(hào);, 被積函數(shù);, 被積表達(dá)式., 積分變量;,(P214),若,則,( C 為任意常數(shù) ),C 稱(chēng)為積分常數(shù) 不可丟 !,例如,記作,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)

3、束,不定積分的幾何意義: （P215）,的原函數(shù)的圖形稱(chēng)為,的圖形,的所有積分曲線組成,的平行曲線族.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,的積分曲線 .,例1. 設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)( 1 , 2 ) ,且其上任一點(diǎn)處的切線,斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍, 求此曲線的方程.,解:,所求曲線過(guò)點(diǎn) ( 1 , 2 ) ,故有,因此所求曲線為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例2. 質(zhì)點(diǎn)在距地面,處以初速,力, 求它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.,解: 取質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡為坐標(biāo)軸, 原點(diǎn)在地面, 指向朝上 ,質(zhì)點(diǎn)拋出時(shí)刻為,此時(shí)質(zhì)點(diǎn)位置為,初速為,設(shè)時(shí)刻 t 質(zhì)點(diǎn)所在位置為,則,(運(yùn)動(dòng)速度),(加速度),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè)

4、 返回 結(jié)束,垂直上拋 ,不計(jì)阻,先求,由,知,再求,于是所求運(yùn)動(dòng)規(guī)律為,由,知,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,故,二、 基本積分表 (P216),從不定積分定義可知:,或,或,利用逆向思維,( k 為常數(shù)),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,或,或,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例3. 求,解: 原式 =,例4. 求,解: 原式=,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,三、不定積分的線性性質(zhì) （P217）,推論: 若,則,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例5. 求,解: 原式 =,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例6. （P218）求,

5、解: 原式 =,例7. 求,解: 原式 =,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例8. 求,解: 原式 =,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,內(nèi)容小結(jié),1. 不定積分的概念, 原函數(shù)與不定積分的定義, 不定積分的性質(zhì), 基本積分表 (見(jiàn)P 216),2. 直接積分法:,利用恒等變形,及 基本積分公式進(jìn)行積分 .,常用恒等變形方法,分項(xiàng)積分,加項(xiàng)減項(xiàng),利用三角公式 , 代數(shù)公式 ,積分性質(zhì),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,思考與練習(xí),1. 證明,2. 若,(P191題4),提示:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,提示:,3. 若,是,的原函數(shù) , 則,提示:,已知,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,4. 若,的導(dǎo)函數(shù)為,則,的一個(gè)原函數(shù),是 ( ) .,提示:,已知,求,即,B,?,?,或由題意,其原函數(shù)為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,5. 求下列積分:,提示:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回