1、,Shanghai University,材料力學,第6章,基礎(chǔ)篇之六,材料力學,梁的彎曲問題(2)截面的幾何性質(zhì), 為什么要研究截面的幾何性質(zhì), 慣性矩、極慣性矩、慣性半徑, 慣性矩與慣性積的移軸定理, 慣性矩與慣性積的轉(zhuǎn)軸定理, 形心主軸與形心主慣性矩, 組合圖形的形心主軸與形心主慣性矩, 靜矩、形心及其相互關(guān)系, 結(jié)論與討論,第6章 梁的彎曲問題(2)截面的幾何性質(zhì), 為什么要研究截面的幾何性質(zhì),第6章 梁的彎曲問題(2)截面的幾何性質(zhì), 實際構(gòu)件的承載能力與變形形式有關(guān)，不同變形形式下的承載能力，不僅與截面的大小有關(guān)，而且與截面的幾何形狀有關(guān)。, 不同的分布內(nèi)力系，組成不同的內(nèi)力分量時

2、，將產(chǎn)生不同的幾何量。這些幾何量不僅與截面的大小有關(guān)，而且與截面的幾何形狀有關(guān)。, 為什么要研究截面的幾何性質(zhì),第6章 梁的彎曲問題(2)截面的幾何性質(zhì), 不同的分布內(nèi)力系，組成不同的內(nèi)力分量時，將產(chǎn)生不同的幾何量。這些幾何量不僅與截面的大小有關(guān)，而且與截面的幾何形狀有關(guān)。, 為什么要研究截面的幾何性質(zhì),第6章 梁的彎曲問題(2)截面的幾何性質(zhì),研究桿件的應(yīng)力與變形，研究失效問題以及強度、剛度、穩(wěn)定問題，都要涉及到與截面圖形的幾何形狀和尺寸有關(guān)的量。這些量統(tǒng)稱為幾何量，包括形心、靜矩、慣性矩、慣性半徑、極慣性矩、慣性積、主軸等。, 為什么要研究截面的幾何性質(zhì),第6章 梁的彎曲問題(2)截面的幾

3、何性質(zhì), 靜矩、形心及其相互關(guān)系,第6章 梁的彎曲問題(2)截面的幾何性質(zhì),圖形對于 y 軸的靜矩,圖形對于 z 軸的靜矩,靜矩、形心及其相互關(guān)系, 靜矩、形心及其相互關(guān)系,第6章 梁的彎曲問題(2)截面的幾何性質(zhì),分力之矩之和,合力之矩,靜矩、形心及其相互關(guān)系, 靜矩、形心及其相互關(guān)系,第6章 梁的彎曲問題(2)截面的幾何性質(zhì), 已知靜矩，可以確定圖形的形心坐標, 已知圖形的形心坐標，可以確定靜矩,靜矩、形心及其相互關(guān)系, 靜矩、形心及其相互關(guān)系,第6章 梁的彎曲問題(2)截面的幾何性質(zhì), 如果軸通過圖形形心，則圖形對這一軸的靜矩等于零。,靜矩、形心及其相互關(guān)系, 如果圖形對軸的靜矩等于零，

4、則這一軸通過圖形形心。, 靜矩、形心及其相互關(guān)系,第6章 梁的彎曲問題(2)截面的幾何性質(zhì),對于組合圖形,靜矩、形心及其相互關(guān)系, 靜矩、形心及其相互關(guān)系,第6章 梁的彎曲問題(2)截面的幾何性質(zhì), 慣性矩、極慣性矩、慣性半徑,第6章 梁的彎曲問題(2)截面的幾何性質(zhì),圖形對 y 軸的慣性矩,圖形對 z軸的慣性矩,圖形對 y z 軸的慣性積,圖形對 O 點的極慣性矩,慣性矩、極慣性矩、慣性積、慣性半徑, 慣性矩、極慣性矩、慣性半徑,第6章 梁的彎曲問題(2)截面的幾何性質(zhì),圖形對 y 軸的慣性半徑,圖形對 z 軸的慣性半徑,慣性矩、極慣性矩、慣性積、慣性半徑, 慣性矩、極慣性矩、慣性半徑,第6

5、章 梁的彎曲問題(2)截面的幾何性質(zhì), 0, 0 或, 0, 0, 0,慣性矩、極慣性矩、慣性積、慣性半徑, 慣性矩、極慣性矩、慣性半徑,第6章 梁的彎曲問題(2)截面的幾何性質(zhì),慣性矩、極慣性矩、慣性積、慣性半徑, 慣性矩、極慣性矩、慣性半徑,第6章 梁的彎曲問題(2)截面的幾何性質(zhì),已知：圓截面直徑d 求：Iy， Iz， IP,例 題 1,解：取圓環(huán)微元面積, 慣性矩、極慣性矩、慣性半徑,第6章 梁的彎曲問題(2)截面的幾何性質(zhì),已知：矩形截面b h 求：Iy， Iz,解：取平行于x軸和y軸的微元面積,例 題 2, 慣性矩、極慣性矩、慣性半徑,第6章 梁的彎曲問題(2)截面的幾何性質(zhì), 慣

6、性矩與慣性積的移軸定理,第6章 梁的彎曲問題(2)截面的幾何性質(zhì),移軸定理（parallel-axis theorem）是指圖形對于互相平行軸的慣性矩、慣性積之間的關(guān)系。即通過已知圖形對于一對坐標的慣性矩、慣性積，求圖形對另一對坐標的慣性矩與慣性積。,慣性矩與慣性積的移軸定理, 慣性矩與慣性積的移軸定理,第6章 梁的彎曲問題(2)截面的幾何性質(zhì),y1=ya z1=zb,已知： Iy，Iz，Iyz,求： Iy1，Iz1，Iy1z1,慣性矩與慣性積的移軸定理, 慣性矩與慣性積的移軸定理,第6章 梁的彎曲問題(2)截面的幾何性質(zhì),y1=ya z1=zb,慣性矩與慣性積的移軸定理, 慣性矩與慣性積的移

7、軸定理,第6章 梁的彎曲問題(2)截面的幾何性質(zhì),如果y、z軸通過圖形形心，上述各式中的SySz0,慣性矩與慣性積的移軸定理, 慣性矩與慣性積的移軸定理,第6章 梁的彎曲問題(2)截面的幾何性質(zhì), 因為面積及包含a2、b2的項恒為正，故自形心軸移至與之平行的任意軸，慣性矩總是增加的。, a、b為原坐標系原點在新坐標系中的坐標，要注意二者的正負號；二者同號時abA為正，異號時為負。所以，移軸后慣性積有可能增加也可能減少。,慣性矩與慣性積的移軸定理, 慣性矩與慣性積的移軸定理,第6章 梁的彎曲問題(2)截面的幾何性質(zhì), 慣性矩與慣性積的轉(zhuǎn)軸定理,第6章 梁的彎曲問題(2)截面的幾何性質(zhì),所謂轉(zhuǎn)軸是

8、坐標軸繞原點轉(zhuǎn)動時，圖形對這些坐標軸的慣性矩和慣性積的變化規(guī)律。,慣性矩與慣性積的轉(zhuǎn)軸的概念, 慣性矩與慣性積的轉(zhuǎn)軸定理,第6章 梁的彎曲問題(2)截面的幾何性質(zhì),慣性矩與慣性積的轉(zhuǎn)軸公式, 慣性矩與慣性積的轉(zhuǎn)軸定理,第6章 梁的彎曲問題(2)截面的幾何性質(zhì),已知： Iy，Iz，Iyz ,求： Iy1，Iz1，Iy1z1,慣性矩與慣性積的轉(zhuǎn)軸公式, 慣性矩與慣性積的轉(zhuǎn)軸定理,第6章 梁的彎曲問題(2)截面的幾何性質(zhì), 慣性矩與慣性積的轉(zhuǎn)軸定理,第6章 梁的彎曲問題(2)截面的幾何性質(zhì), 慣性矩與慣性積的轉(zhuǎn)軸定理,第6章 梁的彎曲問題(2)截面的幾何性質(zhì),如果圖形對于過一點的一對坐標軸的慣性積等

9、于零，則稱這一對坐標軸為過這一點的主軸（principal axes）。圖形對于主軸的慣性矩稱為主慣性矩（principal moment of inertia of an area）。因為慣性積是對一對坐標軸而言的，所以，主軸總是成對出現(xiàn)的。, 慣性矩與慣性積的轉(zhuǎn)軸定理,第6章 梁的彎曲問題(2)截面的幾何性質(zhì), 形心主軸與形心主慣性矩,第6章 梁的彎曲問題(2)截面的幾何性質(zhì),可以證明，圖形對于過一點不同坐標軸的慣性矩各不相同，而對于主軸的慣性矩是這些慣性矩的極大值和極小值。, 形心主軸與形心主慣性矩,第6章 梁的彎曲問題(2)截面的幾何性質(zhì),對于任意一點（圖形內(nèi)或圖形外）都有主軸，而通過

10、形心的主軸稱為形心主軸，圖形對形心主軸的Iy慣性矩稱為形心主慣性矩，簡稱形心主矩。工程計算中有意義的是形心主軸與形心主矩。, 形心主軸與形心主慣性矩,第6章 梁的彎曲問題(2)截面的幾何性質(zhì),圖形對于任意一點（圖形內(nèi)或圖形外）都有主軸，而通過形心的主軸稱為形心主軸，圖形對形心主軸的慣性矩稱為形心主慣性矩，簡稱為形心主矩。, 形心主軸與形心主慣性矩,第6章 梁的彎曲問題(2)截面的幾何性質(zhì),工程計算中有意義的是形心主軸與形心主矩。, 形心主軸與形心主慣性矩,第6章 梁的彎曲問題(2)截面的幾何性質(zhì),主軸的方向角以及主慣性矩可以通過初始坐標軸的慣性矩和慣性積確定:,主軸與形心主軸, 主慣性矩與形心

11、主慣性矩, 形心主軸與形心主慣性矩,第6章 梁的彎曲問題(2)截面的幾何性質(zhì),有對稱軸截面的慣性主軸,Iyz= (yizidA- yizidA)=0,當圖形有一根對稱軸時，對稱軸及與之垂直的任意軸即為過二者交點的主軸。, 形心主軸與形心主慣性矩,第6章 梁的彎曲問題(2)截面的幾何性質(zhì), 組合圖形的形心主軸與形心主慣性矩,第6章 梁的彎曲問題(2)截面的幾何性質(zhì),工程計算中應(yīng)用最廣泛的是組合圖形的形心主慣性矩，即圖形對于通過其形心的主軸之慣性矩。為此，必須首先確定圖形的形心以及形心主軸的位置。,組合圖形的形心、形心主軸、 形心主慣性矩的計算方法, 組合圖形的形心主軸與形心主慣性矩,第6章 梁的

12、彎曲問題(2)截面的幾何性質(zhì),因為組合圖形都是由一些簡單的圖形（例如矩形、正方形、圓形等）所組成，所以在確定其形心、形心主軸以至形心主慣性矩的過程中，均不采用積分，而是利用簡單圖形的幾何性質(zhì)以及移軸和轉(zhuǎn)軸方法。, 組合圖形的形心主軸與形心主慣性矩,第6章 梁的彎曲問題(2)截面的幾何性質(zhì), 將組合圖形分解為若干簡單圖形，并確定組合圖形的形心位置。, 以形心為坐標原點，設(shè)Oyz坐標系，y、z 軸 一般與簡單圖形的形心主軸平行。確定簡 單圖形對自身形心軸的慣性矩，利用移軸 定理（必要時用轉(zhuǎn)軸定理）確定各個簡單 圖形對y、z軸的慣性矩和慣性積，相加（空洞時則減）后便得到整個圖形的Iy、Iz 和Iyz

13、。, 計算形心主慣性矩Iy0和Iz0。, 確定形心主軸的位置，即形心主軸與 z 軸的夾角。, 組合圖形的形心主軸與形心主慣性矩,第6章 梁的彎曲問題(2)截面的幾何性質(zhì),例 題 3,已知：圖形尺寸如圖所示。 求：圖形的形心主矩, 組合圖形的形心主軸與形心主慣性矩,第6章 梁的彎曲問題(2)截面的幾何性質(zhì),解 ：1將所給圖形分解為簡單圖形的組合, 組合圖形的形心主軸與形心主慣性矩,第6章 梁的彎曲問題(2)截面的幾何性質(zhì),2.建立初始坐標，確定形心位置, 組合圖形的形心主軸與形心主慣性矩,第6章 梁的彎曲問題(2)截面的幾何性質(zhì),Iy0=Iy0()+Iy0(II),3. 確定形心主慣性矩, 組合圖形的形心主軸與形心主慣性矩,第6章 梁的彎曲問題(2)截面的幾何性質(zhì),Iz0=Iz0()+Iz0(),3. 確定形心主慣性矩, 組合圖形的形心主軸與形心主慣性矩,第6章 梁的彎曲問題(2)截面的幾何性質(zhì), 結(jié)論與討論,第6章 梁的彎曲問題(2)截面的幾何性