1、8 最小二乘估計,1.最小二乘法的定義與應用 (1)定義: 如果有n個點(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),可以用下面的表達 式來刻畫這些點與直線y=a+bx的接近程度: _ _.使得上式達到_的直 線y=a+bx就是我們所要求的直線,這種方法稱為最小二乘法.,y1-(a+bx1)2+,y2-(a+bx2)2+yn-(a+bxn)2,最小值,(2)應用: 利用最小二乘法估計時,要先作出數(shù)據(jù)的_圖.如果_ 呈現(xiàn)出線性關系,可以用最小二乘法估計出線性回歸方程;如果 _呈現(xiàn)出其他的曲線關系,則要利用其他的工具進行擬合.,散點,散點圖,散點圖,2.線性回歸方程 (1)回歸:一種統(tǒng)計方法,它

2、通過計算變量之間的_進而 估計它們之間的聯(lián)系公式. (2)用 表示 用 表示 由最小二乘法可以求得 b=_,a=_,這樣得到的直線 方程y=a+bx稱為線性回歸方程,a,b是線性回歸方程的_.,相關系數(shù),系數(shù),1.判一判(正確的打“”,錯誤的打“”) (1)線性回歸方程能代表線性相關的兩個變量之間的關系. ( ) (2)任一組數(shù)據(jù)都有線性回歸方程. ( ) (3)線性回歸方法就是由樣本點去尋找一條貼近這些樣本點的直線的數(shù)學方法. ( ),【解析】 (1)正確,由線性回歸方程的概念可知正確. (2)錯誤,當樣本點的分布不是在直線附近時,沒有線性回歸方程. (3)正確,由線性回歸的定義知正確. 答

3、案:(1) (2) (3),2.做一做(請把正確的答案寫在橫線上) (1)對于線性回歸方程y=2.75x+9,當x=4時,y的估計值是_. (2)散點圖中n個點的中心是_.,【解析】(1)將x=4代入y=2.75x+9得y的估計值為20. 答案:20 (2)因為 所以n個點的中心是 答案:,【要點探究】 知識點 對最小二乘法和線性回歸方程的理解 1.最小二乘法中“二乘”的含義 “二乘”指的是用平方來度量觀測點與估計點的遠近(在古漢語中“平方”稱為“二乘”).,2.關于線性回歸方程的四點說明 (1)求線性回歸方程的前提條件:當兩變量線性相關時,求出的 線性回歸方程才有實際意義. (2)數(shù)據(jù)越多,

4、擬合效果越好,相關程度越高,估計越精確. (3)選擇的數(shù)據(jù)不同,得到的回歸方程也可能不同,這是由樣本 的隨機性造成的. (4)線性回歸方程過定點,3.最小二乘法的數(shù)據(jù)擬合 用最小二乘法進行數(shù)據(jù)擬合時給出逼近直線,其特點是:所求的逼近直線不一定經過這些離散點,但要保證這條直線與所有點的貼近程度最大.,【知識拓展】利用線性回歸方程對總體進行估計 根據(jù)所求的線性回歸方程,我們可以進行預測,并對總體進行估計. 若已知線性回歸方程y=a+bx,則在x=x0處的估計值為y0=a+bx0,這個值是一個預測值,不是精確值.雖然這是一個預測值且具有隨機性,但由于是根據(jù)統(tǒng)計規(guī)律得到的,因而所得結論正確的可能性很大

5、,所以我們可以利用線性回歸方程進行預測.,【微思考】 (1)最小二乘法概念中的“最小”指的是什么? 提示:“最小”是指樣本數(shù)據(jù)的點與直線y=a+bx的接近程度 yi-(a+bxi)2達到最小.,(2)用什么樣的方法刻畫點與直線的“距離”會方便有效? 提示:設直線方程為y=a+bx,樣本點為(xi,yi). 方法一:點到直線的距離公式 方法二:yi-(a+bxi)2. 顯然方法二能有效地表示點(xi,yi)與直線y=a+bx的“距離”, 而且比方法一更方便計算,所以我們用它來表示二者之間的接 近程度.,【即時練】 1.變量y與x之間的線性回歸方程 ( ) A.表示y與x之間的函數(shù)關系 B.表示y

6、和x之間的不確定關系 C.反映y和x之間真實關系的形式 D.反映y與x之間的真實關系達到最大限度的吻合 【解析】選D.線性回歸方程反映y與x之間的真實關系達到最大限度的吻合.,2.設有一個線性回歸方程為y=2-1.5x,則變量x增加一個單位 時 ( ) A.y平均增加1.5個單位 B.y平均增加2個單位 C.y平均減少1.5個單位 D.y平均減少2個單位 【解析】選C.y2-y1=2-1.5(x+1)-2+1.5x=-1.5.,3.某產品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表 根據(jù)上表可得線性回歸方程y=bx+a中的b為9.4,據(jù)此模型預測廣告費用為6萬元時的銷售額為_萬元.,【解析】由表可計算

7、 因為點 在回歸直線y=bx+a上,且b為9.4,所以42=9.4 +a,解得a=9.1, 故線性回歸方程為y=9.4x+9.1,令x=6得y=65.5(萬元). 答案:65.5,【題型示范】 類型一 求線性回歸方程 【典例1】 (1)為了解兒子身高與其父親身高的關系,隨機抽取5對父子的身高數(shù)據(jù)如下: 則y對x的線性回歸方程為 ( ) A.y=x-1 B.y=x+1 C.y=88+ x D.y=176,(2)從某一行業(yè)隨機抽取12家企業(yè),它們的生產量與生產費用的數(shù)據(jù)如表所示:,繪制生產量x和生產費用y相應數(shù)據(jù)對應的散點圖. 如果兩個變量之間是線性相關關系,請用最小二乘法求出其線性回歸方程. 如

8、果一個企業(yè)的生產量是120臺,請預測它的生產費用.,【解題探究】1.題(1)中五個樣本點的回歸中心是什么? 2.解答題(2)的關鍵是什么?什么地方易出現(xiàn)錯誤? 【探究提示】1.回歸中心為 即(176,176). 2.(1)解答題(2)的關鍵在于正確地理解求線性回歸方程的步驟,正確地套用有關公式. (2)解答題(2)易出現(xiàn)的錯誤是計算出錯,應注意準確地使用數(shù)據(jù)及計算公式,仔細認真地進行計算.,【自主解答】(1)選C.因為 又y對x的線性回歸方程表示的直線恒過點 所以將(176,176)代入A,B,C,D中檢驗知選C.,(2)散點圖如圖所示:,根據(jù)散點圖可知,兩個變量x和y之間的關系是線性相關關系

9、.下面用最小二乘法求線性回歸方程:,設所求的線性回歸方程是y=a+bx, 則b 0.42, a= 160.1-0.4285.42124.22, 所求的線性回歸方程是y=0.42x+124.22.,在線性回歸方程y=0.42x+124.22中,常數(shù)項124.22可以認為是固定費用,它不隨生產量的變化而變化;0.42可以認為是可變費用的增長系數(shù),即每增加一個單位的生產量就增加0.42個單位的費用. 將x=120代入線性回歸方程得 y=0.42120+124.22=174.62,即如果一個企業(yè)的生產量是120臺,它的生產費用約為174.62萬元.,【延伸探究】若題(2)題干不變,根據(jù)所求的線性回歸方

10、程,計算當x=130時的生產費用,并與實際生產費用比較大小. 【解析】當x=130時, y=0.42130+124.22=178.82175, 即當x=130時,預測生產費用約是178.82萬元,比實際生產費用175萬元多3.82萬元.,【方法技巧】用線性回歸方程進行數(shù)據(jù)擬合的一般步驟 (1)把數(shù)據(jù)列成表格. (2)作散點圖. (3)判斷是否線性相關. (4)若線性相關,求出系數(shù)b,a的值(一般也列成表格的形式,用計算器或計算機計算). (5)寫出線性回歸方程y=a+bx.,【變式訓練】某連鎖經營公司所屬5個零售店某月的銷售額和利潤額資料如表 (1)用最小二乘法計算利潤額y對銷售額x的線性回歸

11、方程. (2)當銷售額為4千萬元時,估計利潤額的大小.,【解析】(1)根據(jù)題干中表格可計算出 其他數(shù)據(jù) 如表,進而可求得b= a=3.4- 6=0.4, 所以利潤額y對銷售額x的線性回歸方程為:y=0.5x+0.4. (2)當銷售額為4千萬元時,利潤額為: y=0.54+0.4=2.4(百萬元).,【誤區(qū)警示】求線性回歸方程的關鍵是計算直線的斜率和截距的估計值,往往因計算不準導致錯誤.,【補償訓練】某車間為了規(guī)定工時定額,需要確定加工零件所花費的時間,為此做了四次試驗,得到的數(shù)據(jù)如下: (1)在給定的坐標系中畫出表中數(shù)據(jù)的散點圖. (2)求出y關于x的線性回歸方程y=bx+a,并 在坐標系中畫

12、出回歸直線. (3)試預測加工10個零件需要多少小時?,【解析】(1)散點圖如圖.,(2)由表中數(shù)據(jù)得: 其他數(shù)據(jù)如表,進而可求得b= =0.7, 所以a=1.05,所以y=0.7x+1.05, 回歸直線如圖所示.,(3)將x=10代入回歸直線方程, 得y=0.710+1.05=8.05, 所以預測加工10個零件需要8.05小時.,類型二 線性回歸方程的應用 【典例2】 (1)為了解籃球愛好者小李的投籃命中率與打籃球時間之間的關系,下表記錄了小李某月1號到5號每天打籃球時間x(單位:小時)與當天投籃命中率y之間的關系: 小李這5天的平均投籃命中率為_;用線性回歸分析的方法,預測小李該月6號打6

13、小時籃球的投籃命中率為_.,(2)某工廠為了對新研發(fā)的一種產品進行合理定價,將該產品按事先擬定的價格進行試銷,得到如下數(shù)據(jù): 求線性回歸方程y=bx+a,其中,b=-20, 預計在今后的銷售中,銷量與單價仍然服從中的關系,且該產品的成本是4元/件,為使工廠獲得最大利潤,該產品的單價應定為多少元?(利潤=銷售收入-成本),【解題探究】1.題(1)中從表中數(shù)據(jù)可以判斷變量x,y有怎樣的關系? 2.題(2)中,線性回歸方程y=a+bx中的系數(shù)b的含義是什么? 【探究提示】1.由表中的數(shù)據(jù)畫散點圖知,兩變量具有線性相關關系. 2.在線性回歸方程y=a+bx中b的含義容易理解成y增加的單位數(shù),而實際上,

14、它代表x每增加一個單位,y的增加數(shù)的平均數(shù)為b個單位,而不是y增加b個單位.,【自主解答】(1)由表中數(shù)據(jù)得 其他數(shù)據(jù)如表,進而可求得 所以線性回歸方程為y=0.01x+0.47, 則當x=6時,y=0.53. 所以預測小李該月6號打6小時籃球的投籃命中率為0.53. 答案:0.5 0.53,(2)由題可得, 所以a= =80+208.5=250, 從而線性回歸方程為y=-20 x+250. 設工廠獲得的利潤為L元,依題意得 L=x(-20 x+250)-4(-20 x+250) =-20 x2+330 x-1000=-20(x-8.25)2+361.25. 當且僅當x=8.25時,L取得最大

15、值, 故當單價定為8.25元時,工廠可獲得最大利潤.,【方法技巧】線性回歸分析的三個步驟 (1)判斷兩個變量是否線性相關,可以利用經驗,也可以畫散點圖. (2)求線性回歸方程,注意運算的正確性. (3)根據(jù)回歸直線進行預測估計,估計值不是實際值,兩者會有一定的誤差.,【變式訓練】(2014西安高一檢測)某研究機構對高三學生的記憶力x和判斷力y進行統(tǒng)計分析,得下表數(shù)據(jù) (1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖. (2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程:y=bx+a. (3)試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程,預測記憶力為9的同學的判斷力.,【解析】(1)散點圖如圖:,(2)由題干中表

16、格得 其他數(shù)據(jù)如表,b= a= =4-0.79=-2.3. 故線性回歸方程為y=0.7x-2.3. (3)由線性回歸方程預測,記憶力為9的同學的判斷力約為4.,【補償訓練】(2013福建高考)已知x與y之間的幾組數(shù)據(jù) 如表: 假設根據(jù)上表數(shù)據(jù)所得線性回歸直線方程為y=bx+a,若某同學 根據(jù)上表中的前兩組數(shù)據(jù)(1,0)和(2,2)求得的直線方程為y= bx+a,則以下結論正確的是( ) A.bb,aa B.bb,aa D.ba.,【規(guī)范解答】線性相關關系的判斷及線性回歸方程的求解 【典例】(12分)假設關于某設備使用年限x(年)和所支出的維修費用y(萬元)有如下統(tǒng)計資料:,(1)請畫出上表數(shù)據(jù)

17、的散點圖,判斷它們是否具有線性相關關系;若線性相關,用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程. (2)試根據(jù)(1)求出的線性回歸方程,預測使用年限為10年時,維修費用是多少?,【審題】抓信息，找思路,【解題】明步驟，得高分,【點題】警誤區(qū),促提升 失分點1:在解答過程中,處散點圖的畫法中,橫、縱坐標的刻度選取不當,不易觀察散點分布,會丟失2分;或樣本數(shù)據(jù)描點出現(xiàn)錯誤,也會失2分. 失分點2:在解答過程中,處的計算都很復雜,易出錯,若出錯,在考試中最多得4分. 失分點3:在解答過程中,由線性回歸方程計算得到的12.38萬元只是一個預測值,因此若最后處回答中無“約”字,會失掉1分.,【悟題】提措施,導方向 1.正確畫圖 在解題中注意運用數(shù)形結合法,正確地畫出圖形.如本例(1)可借助平行線確定點. 2.公式的應用 體會理解公式的作用,在記憶公式的同時,加深理解公式的特點和規(guī)律.如本例中把相關的數(shù)據(jù)代入相應的計算公式求解.,【類題試解】某化工廠的原料中,有A和B兩種有效成分,現(xiàn)隨機抽取