1、第二章 矩陣,21 矩陣的概念 22 矩陣的運(yùn)算 23 幾種特殊的矩陣 24 分塊矩陣 25 逆矩陣 26 矩陣的初等變換,21 矩陣的概念,排成的一個(gè)m行n列的數(shù)表,稱為一個(gè)m行n列矩陣，簡(jiǎn)稱為mn矩陣。,定義21由mn個(gè)數(shù),例如,矩陣常用的記號(hào)：,大寫英文字母A、B、C、,A24=,(aij)33=,(aij),Amn,(aij)mn,特別地,當(dāng)m=1時(shí)，,當(dāng)n=1時(shí)，,當(dāng)m=n=1時(shí)，,可視為普通數(shù) 來處理,當(dāng)m=n時(shí)，,稱為零矩陣，記為 或 O,當(dāng),時(shí),對(duì)n階方陣A=(aij),若：,即,對(duì)矩陣A=(aij)，稱(-aij)為矩陣A的負(fù)矩陣，記為 -A,即,矩陣概念與行列式概念的區(qū)別：

2、,一個(gè)行列式 代表一個(gè)數(shù),一個(gè)矩陣 代表一個(gè)數(shù)據(jù)表格,例如,而 表示一個(gè)數(shù)表,2、二者記號(hào)不同：,行列式用 ,矩陣用（ ）。,3、行列式的行數(shù)和列數(shù)必須相同，而矩陣的行數(shù) 與列數(shù)可以不同。,【例】對(duì)mn 線性方程組,把方程組中系數(shù) 及常數(shù)項(xiàng) 按原來次序取出， 作一個(gè)矩陣,m(n+1),（*）,則線性方程組（*）與 之間的關(guān)系是1-1對(duì)應(yīng)的,B,把未知量的系數(shù)按原來次序拿出來作一個(gè)矩陣,mn,A,把常數(shù)列按原來次序拿出來作一個(gè)矩陣,m1,把未知量拿出來作一個(gè)矩陣,n 1,X,22 矩陣的運(yùn)算,定義22 若兩個(gè)有相同行數(shù)和相同列數(shù)的矩陣,滿足,則稱矩陣A與矩陣B相等。記為：A=B,例如：若 且A=

3、B,則有c=0; a=-1; b=2; d=3,一、矩陣的加法,定義23 由矩陣A=(aij)mn與B=(bij)mn的各對(duì)應(yīng)元素相 加而得到的矩陣，稱為矩陣A與矩陣B的和。 記為：A+B,即,例如,則,加法的性質(zhì)：,（1）A+B=B+A,（2）(A+B)+C=A+(B+C),（3）A+O=A,（4）A+(-A)=A-A=O,簡(jiǎn)記為：,證（2）(A+B)+C=A+(B+C),因?yàn)?(A+B)+C=(aij)+(bij)+ (cij),= (aij+bij) + (cij),=(aij)+(bij+cij),=A+(B+C),矩陣的減法：,例如,則,二、數(shù)與矩陣的乘法（簡(jiǎn)稱數(shù)乘）,定義24 由常

4、數(shù)k乘以矩陣Amn的每個(gè)元素而得到的矩 陣，稱為數(shù)k與矩陣A的乘積，簡(jiǎn)稱數(shù)乘。記為kA,例如,則,數(shù)乘的性質(zhì)： 設(shè)A、B、O均為mn矩陣，k、t為常數(shù), 則 (1) k(A+B)=kA+kB (2) (k+t)A=kA+tA (3) (kt)A=k(tA)=t(kA) (4) 1A=A (5) 0A=O (6) 若k0, AO,則 kAO,證(1) k(A+B)=kA+kB,證(2) (k+t)A=kA+tA,【例2】求矩陣X，使3A+2X=3B。其中,解：由 3A+2X=3B 解得:,2X=3B - 3A,即,所以,三、矩陣與矩陣的乘法,定義25 設(shè)矩陣 ， ，由元素,構(gòu)成的矩陣 稱為矩陣A

5、與矩陣B的乘積。,記為 C=AB,即:,關(guān)于矩陣乘法的說明：,1、只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣A的列數(shù)與第二個(gè)矩陣B的行數(shù) 相同時(shí)， AB才有意義.,2、C的行數(shù)=第一個(gè)矩陣A的行數(shù),C的列數(shù)=第二個(gè)矩陣B的列數(shù),【例3】 設(shè),求AB,解：,注：此題BA無意義,【例】設(shè) ,求AB,解：,注 此題BA有意義,BA是一個(gè)數(shù),【例】 ,求AB.,解：,注：此題BA有意義,但AB與BA的行列數(shù)不同,【例】 設(shè) ,求AB,解：,注：(1)此題BA有意義,BA與AB行列數(shù)相同,但ABBA,(2) BA=O, 但 BO,且AO,【例】 設(shè) 求：AB,AC,解：,注：此題AB=AC, 且AO,但BC,矩陣乘法與實(shí)數(shù)乘法的

6、比較： (1) 實(shí)數(shù)乘法滿足交換率。即ab=ba 矩陣乘法不滿足交換率。即ABBA (2) 實(shí)數(shù)乘法滿足消去率。 即：若ab=ac,且a0,則有b=c 矩陣乘法不滿足消去率 即：由AB=AC,且AO,不能得出B=C (3) 在實(shí)數(shù)乘法中，若ab=0,可推出a=0或b=0 在矩陣乘法中，由AB=O不能推出A=O或B=O,矩陣乘法的性質(zhì)： (1) A(BC)=(AB)C (2) t(AB)=(tA)B=A(tB) (3) (A+B)C=AC+BC (4) A(B+C)=AB+AC (5) AE=EA=A,注意：在性質(zhì)（5）中，若A是mn矩陣，則AE中 的E為En,而EA中的E為Em,【例5】 對(duì)m

7、n線性方程組,取,，,，,所以線性方程組,可表示為：,定義26 設(shè)A為n階方陣，k為正整數(shù)，k個(gè)A的連乘積 稱為方陣A的k次冪。記為：Ak,即,例如：,則,方冪的性質(zhì)：,注意：,（1）只有當(dāng)A為n階方陣時(shí)，才有方冪的概念。,（2）（AB)k Ak Bk,） Ak和Bk可能無意義,）由于乘法不滿足交換率,【例】 設(shè),，求An,解,A3= A2A= 22 EA= 22A,=4E=22E,A4= A2 A2 = 22 E 22 E = 24E,A5= A4 A = 24 E A = 24A,【例】 設(shè)A、B為n階方陣，且滿足,證明AB=O,錯(cuò)誤證明：,即,2AB=O,AB=O,正確證明：,即,AB+

8、BA=O,A(AB+BA)=AO,(AB+BA)A=OA,即,得,左乘A得,右乘A得,注意： 中第i行第j列的元素=A中第j行第i列的元素,四、矩陣的轉(zhuǎn)置 定義27 將矩陣A的行列互換得到的矩陣，稱為矩A的 轉(zhuǎn)置矩陣，簡(jiǎn)稱轉(zhuǎn)置。,即若,則,轉(zhuǎn)置的性質(zhì)：,（1）,（2）,（3）,（4）,例如：,則,證明：(4),設(shè),則,故 C=D.,顯然：,【例7】 設(shè)矩陣,求,解法一：,解法二：,說明,(2) 由,(3)一般情況下,(1)由,五、方陣的行列式 定義28 由n階方陣A的元素按原來的順序構(gòu)成 的行列式，稱為方陣A的行列式。,記為,即：對(duì),方陣的行列式性質(zhì)： 設(shè)A、B是n階方陣，t是常數(shù)，則,（1）

9、,（2）,（3）,證明:性質(zhì)(3),先證明個(gè)小問題：若將序列 變換為： ，則：,假設(shè)經(jīng)過l次對(duì)換，使得：,則：,顯然：,證明,所以：,4.,注意：,2. 只有當(dāng)A、B是同階方陣時(shí)， 才成立,有意義，但 和 無意義）,3. 當(dāng)A、B是同階方陣時(shí)，有,(雖然ABBA),1、只有當(dāng)A是方陣時(shí)，才有A的行列式,定義29 設(shè)A是n階方陣，若 ，則稱A為非奇異 方陣；若 ，則稱A為奇異方陣。,，B是奇異的,例如,，A是非奇異的,【例8】 設(shè)A、B都是n階方陣，證明AB是非奇異的充要 條件是A、B都是非奇異方陣。,證明：,必要性：已知AB是非奇異方陣，則,即 A、B都是非奇異方陣,充分性：已知A、B都是非奇

10、異方陣，則,于是,即AB是非奇異方陣,且B非奇異，證明A，A+B均是非奇異的。,由B非奇異，知,由此得,即A，A+B均是非奇異的。,證明：,【例】設(shè)n階方陣A、B滿足,【例】已知A為3階方陣，且 求,解：,【例】 已知AB=E，且 A非奇異，求,解：,又因?yàn)锳非奇異，即A為方陣，且,故B為與A同階的方陣,即,課堂練習(xí),2、已知A是三階方陣，且 ，求,（1）若矩陣A的行列式 ，則必有A=0,（2）若矩陣A的行列式 ，則必有A=E,（3）若n階方陣A、B、C滿足A=B+C，則必有,反例,反例,1、判斷題,二、矩陣的加（減）法,三、數(shù)與矩陣的乘法（簡(jiǎn)稱數(shù)乘）,矩陣的運(yùn)算小結(jié),一、矩陣相等,4、矩陣的乘積：設(shè)矩陣 ， ，,注意：(1) 矩陣乘法不滿足交換率，即：ABBA (2) 矩陣乘法不滿足消去率，即：由AB=AC， 且AO,不能得出B=C。 (3) 在矩陣乘法中，由AB=O不能推出A=O或 B=O,這里：,5、方陣的冪：設(shè)A為n階方陣，k為正整數(shù),