1、試卷題型： 一、填空題（每小題2分，共12分） 二、單項選擇題（每小題3分，共12分） 三、名詞解釋（每小題4分，共8分） 四、證明題（每小題8分，共32分） 五、計算題（每小題12分，共36分）,試卷類型：開卷,教 材：,梁昆淼編寫的數(shù)學物理方法第四版,內(nèi) 容,第一篇 復變函數(shù)論,第二篇 數(shù)學物理方程,數(shù) 學 物 理 方 法,第一章 復變函數(shù),1、復數(shù)的定義,一、復數(shù),模：,輻角：,主輻角：,共軛復數(shù):,三角式,指數(shù)式,代數(shù)式,*復數(shù)三種表示式之間的轉(zhuǎn)換,2、復數(shù)的運算:,加、減、乘、除、乘方、開方,(1)、加法和減法,(2)、乘法和除法,(2)、乘法和除法,兩復數(shù)相除就是把模數(shù)相除, 輻角

2、相減。,兩復數(shù)相乘就是把模數(shù)相乘, 輻角相加;,(3) 復數(shù)的乘方和開方,復數(shù)的乘、除、乘方和開方運算，采用三角式 或指數(shù)式往往比代數(shù)式來得方便。,棣莫弗公式：,二、六種初等復變函數(shù)：,1. 冪函數(shù),4、雙曲函數(shù),5、根式函數(shù),周期為2i,6、對數(shù)函數(shù),例1：已知 ，則 。,例2：復數(shù)ez 的模為 ，輻角為 .,三、解析函數(shù),2、解析函數(shù)性質(zhì)：,3、構(gòu)建解析函數(shù)：,給出一個二元調(diào)和函數(shù)作為解析函數(shù)的實部 或虛部，通過CR條件求出該解析函數(shù)的虛部或 實部，從而寫出這個解析函數(shù)。, 算偏導, u或v 的全微分, 求積分, 表成,例 3：已知解析函數(shù) 的實部 ，求虛部和這個解析函數(shù)。,根據(jù)C-R條件

3、，,解：,例4：已知解析函數(shù) f (z)的虛部 ， 求實部 和這個解析函數(shù) f (z) 。,解：,提示：當給定的 u 或 v 中含有因子x2+y2，這種情 況下采用極坐標處理比較方便，,即令 。,將上面第二式對 積分， 視作參數(shù)，有,其中 為 的任意函數(shù)。,將上式兩邊對 求導，,第二章 復變函數(shù)積分,一、復變函數(shù)積分的性質(zhì)：,P23,二、計算復變函數(shù)回路積分,1、單通區(qū)域柯西定理：P24,2、復通區(qū)域柯西定理：P25,3、重要公式應用（P28）,4、柯西公式,高階導數(shù)的柯西公式,當被積函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)有奇點時的回路積 分，可利用柯西公式來計算,(1)把被積函數(shù)寫成 的形式，f(z)在積 分區(qū)域

4、上解析, 為積分區(qū)域內(nèi)一點；,(2) 利用柯西公式 來計算積分.,例2下列積分不為零的是 ( )。,C,第三章 冪級數(shù)展開,一、收斂半徑,方法1：比值判別法,方法2 ：根值判別法,收斂圓：,收斂域：,例1,求冪級數(shù) 的收斂圓.,解,收斂圓:,解:,例2,冪級數(shù) 的收斂域。,收斂域:,二、把圓域或環(huán)域或某一點的鄰域上解析函數(shù)展 成冪級數(shù),根據(jù)解析函數(shù)泰勒級數(shù)和洛朗級數(shù)展開的唯一性，一般可利用熟知的泰勒展開式，通過變量變換，結(jié)合級數(shù)的四則運算、逐項求導和積分、分解成最簡分式等方法去展開 。,間接展開法：,常見函數(shù)的泰勒展開式:,解：,解：,奇點名稱,可去奇點,極點,本性奇點,不含負冪項,含無限個負

5、冪項,含有限個負冪項,的洛朗級數(shù),極限性質(zhì),三、有限遠孤立奇點分類及其類型判定,極限判定法來判定可去奇點，極點，本性奇點。,幾個名詞的定義：孤立奇點，非孤立奇點，可去奇點， m階極點，本性奇點,設函數(shù) f(z)在回路 l 所圍區(qū)域 B上除有限個孤 立奇點b1，b2，bn外解析，在閉區(qū)域 上除b1， b2，bn外連續(xù)，則f(z)沿l正向積分 之值 等于f(z)在l所圍區(qū)域內(nèi)各奇點的留數(shù)和的2 i倍.,左邊的積分是沿l 的正向進行的；,注意:,右邊的奇點是指l 所圍區(qū)域內(nèi)的，并非是f(z)所有的奇點。,第四章 留數(shù)定理,一、留數(shù)定理：P52,二、計算留數(shù),各孤立奇點留數(shù)的計算公式,奇點類型,可去奇

6、點,0,m階極點,一階極點,普遍公式,本性奇點,極點階數(shù)判定,法一,把極點階數(shù)估計得過高,n就是極點的階數(shù),把極點階數(shù)估計得過低,(nm),(n=m),(nm),法二,零點和極點的關(guān)系,若z = z0是 f(z)的m階零點，則z = z0必是 的 m階極點。,三、留數(shù)定理的應用,1、計算閉合回路積分；,例1,解：,，其奇點為：z1=4, z2=2, z3=1,只有單極點z2=2, z3=1 在積分回路內(nèi)。,類型一：,類型二：,2、計算三種類型實變函數(shù)定積分；,類型三：,解：,且其留數(shù)為,只有單極點 在圓 內(nèi)，,解：,所以,明顯，只有 在上半平面，且為 f (z) 的一階極點，因此,解：,有兩個

7、二階極點 ，,其中 在上半平面，,P61 例7,第五章 傅里葉變換,一、傅里葉級數(shù),1、周期函數(shù)(T=2l)的傅里葉展開,一般周期函數(shù)：,(5.1.3)、(5.1.5)；P88,奇函數(shù)：,(5.1.8)、(5.1.9)； P90,偶函數(shù)：,(5.1.10)、(5.1.11)；P90,傅里葉正弦級數(shù),傅里葉余弦級數(shù),傅里葉級數(shù),2、定義在有限區(qū)間(0,l)上的函數(shù)的傅里葉展開,對函數(shù)f(x)的邊界（區(qū)間的端點x=0, x=l）上的行為提出 限制，即滿足一定的邊界條件，這常常就決定了如何延拓。,(1)、邊界條件為f(0)=0,f(l)=0,應延拓成以2l為周期的奇函數(shù),(奇延拓),(2)、邊界條件

8、為,應延拓成以2l為周期的偶函數(shù),(偶延拓),(3)、邊界條件為,(4)、邊界條件為,又根據(jù)邊界條件f (l)=0 ，應將函數(shù)f(x) 對區(qū)間(0,l)的端點x=l作奇延拓，,然后以4l為周期向整 個實軸延拓，延拓以后的函數(shù)是以4l為周期的偶函數(shù)。,根據(jù)邊界條件 應將函數(shù)f(x)對區(qū)間(0,l)的端點 x=0作偶延拓。,復數(shù)形式的傅里葉積分:,二、傅里葉積分,f(x),非周期函數(shù),x(-,),可以寫成對稱的形式:,三、函數(shù),1、 函數(shù)定義,2、 函數(shù)性質(zhì),挑選性：,3、 函數(shù)的傅里葉積分,滿足下面兩個條件:,的函數(shù)( x- x0)稱為函數(shù)。,(1),(2),定解問題,泛定方程,定解條件,初始條

9、件:說明物理現(xiàn)象初始狀態(tài)的條件,邊界條件:說明邊界上的約束情況的條件,波動方程,輸運方程,穩(wěn)定場方程,第七章 數(shù)學物理定解問題,銜接條件,初始條件：,給出某一初始時刻整個系統(tǒng)的已知狀態(tài)。,如：,不需要初始條件,一般地說，初始條件的個數(shù)等于數(shù)理方程所含有 的對時間最高階偏導數(shù)的階數(shù)。,(1)、桿或弦兩端固定,常見的邊界條件：,邊界條件：,給出系統(tǒng)的邊界在各個時刻的已知狀態(tài)。,(2)、桿兩端自由,(3)、桿的兩端保持恒溫T,(4)、兩端絕熱,(5)、兩端有熱流強度為f(t)的熱流流出,l,f(t),f(t),在x=0端:,在x=l端:,同理得，兩端有熱流強度為f(t)的熱流流入，則,數(shù)學物理定解問

10、題的適定性:,(1) 解的存在性,看所歸結(jié)出來的定解問題是否有解；,(2) 解的唯一性,看是否只有一個解,(3) 解的穩(wěn)定性,當定解問題的自由項或定解條件有微小變化時， 解是否相應地只有微小的變化量,定解問題解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性統(tǒng)稱為定解問題的適定性.,解：弦僅在x0處受策動力作用，故其定解問題為：,例1：長為l的均勻弦，兩端x=0和x=l固定，在點x0(0 x0l)受諧變力F0sint的作用而作微小振動，試寫出其定解問題。,解定解問題三步曲：,（1）寫出正確的定解問題；,（2）邊界條件齊次化；,（3）求解傅氏級數(shù)法或分離變數(shù)法.,第八章 分離變數(shù)法,分離變數(shù)法,齊次的振動方程和輸運方程

11、,齊次的邊界條件,傅里葉級數(shù)法,齊次或非齊次的振動方程和輸運方程,齊次的邊界條件,一、分離變數(shù)法解題步驟,(1) 對齊次方程和齊次邊界條件分離變量；,(2) 解關(guān)于空間因子的常微分方程的本征值問題；,(3)求其它常微分方程的解，與本征函數(shù)相乘，得 到本征解。,(4) 迭加所有本征解，由初始條件或非齊次邊界條件 確定迭加系數(shù)，而最后得到所求定解問題的解。,例1：用分離變數(shù)法求定解問題,先以分離變數(shù)形式的試探解,解：,代入泛定方程(1)和邊界條件(2)，得,(1),(2),(3),本征值問題,本征值：,本征函數(shù)：,其通解為,相應的本征解,一般解是所有本征解的線性迭加，,(4),一般解是所有本征解的

12、線性迭加，,代入初始條件，,(4),例2：用分離變數(shù)法求定解問題,(1),(2),(3),先以分離變數(shù)形式的試探解,解：,代入泛定方程(1)和邊界條件(2)，得,本征值問題,本征值：,本征函數(shù)：,其通解為,相應的本征解,一般解是所有本征解的線性迭加，,代入初始條件，,所求的定解問題的解為：,運用傅氏級數(shù)法求定解問題，要注意在不同 齊次邊界條件下，所求定解問題的解展開為不同形 式的傅里葉級數(shù)，,二、傅里葉級數(shù)法,三、熟練掌握如何把非齊次邊界條件齊次化：,引入輔助函數(shù)v(x,t)，令u(x,t)=v(x,t)+w(x,t)，使v(x,t) 滿足非齊次邊界條件，可將函數(shù)u(x,t)滿足的非齊次 邊界

13、條件的定解問題變換為函數(shù)w(x,t)滿足的齊次邊 界條件的定解問題。,可設,可將w(x,t)的邊界條件是齊次的，,(3)、若是第一、二類非齊次邊界條件,或,可設,可將w(x,t)的邊界條件齊次化。,(2)、若是第二類非齊次邊界條件,例3、求定解問題,解：,設,由于邊界條件是第一類齊次邊界條件，所以設,代入泛定方程，得,代入初始條件，,所求的定解問題的解為：,例4、求定解問題,解：,設,令,代入上式,由于邊界條件是第一類齊次邊 界條件，所以設,代入泛定方程，得,代入初始條件，,定解問題的解為,1、掌握勒讓德方程本征值問題的解及其性質(zhì),(1) l階勒讓德方程與自然邊界條件構(gòu)成本征值問題,(自然邊界

14、條件),本征值問題,本征值是l (l+1),本征函數(shù)則是l階勒讓德多項式Pl(x)。,第十章 球函數(shù),(2)勒讓德多項式的性質(zhì),1)、正交性,不同階的勒讓德多項式在區(qū)間(-1, 1)上正交，,2)、勒讓德多項式的模,3)、勒讓德多項式的全體構(gòu)成完備組,如何將一個定義在x的區(qū)間-1, 1上的函數(shù)f(x)展開成 廣義傅里葉級數(shù)：,一般公式：,展開系數(shù),待定系數(shù)法,僅適用于f(x)是關(guān)于x的次冪的多項式,(3)勒讓德多項式的母函數(shù),母函數(shù),以半徑為R的球代替單位球，則,3、掌握關(guān)于極軸對稱拉氏方程在球坐標系下的解：,關(guān)于軸對稱的拉氏方程的定解問題的通解為,對球內(nèi)軸對稱問題,自然邊界條件：,取Bl=0，,應排除 ,例1、,解：,邊界條件與無關(guān)，以球坐標的極軸為對稱軸。,