1、第七章 擬合優(yōu)度檢驗(yàn),擬合優(yōu)度檢驗(yàn)的應(yīng)用,總體分布未知，從樣本數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)規(guī)律（總體分布），再利用擬合優(yōu)度檢驗(yàn)對(duì)假設(shè)的總體分布進(jìn)行驗(yàn)證。,【引例1】某地區(qū)在1500到1931年的432年間，共爆發(fā)了299次戰(zhàn)爭(zhēng)，具體數(shù)據(jù)如下（每年爆發(fā)戰(zhàn)爭(zhēng)的次數(shù)可以看作一個(gè)隨機(jī)變量X）：,根據(jù)我們對(duì)泊松分布產(chǎn)生的一般條件的理解，可以用一個(gè)泊松隨機(jī)變量來近似描述每年爆發(fā)戰(zhàn)爭(zhēng)的次數(shù)。也就是說，我們可以假設(shè)每年爆發(fā)戰(zhàn)爭(zhēng)次數(shù)分布 X 近似泊松分布。,現(xiàn)在的問題是：,上面的數(shù)據(jù)能否證實(shí) X 具有泊松分布的假設(shè)是正確的？,【引例2】某鐘表廠對(duì)生產(chǎn)的鐘進(jìn)行精確性檢查，抽取100個(gè)鐘作試驗(yàn)，校準(zhǔn)24小時(shí)后進(jìn)行檢查，將每個(gè)鐘的誤差

2、（快或慢）按秒記錄下來。,問該廠生產(chǎn)的鐘的誤差是否服從正態(tài)分布？,【引例3】某工廠制造了一批骰子，聲稱它是均勻的。,為檢驗(yàn)骰子是否均勻，要把骰子實(shí)地投擲若干次，統(tǒng)計(jì)各點(diǎn)出現(xiàn)的頻率與1/6的差距。,問題是：,得到的數(shù)據(jù)能否說明“骰子均勻”的假設(shè)是可信的？,K.皮爾遜,解決這類問題的工具是英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家K.皮爾遜在1900年發(fā)表的一篇文章中介紹了 2 檢驗(yàn)法。,擬合優(yōu)度檢驗(yàn)的工具- 2 檢驗(yàn),2 檢驗(yàn)法是在總體 X 的分布未知時(shí)，根據(jù)來自總體的樣本，檢驗(yàn)關(guān)于總體分布的假設(shè)的一種檢驗(yàn)方法。,H0：總體 X 的分布函數(shù)為 F(x),然后根據(jù)樣本的經(jīng)驗(yàn)分布和所假設(shè)的理論分布之間的吻合程度來決定是否接受原假

3、設(shè)。,這種檢驗(yàn)通常稱作擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，它是一種非參數(shù)檢驗(yàn)。,使用 2 檢驗(yàn)法對(duì)總體分布進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)，,先提出原假設(shè):,擬合優(yōu)度檢驗(yàn)的一般步驟,將總體 X 的取值范圍分成 k 個(gè)互不重疊的小區(qū)間，記作A1, A2, , Ak。 把落入第 i 個(gè)小區(qū)間 Ai 的樣本值的個(gè)數(shù)記作 fi ，稱為實(shí)測(cè)頻數(shù)； 所有實(shí)測(cè)頻數(shù)之和（f1+ f2+ + fk）等于樣本容量 n。 根據(jù)所假設(shè)的理論分布，可以算出總體X 的值落入每個(gè) Ai 的概率 pi，npi就是落入?yún)^(qū)間 Ai 的樣本值的理論頻數(shù)。,皮爾遜引進(jìn)如下統(tǒng)計(jì)量表示經(jīng)驗(yàn)分布與理論分布之間的差異:,在理論分布 已知的條件下, npi是常量,實(shí)測(cè)頻數(shù),理論頻數(shù),觀

4、測(cè)頻數(shù)與理論頻數(shù)比較，判斷二者不符合程度是否由于機(jī)會(huì)所造成。,統(tǒng)計(jì)量 的分布是什么?,皮爾遜為什么會(huì)選用這個(gè)統(tǒng)計(jì)量?,兩個(gè)問題：,關(guān)于第一個(gè)問題，皮爾遜證明了如下定理:,若原假設(shè)中的理論分布 F(x) 已經(jīng)完全給定，那么當(dāng) n 時(shí)，統(tǒng)計(jì)量：,的分布漸近 (k-1) 個(gè)自由度的 分布。,如果理論分布 F(x) 中有 r 個(gè)未知參數(shù)需用相應(yīng)的估計(jì)量來代替，那么當(dāng) n 時(shí)，統(tǒng)計(jì)量 的分布漸近 (k-1-r)個(gè)自由度的 分布。,皮爾遜定理的幾點(diǎn)說明,統(tǒng)計(jì)量的選擇 自由度的確定 連續(xù)性矯正,統(tǒng)計(jì)量的選擇,求 k 個(gè) OiTi 之和，顯然它們恒等于0 求 k 個(gè) (OiTi)2 之和，得不出相對(duì)的不符合程

5、度 Oi9、Ti6，OiTi3；Oi49、Ti46，OiTi3。前者的不符合程度遠(yuǎn)大于后者。 求 k 個(gè) (OiTi)/Ti2 之和，但仍有問題 如：Oi8、Ti5以及Oi80、Ti50時(shí) (OiTi)/Ti 都等于0.6。,統(tǒng)計(jì)量的選擇,為了解決上述問題，以 Ti 為權(quán)求加權(quán)值,自由度的確定,變量之間存在著一個(gè)制約關(guān)系：,故統(tǒng)計(jì)量 漸近 (k-1) 個(gè)自由度的 分布。,在 F(x) 尚未完全給定的情況下，每個(gè)未知參數(shù)用相應(yīng)的估計(jì)量代替，就相當(dāng)于增加一個(gè)制約條件，因此，自由度也隨之減少一個(gè)。,若有 r 個(gè)未知參數(shù)需用相應(yīng)的估計(jì)量來代替，自由度就減少 r 個(gè)。,故統(tǒng)計(jì)量 漸近 (k-1-r) 個(gè)

6、自由度的 分布。,如果根據(jù)所給的樣本值 X1,X2, ,Xn算得統(tǒng)計(jì)量 的實(shí)測(cè)值落入拒絕域，則拒絕原假設(shè)，否則就認(rèn)為差異不顯著而接受原假設(shè)。,得拒絕域:,(不需估計(jì)參數(shù)),(估計(jì) r 個(gè)參數(shù)),根據(jù)皮爾遜定理，對(duì)給定的顯著性水平 ，查 分布表可得臨界值 ，使得,連續(xù)性矯正,當(dāng)df1時(shí)應(yīng)做連續(xù)性矯正，矯正方法如下：,皮爾遜定理是在 n 無限增大時(shí)推導(dǎo)出來的，因而在使用時(shí)要注意 n 要足夠大，以及 npi 不太小這兩個(gè)條件。,根據(jù)計(jì)算實(shí)踐，要求 n 不小于50，以及npi 都不小于 5。否則應(yīng)適當(dāng)合并區(qū)間，使 npi 滿足這個(gè)要求 。,皮爾遜定理小結(jié),奧地利生物學(xué)家孟德爾進(jìn)行了長(zhǎng)達(dá)八年之久的豌豆雜

7、交試驗(yàn)，并根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果，運(yùn)用他的數(shù)理知識(shí)，發(fā)現(xiàn)了分離規(guī)律。,孟德爾,以遺傳學(xué)上的一項(xiàng)偉大發(fā)現(xiàn)為例，說明統(tǒng)計(jì)方法在研究自然界和人類社會(huì)的規(guī)律性時(shí)，是起著積極的、主動(dòng)的作用。,【例1】,他的一組觀察結(jié)果為：,黃70，綠27,近似為2.59:1，與理論值相近。,根據(jù)他的理論，子二代中，黃、綠之比 近似為3:1，,這里，n=70+27=97，k=2,檢驗(yàn)孟德爾的3:1理論:,提出假設(shè)H0: O-T=0 (p1=3/4，p2=1/4),理論頻數(shù)為： np1=72.75，np2=24.25,實(shí)測(cè)頻數(shù)為70（黃），27（綠）。,自由度為 2-1=1,未落入拒絕域。,故認(rèn)為試驗(yàn)結(jié)果符合孟德爾的3:1理論。,按

8、 =0.05，自由度為1，查表得,由于統(tǒng)計(jì)量,=0.41583.841,【引例1】某地區(qū)在1500到1931年的432年間，共爆發(fā)了299次戰(zhàn)爭(zhēng)，具體數(shù)據(jù)如下（每年爆發(fā)戰(zhàn)爭(zhēng)的次數(shù)可以看作一個(gè)隨機(jī)變量X）：,【例2】引例1，檢驗(yàn)每年爆發(fā)戰(zhàn)爭(zhēng)次數(shù)分布是否服從泊松分布。,按參數(shù) 為0.69的泊松分布，計(jì)算事件X=i 的概率pi ，pi的估計(jì)是：,H0：O-T=0 （X 服從參數(shù)為 的泊松分布）,根據(jù)觀察結(jié)果，得參數(shù) 的極大似然估計(jì)為：,解：,將有關(guān)計(jì)算結(jié)果列表如下:,2. 因H0所假設(shè)的理論分布中有一個(gè)未知參數(shù) ，故自由度為4-1-1=2。,1. 將npi ，接受原假設(shè)； 如果 P ，接受備擇假設(shè)。

9、,【例1】用兩種飼料 A 和 B 飼養(yǎng)小白鼠，一周后測(cè)小白鼠增重情況（如下表）。問用不同飼料飼養(yǎng)的小白鼠體重是否存在差異？,解：,1. 原假設(shè)H0：兩種飼料的飼養(yǎng)效果相同,2. 計(jì)算 P 值,解：,3. 結(jié)論,雙側(cè)檢驗(yàn)，P 值與 /2比較,P =0.015 0.025,接受原假設(shè)，男女對(duì)該藥物的反應(yīng)沒區(qū)別。,適合性檢驗(yàn),獨(dú)立性檢驗(yàn),變異性檢驗(yàn),2檢驗(yàn)的應(yīng)用（小結(jié)）,1. 變異性檢驗(yàn),在連續(xù)型資料的假設(shè)檢驗(yàn)中，對(duì)一個(gè)假設(shè)的總體標(biāo)準(zhǔn)差的同質(zhì)性檢驗(yàn)。 【例】一個(gè)混雜的小麥品種，株高標(biāo)準(zhǔn)差014 cm，經(jīng)提純后隨機(jī)抽出10 株，它們的株高為：90、105、101、95、100、100、101、105、93、97 cm，考查提純后的群體是否比原群體整齊？ 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：,2. 適合性檢驗(yàn),是指通過一定的理論分布推算出樣本的理論數(shù)，然后用實(shí)際觀測(cè)值與理論數(shù)相比較，從而判斷實(shí)際觀測(cè)值與理論數(shù)之間是否吻合（吻合度檢驗(yàn)）。 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,2.適合性檢驗(yàn)-二項(xiàng)分布的檢驗(yàn),【例1】獨(dú)立分配規(guī)律的驗(yàn)證。,2.適合性檢驗(yàn)-泊松分布的檢驗(yàn),【例