1、5.2 中心極限定理 大數(shù)定律討論的是多個(gè)隨機(jī)變量的算術(shù)平均的漸近性質(zhì)現(xiàn)在我們來(lái)討論獨(dú)立隨機(jī)變量和的極限分布先給出一個(gè)例子,第5章 大數(shù)定律和中心極限定理,【例5-4】誤差分析是人們經(jīng)常遇到且感興趣的隨機(jī)變量，大量的研究表明，誤差是由大量微小的相互獨(dú)立的隨機(jī)因素疊加而成的現(xiàn)在考慮一位操作工在機(jī)床上加工機(jī)械軸，要求其直徑應(yīng)符合規(guī)定要求，但加工后的機(jī)械軸與規(guī)定要求總會(huì)有一定誤差，這是因?yàn)樵诩庸r(shí)受到一些隨機(jī)因素的影響，它們是： (1) 在機(jī)床方面有機(jī)床振動(dòng)與轉(zhuǎn)速的影響； (2) 在刀具方面有裝配與磨損的影響；,5.2 中心極限定理,(3) 在材料方面有鋼材的成分、產(chǎn)地的影響； (4) 在操作者方面

2、有注意力集中程度、當(dāng)天的情緒的影響； (5) 在測(cè)量方面有度量工具誤差、測(cè)量技術(shù)的影響； (6) 在環(huán)境方面有車間溫度、濕度、照明、工作電壓的影響； (7) 在具體場(chǎng)合還可列出許多其他影響因素,5.2 中心極限定理,由于這些因素很多，每個(gè)因素對(duì)加工精度的影響都是很微小的，而且每個(gè)因素的出現(xiàn)又都是人們無(wú)法控制的、隨機(jī)的、時(shí)有時(shí)無(wú)、時(shí)正時(shí)負(fù)的這些因素的綜合影響最終使每個(gè)機(jī)械軸的直徑產(chǎn)生誤差，若將這個(gè)誤差記為Yn，那么Yn是隨機(jī)變量，且可以將Yn看作很多微小的隨機(jī)波動(dòng)X1，X2，Xn之和，即Yn = X1 + X2 + Xn，這里n是很大的，那么我們關(guān)心的是，當(dāng)n 時(shí)，Yn的分布是什么？,5.2 中

3、心極限定理,當(dāng)然，我們可以考慮用卷積公式去計(jì)算Yn的分布，但這樣的計(jì)算是相當(dāng)復(fù)雜的、不現(xiàn)實(shí)的，而且也是不易實(shí)現(xiàn)的有時(shí)即使能寫出Yn的分布，但由于其形式過(guò)于復(fù)雜而無(wú)法使用 本節(jié)研究在相當(dāng)一般的條件下獨(dú)立隨機(jī)變量的和的分布收斂于正態(tài)分布的問(wèn)題,5.2 中心極限定理,5.2.1 獨(dú)立同分布的中心極限定理 定理5.5（獨(dú)立同分布的中心極限定理）設(shè)X1，X2,Xn,為相互獨(dú)立、服從同一分布的隨機(jī)變量序列, 且 D(Xi) = 2 0（i = 1,2,）,則對(duì)于任意x，有 該定理我們通常稱之為林德伯格-萊維(Lindeberg-Levy)定理，該定理是這兩位學(xué)者在上世紀(jì)20年代證明的，這里證明從略,5.2

4、 中心極限定理,(5.6),我們來(lái)看一下(5.6)式含義：若記 記 為Yn的分布函數(shù)，則(5.6)式可以寫成 這表明，當(dāng)充分大時(shí)，Yn近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，1)，即 從而當(dāng)n充分大時(shí)， (5.7),5.2.1 獨(dú)立同分布的中心極限定理,(5.7) (5.7)式說(shuō)明，不論X1，X2，Xn服從什么分布，只要滿足定理的條件,當(dāng)n充分大時(shí),就可以把 作為正態(tài)隨機(jī)變量處理，這在理論研究和實(shí)際計(jì)算上都非常重要 我們將上述結(jié)論稍作變形，還可以得到定理結(jié)論的另外表現(xiàn)形式,5.2.1 獨(dú)立同分布的中心極限定理,推論5.1 設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X1，X2，Xn服從同一分布，其均值為，方差為2 0，則當(dāng)n充分

5、大時(shí) 即 (5.8) 其中 由推論可知，無(wú)論X1，X2，Xn是服從什么分布，其算術(shù)平均值當(dāng)n充分大時(shí)總是近似地服從正態(tài)分布這一結(jié)果是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中大樣本理論的基礎(chǔ),5.2.1 獨(dú)立同分布的中心極限定理,【例5.5】用機(jī)器包裝味精，每袋凈重為隨機(jī)變量，期望值為100克，標(biāo)準(zhǔn)差為10克，一箱內(nèi)裝200袋味精,求一箱味精凈重大于20400克的概率 解：設(shè)箱中第i袋味精的凈重為Xi克， 是200個(gè)相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量. 且 由定理5.5 即,5.2.1 獨(dú)立同分布的中心極限定理,所以,5.2.1 獨(dú)立同分布的中心極限定理,5.2.2 二項(xiàng)分布的正態(tài)近似 現(xiàn)在將定理5.5應(yīng)用于服從0-1分布的隨機(jī)變量，

6、即設(shè)X1，X2，Xn，相互獨(dú)立，且都服從參數(shù)為的0-1分布： PXi = k = pk(1 p)1- k，k = 0，1；i = 1，2， 此時(shí)， 又記 ，則nB(n，p)此時(shí)定理5.5的結(jié)論可寫成,于是，有下述定理： 定理5.6（棣莫弗拉普拉斯定理）設(shè)n（n = 1，2，）服從參數(shù)為n，p(0p1)的二項(xiàng)分布，則對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，有 這個(gè)定理表明，當(dāng)n充分大時(shí)，服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量n的標(biāo)準(zhǔn)化變量近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 即有,5.2.2 二項(xiàng)分布的正態(tài)近似,從而 即當(dāng)n充分大時(shí)，服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量n近似服從正態(tài)分布,5.2.2 二項(xiàng)分布的正態(tài)近似,一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)n較大時(shí)，二項(xiàng)分布的概率計(jì)算起來(lái)

7、非常復(fù)雜，這時(shí)我們就可以用正態(tài)分布來(lái)近似二項(xiàng)分布，使概率計(jì)算得到簡(jiǎn)化即對(duì)于任意正數(shù)n1和n2，有,5.2.2 二項(xiàng)分布的正態(tài)近似,(5.10),【例5.6】設(shè)電路供電網(wǎng)內(nèi)有10000盞相同的燈，夜間每一盞燈開著的概率為0.8，假設(shè)各燈的開關(guān)彼此獨(dú)立，計(jì)算同時(shí)開著的燈數(shù)在7800與8200之間的概率 解：記同時(shí)開著的燈數(shù)為X，它服從二項(xiàng)分布B(10000，0.8)，于是由定理5.6，有,5.2.2 二項(xiàng)分布的正態(tài)近似,【例5.7】某單位內(nèi)部有260部電話分機(jī)，每個(gè)分機(jī)有4%的時(shí)間要與外線通話，可以認(rèn)為每個(gè)電話分機(jī)用不同的外線是相互獨(dú)立的，問(wèn)總機(jī)需備多少條外線才能以95%的概率滿足每個(gè)分機(jī)在用外線

8、時(shí)不用等候? 解：設(shè)表示同時(shí)使用外線的分機(jī)數(shù)，則B(260，p)，其中p = 0.04根據(jù)題意應(yīng)確定最小的使 成立由定理5.6，有,5.2.2 二項(xiàng)分布的正態(tài)近似,令 查得 故取 于是 也就是說(shuō)，至少需要16條外線才能95%滿足每個(gè)分機(jī)在用外線時(shí)不用等候,5.2.2 二項(xiàng)分布的正態(tài)近似,【吸煙率調(diào)查問(wèn)題解答】 某衛(wèi)生組織為確定某城市成年男子的吸煙率p，將被調(diào)查的成年男子中吸煙的頻率作為p的估計(jì)，現(xiàn)在要保證有90%以上的把握，使得調(diào)查對(duì)象吸煙者的頻率與該城市成年男子的吸煙率p之間的差異不大于5%，問(wèn)至少要調(diào)查多少對(duì)象？ 解：設(shè)共調(diào)查n個(gè)成年男子，記 則Xi獨(dú)立同分布，且又記n個(gè)調(diào)查對(duì)象中，吸煙的人數(shù)為X，則有,由大數(shù)