1、學(xué)案2.1 空間點(diǎn)、直線、平面 之間的位置關(guān)系,房增鳳,一、平面 1.三個(gè)公理 公理1 如果一條直線上的 在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi). 公理2 ,有且只有一個(gè)平面，也可簡(jiǎn)單地說成，不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面.,兩點(diǎn),過不在一條直線上的三點(diǎn),考點(diǎn)分析,公理3 如果兩個(gè)不重合的平面 ，那么它們有且只有 . 2.符號(hào)語言與數(shù)學(xué)語言的關(guān)系,有一個(gè)公共點(diǎn),一條過該點(diǎn)的公共直線,=a,Aa,Aa,a,ab=A,1.空間兩條直線的位置關(guān)系有三種：相交、平行、異面 (1)相交直線: ; (2)平行直線: ; (3)異面直線: . 2.判定異面直線的方法 (1)利用定理：過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線和

2、平 面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線.,二、空間兩條直線的位置關(guān)系,在同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn),在同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn),不同在任何一個(gè)平面內(nèi)（或者說，異面直線既 不相交又不平行的兩條直線），沒有公共點(diǎn),(2)利用反證法：假設(shè)兩條直線不是異面直線，推導(dǎo)出矛盾. 3.公理4 空間平行線的傳遞性. 4.等角定理 空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角 .,平行于同一條直線的兩條直線互相平行,相等或互補(bǔ),5.異面直線所成的角 設(shè)a,b是異面直線，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O，分別作直線aa,bb，把直線a與b所成的 叫做異面直線a與b所成的角(或夾角). 三、空間直線與平面的位置關(guān)系 直線與平面的

3、位置關(guān)系有且只有三種： （1）直線在平面內(nèi)： ； （2）直線與平面相交： ； （3）直線與平面平行： ，,銳角(或直角),有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn),有且只有一個(gè)公共點(diǎn),沒有公共點(diǎn),直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱 . 四、平面與平面的位置關(guān)系 兩個(gè)平面之間的位置關(guān)系有且只有兩種： （1）兩個(gè)平面平行： ； （2）兩個(gè)平面相交： .,有一條公共直線,直線在平面外,沒有公共點(diǎn),如圖所示，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G分別在AB，BC，CD上，且滿足AE:EB=CF:FB=2:1，CG:GD=3:1，過E，F(xiàn)，G的平面交AD于H，連接EH. （1）求AH:HD； （2）求證：EH，F(xiàn)G，BD三線共點(diǎn).,考點(diǎn)一

4、 證明共點(diǎn)問題,題型分析,【分析】證明線共點(diǎn)的問題實(shí)質(zhì)上是證明點(diǎn)在線上的問題，其基本理論是把直線看作兩平面的交線，點(diǎn)看作是兩平面的公共點(diǎn)，由公理3得證.,【解析】（1） =2，EFAC. EF平面ACD. 而EF平面EFGH，且平面EFGH平面ACD=GH， EFGH.而EFAC，ACGH. =3，即AH:HD=3:1.,（2）證明：EFGH，且 ， ， EFGH,四邊形EFGH為梯形. 令EHFG=P,則PEH,而EH 平面ABD， PFG，F(xiàn)G 平面BCD，平面ABD平面BCD=BD， PBD.EH，F(xiàn)G，BD三線共點(diǎn).,【評(píng)析】 所謂線共點(diǎn)問題就是證明三條或三條以上的直線交于一點(diǎn). （1

5、）證明三線共點(diǎn)的依據(jù)是公理3. （2）證明三線共點(diǎn)的思路是：先證兩條直線交于一點(diǎn)，再證明第三條直線經(jīng)過該點(diǎn)，把問題轉(zhuǎn)化為證明點(diǎn)在直線上的問題.實(shí)際上，點(diǎn)共線、線共點(diǎn)的問題都可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)在直線上的問題來處理.,對(duì)應(yīng)演練,如圖所示，已知空間四邊形ABCD，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別是BC，CD上的點(diǎn).且CG= BC，CH= DC.求證： （1）E，F(xiàn)，G，H 四點(diǎn)共面； （2）三直線FH，EG， AC共點(diǎn).,（1）連接EF，GH. 由E,F分別為AB,AD中點(diǎn)， EF BD,由CG= BC CH= DC， HG BD， EFHG且EFHG. EF,HG可確定平面, E,F,G,H四點(diǎn)

6、共面.,（2）由（1）知,EFHG為平面圖形，且EFHG，EFHG. 四邊形EFHG為梯形，設(shè)直線FH直線EG=O， 點(diǎn)O直線FH，直線FH 面ACD， 點(diǎn)O平面ACD.同理點(diǎn)O平面ABC. 又面ACD面ABC=AC，點(diǎn)O直線AC（公理2）. 三直線FH，EG，AC共點(diǎn).,在正方體ABCDA1B1C1D1中,對(duì)角線A1C與平面 BDC1交于點(diǎn)O,AC,BD交于點(diǎn)M,求證:點(diǎn)C1,O,M共線.,【分析】證明三點(diǎn)共線常用方法是取其中兩點(diǎn)確定一 直線,再證明其余點(diǎn)也在該直線上.,考點(diǎn)二 點(diǎn)共線問題,【證明】如圖,A1AC1C, A1A,C1C確定平面A1C. A1C 平面A1C,OA1C, O平面A

7、1C,而O=平面BDC1線A1C, O平面BDC1, O在平面BDC1與平面A1C的交線上. ACBD=M, M平面BDC1且M平面A1C, 平面BDC1平面A1C=C1M, OCM,即M,O,C1三點(diǎn)共線.,【評(píng)析】 證 明若干點(diǎn)共線也可用基本性質(zhì)3 為依據(jù),找出兩個(gè)平面的交線,然后證明各個(gè)點(diǎn)都是這兩平面的公共點(diǎn).,對(duì)應(yīng)演練,如圖所示,已知ABC在平面外,AB,BC,AC的延長(zhǎng)線分別交平面于P,Q,R三點(diǎn).求證:P,Q,R三點(diǎn)共線.,證明:設(shè)ABC所在平面為,因?yàn)锳P=P,AP,所以與相交于過點(diǎn)P的直線l,即Pl.因?yàn)锽Q=Q,BQ,所以Q,Q.所以Ql.同理可證Rl.所以P,Q,R三點(diǎn)共線

8、.,【分析】四條直線兩兩相交且不共點(diǎn),有兩種情況: 一是恰有三條直線共點(diǎn);二是任意三條直線均不共點(diǎn),故應(yīng)分兩種情況證明.,考點(diǎn)三 共面問題,證明：空間不共點(diǎn)且兩兩相交的四條直線在同一平面內(nèi).,【解析】 (1)如圖,設(shè)直線a,b,c相交于O點(diǎn),直線d和a,b,c分別交于M,N,P三點(diǎn),份直線d和點(diǎn)O確定平面. O直線a,M直線a, 直線a平面. 同理b平面,c平面. a,b,c,d四線共面.,(2)如圖,設(shè)直線a,b,c,d兩兩相交,且任意三條不共點(diǎn). 直線ab=M,直線a和b確定平面. ac=N,bc=Q,N,Q都在平面內(nèi). 直線a,b,c,d共面于. 綜合（1），（2）知,兩 兩相交而不過同

9、一點(diǎn)的 四條直線必在同一平面內(nèi).,【評(píng)析】所謂點(diǎn)線共面問題就是指證明一些點(diǎn)或直線在同一個(gè)平面內(nèi)的問題.（1）證明點(diǎn)線共面的主要依據(jù)：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)（公理1）.經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面（公理2）.（2）證明點(diǎn)線共面的常用方法:納入平面內(nèi)：先確定一個(gè)平面，再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi).輔助平面法：先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面，再證明其余元素確定平面，最后證明平面,重合.反證法.（3）具體操作方法：證明幾點(diǎn)共面的問題可先取三點(diǎn)（不共線的三點(diǎn)）確定一個(gè)平面，再證明其余各點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi).證明空間幾條直線共面問題可先取兩條（相交或平

10、行）直線確定一個(gè)平面，再證明其余直線均在這個(gè)平面內(nèi).,對(duì)應(yīng)演練,如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中， 判斷下列命題是否正確，并說明理由. （1）直線AC1平面CC1B1B； （2）設(shè)正方形ABCD與A1B1C1D1 的中心分別為O，O1，平面AA1C1C 平面BB1D1D=OO1； （3）點(diǎn)A，O，C可以確定一個(gè)平面； （4）由點(diǎn)A，C1，B1確定的平面是ADC1B1； （5）由A，C1，B1確定的平面和由A，C1， D確定的平面是同一平面.,(1)錯(cuò)誤，若AC1平面CC1B1B，則A平面 CC1B1B，這與A 平面CC1B1B的幾何事實(shí)矛盾. (2)正確，O，O1是這兩個(gè)平面的兩個(gè)公共點(diǎn)

11、. (3)錯(cuò)誤,點(diǎn)A，O，C在同一直線上. (4)正確，A，C1，B1不共線，確定平面. AB1C1D是平行四邊形，過AD與B1C1兩平行線確定 一平面, 又,都過不共線三點(diǎn)A,C1,B1，與重合. 點(diǎn)D平面AC1B1，即A,C1,B1確定的平面是ADC1B1. (5)正確，同（4）.,如圖所示，正方體ABCD A1B1C1D1中，M，N分別是A1B1，B1C1的中點(diǎn).問： （1）AM和CN是否是異面直線？ （2）D1B和CC1是否是異面直 線？請(qǐng)說明理由.,考點(diǎn)四 異面直線的判定和證明,【分析】（1）由于M,N分別是A1B1和B1C1的中點(diǎn)，可證明MNAC，因此AM與CN不是異面直線.（2）

12、由空間圖形可感知D1B和CC1為異面直線的可能性較大，判斷的方法可用反證法.,【解析】（1）不是異面直線.理由如下： M,N分別是A1B1,B1C1的中點(diǎn), MNA1C1， 又A1A D1D,而D1D C1C， A1A C1C，四邊形A1ACC1為平行四邊形. A1C1AC，得到MNAC， A,M,N,C在同一個(gè)平面內(nèi)，故AM和CN不是異面直線.,（2）是異面直線，證明如下： 假設(shè)D1B與CC1在同一個(gè)平面D1CC1內(nèi)， 則B平面CC1D1，C平面CC1D1. BC平面CC1D1， 這與正方體ABCDA1B1C1D1中BC面CC1D1相矛盾. 假設(shè)不成立，故D1B與CC1是異面直線.,如圖所示

13、，E,F在AD上，G,H在BC上，圖中8條線段所在的直線，哪些直線互為異面直線？,先找規(guī)律性較強(qiáng)的直線，如AB與CD，AC與BD，AD與BC互為異面直線，然后再把EG添入，那么易得EG分別與AB,AC,BD,DC成異面直線.同理，F(xiàn)H也與它們分別成 異面直線，EG與FH也互為異面直線.每?jī)蓷l異面直線稱 為“一對(duì)”，則共有12對(duì)異面直線.,對(duì)應(yīng)演練,在空間四邊形ABCD中，AB=CD且其所成的角是60，點(diǎn)M,N分別是BC,AD的中點(diǎn).求直線AB與MN所成的角.,【分析】 本題首先要考慮將題目中的直線AB與 CD所成的角是60反映在圖形上 ，故要考慮添加輔 助線，通常取中點(diǎn)將其中的直線進(jìn)行平移，從

14、而得解.,考點(diǎn)五 異面直線所成的角,【解析】取AC的中點(diǎn)P，連結(jié)PM,PN，則有 PMAB，且PM= AB.PNCD，且PN= CD. 又AB=CD且其所成的角是60， PM=PN，MPN=120或60. MPN=60或30，即直線AB與MN所成的角為 60或30.,【評(píng)析】求異面直線所成的角主要有定義法(平移法)和向量法. 利用定義法(平移法)求異面直線所成角的一般步驟為: (1)平移:選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn),平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線,這里的點(diǎn)通常選擇特殊位置的點(diǎn),如線段的中點(diǎn)或端點(diǎn),也可以是異面直線中某一條直線上的特殊點(diǎn). (2)證明:證明所作的角是異面直線所成的角. (3)尋找:在立

15、體圖形中,尋找或作出含有此角的三角形,并解之. (4)取舍:因?yàn)楫惷嬷本€所成角的取值范圍是090,所以所作的角為鈍角時(shí),應(yīng)取它的補(bǔ)角作為異面直線所成的角.,對(duì)應(yīng)演練,如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，DAB=60,對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，PO平面ABCD，PB與平面ABCD所成角為60. (1) 求四棱錐的體積； (2) 若E是PB的中點(diǎn)， 求異面直線DE與PA 所成角的余弦值.,（1）在四棱錐PABCD中， PO平面ABCD， PBO是PB與平面ABCD所成的角， 即PBO=60, 在RtPOB中， BO=ABsin30=1, 又POOB，PO=BOtan60= ,

16、底面菱形的面積S=2 22 =2 ， 四棱錐PABCD的體積 VPABCD= 2 =2.,(2)取AB的中點(diǎn)F，連接EF，DF， E為PB中點(diǎn)，EFPA. DEF為異面直線DE與PA所成角（或其補(bǔ)角）. 在RtAOB中，AO=ABcos30= =OP, 在RtPOA中，PA= ，EF= . 在正三角形ABD和正三角形PDB中，DF=DE= ， 由余弦定理得cosDEF= 異面直線DE與PA所成角的余弦值為 .,1.對(duì)于平面的三個(gè)公理，要深刻理解其含義，并能用符號(hào)準(zhǔn)確地表述. 2.主要題型的解題方法 （1）要證明“線共面”或“點(diǎn)共面”可先由部分直線或點(diǎn)確定一個(gè)平面,再證其余直線或點(diǎn)也在這個(gè)平面內(nèi)（即“納入法”）. （2）要證明“點(diǎn)共線”可將線看作兩個(gè)平面的交線，只要證明這些點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn),根據(jù)公理3可知這些點(diǎn)在交線上，因此共線.,