1、2019 北京高三一模數(shù)學(xué)-圓錐曲線綜合文科（教師版） 【20192019 東城一模文】東城一模文】（19） x2y23 已知A(2,0), P(1, )為橢圓M： 2 2 1(a b 0)上兩點(diǎn)，過點(diǎn)P且斜率為k,k(k 0)的兩條直線與橢 ab2 圓M的交點(diǎn)分別為B,C. （）求橢圓M的方程及離心率； （）若四邊形PABC為平行四邊形，求k的值 a 2, a2, 解：（I）由題意得 1解得 9 1. b 3. a24b2 x2y2 1. 所以橢圓M的方程為 43 又c a2b2 1， c1 . .5分 a2 所以離心率e （II）設(shè)直線PB的方程為y kx m(k 0)， y kx m,

2、222 由 x 2y2 消去 y ，整理得(34k )x 8kmx(4m 12)0. 1 3 4 當(dāng) 0時，設(shè) B(x 1,y1),C(x2,y2)， 4m2124m212 則1x 1 ，即x 1 . 34k234k2 4k 12k3 33 將P(1, )代入y kx m，整理得m k，所以x 1 . 234k 22 12k212k 94k212k 3 12k212k 9 ,). 所以y 1 kx 1 m .所以B( 2222(34k )34k2(34k ) 4k212k 3 12k212k 9 ,). 同理C( 2234k2(34k ) 所以直線BC的斜率kBC 2 y 2 y 1 1 .

3、x 2 x 1 2 1 1 / 1313 又直線PA的斜率kPA 3 0 1 2 k BC ，所以PA/ /BC. 1(2)2 因?yàn)樗倪呅蜳ABC為平行四邊形，所以 PA BC . 314k212k 34k212k 3 所以，解得或.k 1(2) 223 4k23 4k2 1 時，B(2,0)與 2 k A 重合，不符合題意，舍去. 3 . 13分 2 所以四邊形PABC為平行四邊形時，k 【20192019 西城一?！课鞒且荒！浚?0） x2y2 已知橢圓W:1的長軸長為 4，左、右頂點(diǎn)分別為A, B，經(jīng)過點(diǎn)P(1,0)的動直線與橢圓W相交于 4mm 不同的兩點(diǎn)C, D（不與點(diǎn)A, B重合）

4、. （）求橢圓W的方程及離心率； （）求四邊形ACBD面積的最大值； （）若直線CB與直線AD相交于點(diǎn)M，判斷點(diǎn)M是否位于一條定直線上？若是，寫出該直線的方程. （結(jié)論不要求證明） 解：解：（）由題意，得a24m4 , 解得m 1. 1 分 x2 所以橢圓W方程為 y21. 2 分 4 故a 2，b 1，c a2b23. 所以橢圓W的離心率e c3 . 4 分 a2 （）當(dāng)直線CD的斜率k不存在時，由題意，得CD的方程為x1， 代入橢圓W的方程，得C(1, 33 )，D(1,)， 22 又因?yàn)閨 AB| 2a 4，ABCD， 所以四邊形ACBD的面積S 1 | AB|CD|2 3. 6 分 2

5、 2 2 / 1313 當(dāng)直線CD的斜率k存在時，設(shè)CD的方程為y k(x1)(k 0)，C(x 1,y1) ，D(x2,y2)， y k(x1), 2222 y (4k 1)x 8k x4k 40. 7 分聯(lián)立方程 x 2消去，得 2 y 1, 4 4k248k2 由題意，可知0恒成立，則x 1 x 2 2 ，x 1x2 2 . 8 分 4k 14k 1 四邊形ACBD的面積S SABC SABD 11 | AB| y 1 | AB| y 2 | 9 分 22 1 | AB| y 1 y 2 | 2|k(x 1 x 2 )| 2 22 k2(3k21) 2 k (x 1 x 2 ) 4x 1

6、x2 8， 22(4k 1) 設(shè)4k21t，則四邊形ACBD的面積S 2 1 12 3(0,1)， t2tt 1 所以S 2 ( 1)2 4 2 3. t 綜上，四邊形ACBD面積的最大值為2 3. 11 分 （）結(jié)論：點(diǎn)M在一條定直線上，且該直線的方程為x 4. 14 分 【20192019 海淀一?！亢５硪荒！浚?0） x2y2 已知橢圓C : 2 2 1(a b 0)的左頂點(diǎn)為A(2,0)，兩個焦點(diǎn)與短軸一個頂點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形，過 ab 點(diǎn)P(1,0)且與x軸不重合的直線l與橢圓交于M,N不同的兩點(diǎn) (I)求橢圓P的方程； ()當(dāng)AM與MN垂直時，求AM的長； ()若過點(diǎn)P且平行于A

7、M的直線交直線x 5 于點(diǎn)Q，求證：直線NQ恒過定點(diǎn) 2 解：解：（）因?yàn)锳(2,0)，所以a 2 因?yàn)閮蓚€焦點(diǎn)與短軸一個頂點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形， 所以bc 222 又b c a 所以b c 2， 3 3 / 1313 x2y2 所以橢圓方程為1 42 （）方法一：方法一： 設(shè)M(x m ,y m ) k MP y m y ，kAM= m x m 1x m 2 k AM k MP 1 y m y m x 1 x 2 1 m m 22 xm y m1 2 4 x m 2 xm 0 ，（舍） y 0 ym 2 m 所以AM = 6 方法二：方法二： 設(shè)M(x m ,y m )， 因?yàn)锳M與MN垂直

8、， 所以點(diǎn)M在以AP為直徑的圓上， 又以AP為直徑的圓的圓心為( ,0)，半徑為 1 2 31 2 9 2 ，方程為(x ) y 224 1 2 9 2(x ) y mm 24 2 ， 2xy mm1 2 4 x m 2 xm 0 ，（舍） y 0 ym 2 m 所以AM = 6 方法三：方法三： 設(shè)直線AM的斜率為k，l AM : y k(x2)，其中k 0 4 4 / 1313 y k(x 2) 2 x y2 1 2 4 化簡得(1 2k2)x28k2x 8k24 0 8k24 當(dāng)0時，x A x M 21 2k 4k24k2 y得x M ， M 1 2k22k21 顯然直線AM,MN存在

9、斜率且斜率不為 0. 因?yàn)锳M與MN垂直， 所以k MP 4k 22k 1 = 1 24k2k 1 1 2k2 2 得k 12 ，k ，x M 0 22 所以AM = 1k2x M 2 6 （）直線NQ恒過定點(diǎn)(2,0) 設(shè)M(x 1,y1) ，N(x 2 ,y 2 )， 由題意，設(shè)直線MN的方程為x my1， x my 1, 22(m 2)y 2my 3 0， 由 2 得 2 x 2y 4 0 顯然，0，則y 1 y 2 2m3 ，y y 12 m2 2m2 2 因?yàn)橹本€PQ與AM平行，所以kPQkAM y 1 ， x 1 2 則PQ的直線方程為y y 1(x1)， x 1 2 3 y 1

10、3y 1 5 3y 1 5 2 ) 令x ，則y ，即Q( , 2 2(my 1 3)2x 1 22(my 1 3) 5 5 / 1313 y 2 k NQ 3y 1 2(my 1 3)2my 1 y 2 6y 2 3y 1， 5 (my 1 3)(2my 2 3) x 2 2 直線NQ的方程為y y2 2my 1 y 2 6y 2 3y 1(x x 2 ) 2m2y 1 y 2 6my 2 3my 1 9 y 2my 1 y 2 6y 2 3y 1 (2my 1 y 2 6y 2 3y 1)(my2 1) x y 2 2m2y 1 y 2 6my 2 3my 1 92m2y 1 y 2 6m

11、y 2 3my 1 9 2my 1 y 2 6y 2 3y 1 2my 1 y 2 15y 2 3y 1x 2m2y 1 y 2 6my 2 3my 1 92m2y 1 y 2 6my 2 3my 1 9 2my 1 y 2 15y 2 3y 1 2my 1 y 2 6y 2 3y 1 令y 0，得x 因?yàn)?my 1y2 3(y 1 y 2 )，故x 18y 2 2， 9y 2 所以直線NQ恒過定點(diǎn)(2,0). 【20192019 朝陽一模朝陽一模】（20） x2 已知點(diǎn)M (x 0 , y0)為橢圓C : y21上任意一點(diǎn)，直線l : x0 x 2y0y 2與圓(x 1)2 y2 6交于A,

12、B兩點(diǎn)， 2 點(diǎn)F為橢圓C的左焦點(diǎn) （）求橢圓C的離心率及左焦點(diǎn)F的坐標(biāo)； （）求證：直線l與橢圓C相切； （）判斷AFB是否為定值，并說明理由 （）由題意a 2，b 1，c a2b21 所以離心率e c2 ，左焦點(diǎn)F(1,0)4 分 a2 2 x0 222 2y0 2.（）由題知， y 0 1，即x0 2 當(dāng)y 0 0時直線l方程為x 2或x 2，直線l與橢圓C相切 x2 y21, 222 x0)x24x0 x 44y0 0，當(dāng)y 0 0時，由 2得(2y0 x x 2y y 2 0 0 2 0 即x22x0 x 22y0 6 6 / 1313 222 ) 4x0+8y08 0所以 (2x0

13、)24(22y0 故直線l與橢圓C相切8 分 （）設(shè)A(x 1, y1) ，B(x 2 , y2)， 當(dāng)y 0 0時，x 1 x2，y1 y2，x 1 2， 24 0， FAFB (x 1 1)2 y12 (x 1 1)26(x 1 1)2 2x 1 所以FA FB，即AFB 90 22 (x 1) y 6, 222 1)x22(2y0 x0)x210y0 0，當(dāng)y 0 0時，由得(y0 x x 2y y 2 0 0 22 2(2y0 x0)210y0 則x 1 x2，x 1x2 ， 22 1 y01 y0 22 x0 x05x0 4x0 41 y 1y2 2 x 1x2 2 (x 1 x2)

14、 2 2 4y02y0y02 2y0 因?yàn)镕AFB (x 1 1,y1)(x21,y2) x 1x2 x 1 x21 y1y2 2222 4 20y08y0 4x0 2 2y05x0 4x0 4 22 2 2y02 2y0 22 5(x0 2y0)10 0 2 2 2y0 所以FA FB，即AFB 90 故AFB為定值9014 分 【20192019 豐臺一模豐臺一模】（20） 已知橢圓W : x2 2y2 2，直線l 1 : y kx m(km 0)與橢圓W交于A,B兩點(diǎn)，直線l 2 : y kx m與橢圓W交 于C,D兩點(diǎn) （）求橢圓W的離心率； （）證明：四邊形ABCD不可能為矩形 a

15、2 2 2 a 2 解：（）由題知b 1解得. 2 c 1 22a b c 則e c2 ， a2 7 7 / 1313 所以橢圓W的離心率為 2 . 2 （）由于兩直線關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱且橢圓是關(guān)于原點(diǎn)的中心對稱圖形. 不妨設(shè)Ax 1, y1 ,Bx 2 , y 2 ,Cx 1,y1 ,Dx 2 ,y 2 x 1 x 2 . x 1 22y 1 2 2L 則 22 x2 2y 2 2L 22 得2 y 2 y 1 2 x 2 x 1 2 ， y 2 y 1 y 2 y 1 k AB k AD x 2 x 1 x 2 x 1 所以AB不垂直于AD. 所以 四邊形ABCD不可能為矩形. 【2019

16、2019 石景山一模石景山一?！浚?0） 2y 2 y 1 21 1. 22x 2 x 1 2 x2y21 已知橢圓C: 2 2 1(a b 0)的離心率為，右焦點(diǎn)為F(c,0)，左頂點(diǎn)為A，右頂點(diǎn)B在直線l:x2 ab2 上 （）求橢圓C的方程； （）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上異于A，B的點(diǎn)，直線AP交直線l于點(diǎn)D，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動時，判斷以BD為直徑的圓與 直線PF的位置關(guān)系，并加以證明 解：（）依題可知B(a， 0)，a2 因?yàn)閑 c1 ， a2 所以c 1b 3 x2y2 故橢圓C的方程為1 43 （）以BD為直徑的圓與直線PF相切 證明如下：由題意可設(shè)直線AP的方程為y k(x 2)(k 0) （2

17、， 4k)，BD中點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2， 2k)，則點(diǎn)D坐標(biāo)為 y k(x 2), 由 2 得 x y2 1 3 4 (34k2)x216k2x16k212 0 8 8 / 1313 16k212 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0, y0)，則2x 0 23 4k 68k212k 所以x0，y k(x 2) 00 34k234k2 因?yàn)辄c(diǎn)F坐標(biāo)為(1, 0)， 當(dāng)k 13 時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1, )，直線PF 的方程為x 1， 22 點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2, 2) 此時以BD為直徑的圓(x2) (y 1) 1與直線PF相切 22 當(dāng)k 1y 0 4k 時，直線PF的斜率k PF 2x 114k2 0 4k 14k2

18、 所以直線PF的方程為y y 1 0(x1),即x 24k14k 故點(diǎn)E到直線PF的距離 14k21 4k2 |22k 1| 4k2 d |2k | 2214k 2 1 4k 21()() 4k4k （或直線PF的方程為 4k4k x y 0, 14k214k2 故點(diǎn)E到直線PF的距離 d 8k4k 2k 14k214k2 16k2 1 (14k2)2 2k 8k3 1 4k2 2 | k |） 21 4k |1 4k2| 又因?yàn)锽D 2R 4k，故以BD為直徑的圓與直線PF相切 綜上得，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動時，以BD為直徑的圓與直線PF相切 解法二: （）以BD為直徑的圓與直線PF相切 9 9 / 1

19、313 22x 0 y 0證明如下: 設(shè)點(diǎn)P(x 0 ,y 0 ),則1(y 0 0) 43 當(dāng)x01時,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1, )，直線PF的方程為x 1， 點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2, 2) ， 此時以BD為直徑的圓(x2) (y 1) 1與直線PF相切， 22 3 2 當(dāng)x 1時直線AP的方程為y y 0(x 2)， x 0 2 點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2, 4y 0 2y 0 2y 0),BD中點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2,),故| BE| x 0 2x 0 2x 0 2 y 0, x 0 1 直線PF的斜率為k PF 故直線PF的方程為y y 0 x 1 (x1),即x0y 1 0, x 0 1y 0 |2 x 0 1

20、2y 01| y 0 x 0 2 1( x 0 1 2) y 0 所以點(diǎn)E到直線PF的距離d | 2y 0| BE | x 0 2 故以BD為直徑的圓與直線PF相切 綜上得，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動時，以BD為直徑的圓與直線PF相切 【20192019 懷柔一模懷柔一?！浚?9） x2y2 已知橢圓E: 2 2 1(a b 0)的右焦點(diǎn)為F(1,0)，點(diǎn) B(0,b)滿足| FB | 2 ab （）求橢圓E的方程； （）過點(diǎn)F作直線l交橢圓E于M、N兩點(diǎn)，若BFM與BFN的面積之比為2，求直線l的方程 x2y2 解 （） 橢圓E: 2 2 1(a b 0)的右焦點(diǎn)為F (1,0)，點(diǎn)B(0,b)滿足| FB

21、 | 2， ab 則 1b 2，解得b 2 2 3(b 0). 由公式c2 a2b2，得a 13 4,a 2(a 0) 1010 / 1313 所以 a 2, b 3. x2y2 1-5分 所以橢圓E的方程為 43 （）直線 l 的斜率不存在時，F(xiàn)M 設(shè)直線 l 的方程為 y=k(x-1), FM,S BFM S BFN ,不符合題意； 由 yk(x 1) x2 4 y2 3 1 得，（3+4k 2）x2 8k2x 4k2 12 0 設(shè) M(x 1y1 ),N(x 2 ,y 2 ), 0恒成立。 x 1 x 2 x 1x2 8k 3 4k2 2 4k2 12 23 4k 由 S BFM 2，得

22、| FM | 2| FN |， 即FM 2NF. S BFN 可得(x 1 1,y 1) 2(1 x2 ,y 2 )， 即x1 2x 2 3 由 得，x 1 4k2 94k2 9 ,x 2 3 4k23 4k2 4k2 94k2 94k2 12 . 代入 得， 3 4k23 4k23 4k2 解得，k 55 (x1). -13 分 所以，所求直線l的方程為l : y 22 【20192019 延慶一模延慶一?！浚?0） x2y2 已知橢圓G: 2 1，左、右焦點(diǎn)分別為(c,0)、(c,0)，若點(diǎn)M(c,1)在橢圓上， a2 （）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （）若直線l : 2x2ym 0(m 0)與橢圓G交于兩個不同的點(diǎn)A，B，直線MA，MB與x軸分別交于 P，