1、主要內(nèi)容：,矩陣運(yùn)算； 矩陣元素運(yùn)算；,第3章 數(shù)學(xué)運(yùn)算,3.1 矩陣運(yùn)算,3.1.1 矩陣分析,1向量范式定義： 向量的3種常用范數(shù)及其計(jì)算函數(shù) 在MATLAB中，求向量范數(shù)的函數(shù)為： (1) norm(V)或norm(V,2)：計(jì)算向量V的2范數(shù)。 (2) norm(V,1)：計(jì)算向量V的1范數(shù)。 (3) norm(V,inf)：計(jì)算向量V的范數(shù)。,例3-1 求向量x=1,2,3,4,5和y=3,0,5,2,2間的距離 x=1,2,3,4,5; y=3,0,5,2,2; norm(x,1); %1-范式 norm(x,inf); %范數(shù) norm(x); e=x-y; norm(e);,2

2、矩陣的秩： 矩陣中線性無關(guān)的列（行)向量個(gè)數(shù),稱為列（行）秩。 Matlab中用函數(shù)rank（）來計(jì)算矩陣的秩。,例3-2 求向量eye（4)，magic（4）和A=1,2,3 ;4,5,6;7,8,9的秩。 rank(eye(4); rank(magic(4); rank(A);,3矩陣的行列式： Matlab中用函數(shù)det（）來計(jì)算矩陣的行列式。,例3-3 求向量eye（4)，magic（4）和A=1,2,3 ;4,5,6;7,8,9的行列式。 det(eye(4); det(magic(4); det(A);,4矩陣的行列跡： 矩陣的跡定義為對(duì)角元素之和。Matlab中用函數(shù)trace（

3、）來計(jì)算矩陣的行列式。 例3-4 求向量eye（4)，magic（4）和A=1,2,3 ;4,5,6;7,8,9的行列式。 trace(eye(4); trace(magic(4); trace(A);,5矩陣化零矩陣： 對(duì)于非滿秩矩陣A，若存在矩陣Z使得AZ=0且ZZ=I，則稱 矩陣Z為矩陣A的化零矩陣。Matlab中用函數(shù)null（）來計(jì)算矩陣的化零矩陣。 例3-5 求矩陣A=1,2,3 ;4,5,6;7,8,9的化零矩陣。 Z=null(A) 驗(yàn)證AZ=0的具體代碼如下： AZ=A*Z 驗(yàn)證ZTZ的具體代碼如下： ZTZ=Z*Z,6矩陣的正交空間： 矩陣A的正交空間Q滿足QTQ=I，且矩

4、陣Q與A具有相同的列基底，Matlab中用函數(shù)orth（）來計(jì)算正交空間Q。 例3-6 求矩陣A1=1,2,3 ;4,5,6;7,8,9和A2=1,2,3 ;4,5,6;7,8,9;10,11,12的正交空間Q。 Q=orth(A1) R=orth(A2),7矩陣的簡(jiǎn)化化梯形式： 矩陣A的簡(jiǎn)化化梯形式為 ，其中 為r階單位矩陣。 Matlab 中用函數(shù)rref()來計(jì)算矩陣的簡(jiǎn)化梯形形式 例3-7 求矩陣A1=1,2,3 ;4,5,6;7,8,9和A2=1,2,3 ;1,1,5;7,8,9;10,11,12的正交空間Q。 Q=rref(A1) R=rref(A2),9矩陣空間之間的角度： 矩陣

5、空間之間的角度代表具有相同行數(shù)的兩個(gè)矩陣線性相關(guān)程度，夾角越小代表線性相關(guān)度越高。Matlab中用函數(shù)subspace（）來計(jì)算矩陣空間之間的角度。 例3-9 求矩陣A1=1,2,3 ;4,5,6;7,8,9和A2=1,2,3 ;1,1,5;7,8,9;10,11,12的正交空間Q。 Q=subspace(A1),3.1.2 線性方程組,Ax = b 有x = A-1b，但實(shí)際上并不顯式求A-1,例子： 7x = 21 x = 21/7=3 如果求逆 x = 7-1 21 = .142857 21 = 2.99997 這就需要一次除和一次乘，且精度更低,Backslash運(yùn)算符,AX = B,

6、X = AB,左除,XA = B,X = B/A,右除,3-by-3的例子,線性方程組的解結(jié)構(gòu),齊次線性方程組的解結(jié)構(gòu) 非齊次線性方程組的解結(jié)構(gòu),1.齊次線性方程組的解結(jié)構(gòu),例3-10.判別方程組,有無非零解,若有,寫出其通解.,解 在MATLAB中輸入該方程組的系數(shù)矩陣A并將它化為最簡(jiǎn)行階梯形矩陣,所用命令如下:, A=1 2 -1;2 5 2;1 4 7;1 3 3; rref(A),ans = 1 0 -9 0 1 4 0 0 0 0 0 0,由階梯形矩陣可知R(A)=2 A=1 1 1 1 1;3 2 1 1 -3;0 1 2 2 6;5 4 3 3 -1; format rat B=

7、null(A , r) %求基礎(chǔ)解系,B = 1 1 5 -2 -2 -6 1 0 0 0 1 0 0 0 1, syms k1 k2 k3 %定義符號(hào)參數(shù) X=k1*B(:,1)+k2*B(:,2)+k3*B(:,3),X= k1+k2+5*k3 -2*k1-2k2-6k3 k1 k2 k3,即,為方程組的通解,其中k1,k2,k3為任意實(shí)數(shù).,2.齊次線性方程組的解結(jié)構(gòu),例3-12.求解方程組,解 在MATLAB中輸入系數(shù)矩陣及常數(shù)列向量,并檢驗(yàn)系數(shù)矩陣是否逆,所用命令及結(jié)果如下, A=2 1 1;3 1 2;1 -1 0; b=3 3 -1 ; det(A) %檢驗(yàn)A是否可逆 ans =

8、 2,系數(shù)矩陣行列式值等于2,是可逆的,則可以用矩陣相除來求解., X=Ab X= 1 2 -1,即是原方程組的解.,3.1.2 矩陣分解,矩陣分解：把矩陣分解成比較簡(jiǎn)單或?qū)λ再|(zhì)比較熟悉的若干矩陣的乘積的形式；,1Cholesky分解： Cholesky分解是把對(duì)稱正定矩陣表示成上三角矩陣的轉(zhuǎn)置與其本身的乘積，即：A=RTR，在Matlab中用函數(shù)chol來計(jì)算Cholesky分解 例3-13 求矩陣A=pascal（4）的Cholesky分解， A=pascal(4) R=chol(A) RTR,2LU分解： LU分解是將任意一個(gè)方正A分解成為一個(gè)交換下三角矩陣L和一個(gè)上三角矩陣U的乘積，

9、A=LU，在Matlab中用函數(shù)lu來計(jì)算LU分解 例3-14 求矩陣A=1,4,2;5,6,9;4,1,8的LU分解， L1,U1=LU(A) L1*U1,3奇異分解： 奇異值分解就是將 的矩陣A分解為U*S*V，其中U 為 的酉矩陣，V為 的酉矩陣，S為 ，并可以表示如下： ，其中 ，r=rank（A)， ，Matlab中奇異值是有函數(shù)svd（）實(shí)現(xiàn)的。用svd計(jì)算矩陣A=1 4 2;5 6 9 例3-15 求矩陣A=1 4 2;5 6 9的奇異分解， U,S，V=SVD(A),3.1.3 矩陣的特征值和特征向量,矩陣的特征值與特征向量 在MATLAB中，計(jì)算矩陣A的特征值和特征向量的函數(shù)

10、是eig(A)，常用的調(diào)用格式有3種： (1) E=eig(A)：求矩陣A的全部特征值，構(gòu)成向量E。 (2) V,D=eig(A)：求矩陣A的全部特征值，構(gòu)成對(duì)角陣D，并求A的特征向量構(gòu)成V的列向量。 (3) V,D=eig(A,nobalance)：與第2種格式類似，但第2種格式中先對(duì)A作相似變換后求矩陣A的特征值和特征向量，而格式3直接求矩陣A的特征值和特征向量。,例3-16 求矩陣A=6,12,19;-9,-20,-33;4,9,15的特征值和特征向量 V,D=eig(A);,例3-17 用求特征值的方法解方程。 3x5-7x4+5x2+2x-18=0 p=3,-7,0,5,2,-18;

11、 A=compan(p); %A的伴隨矩陣 x1=eig(A) %求A的特征值 x2=roots(p) %直接求多項(xiàng)式p的零點(diǎn),例3-18.求解方程組,解 先用MATLAB函數(shù)null求出對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系,再利用其系數(shù)矩陣的上、下三角陣求出方程組的一個(gè)特解,這樣即可得到該方程組的通解,程序如下:, A=1 1 -3 -1;3 -1 -3 4;1 5 -9 -8; b=1 4 0 ; format rat C=null(A , r); %求基礎(chǔ)解系 L,U=lu(A); %A=LU,L為上三角陣,U為下三角陣 X0= U(Lb) %用LU求出一個(gè)齊次方程的特解, syms k1 k

12、2 X=k1*C(:,1)+k2*C(:,2)+X0,運(yùn)行結(jié)果為,X0 = 0 0 -8/15 3/5,X = 3/2*k1-3/4*k2 3/2*k1+7/4*k2 k1-8/15 k2+3/5,即,為該非齊次方程組的通解,其中k1,k2為任意實(shí)數(shù).,3.2 矩陣元素運(yùn)算,矩陣運(yùn)算主要是對(duì)矩陣?yán)锏拿總€(gè)元素進(jìn)行運(yùn)算！,3.2.1 三角函數(shù)（p48）,例3-18 計(jì)算矩陣A=6,12,19;-9,-20,-33;4,9,15每個(gè)元素的正弦,其中元素值的單位為弧度。 Y=sin(A);,3.2.2 指數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)（p48-49）,例3-19計(jì)算矩陣A=6,12,19;-9,-20,-33;4,9,15每個(gè)元素的正指數(shù)和對(duì)數(shù),其中元素值的單位為弧度。 Y=exp(A); Y1=log2(abs(A);,3.2.2 截?cái)嗪颓笥嗪瘮?shù)（p49-50）,例3-21分別使用函數(shù)mod()和rem(),對(duì)標(biāo)量除法-5/2進(jìn)行求余。 rem(-5,2) mod(-5,2),例3-