1、,第十三章 軸對稱,13.4 課題學(xué)習(xí) 最短路徑問題,1.能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題.（重點） 2.體會圖形的變化在解決最值問題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想,1.如圖，連結(jié)A、B兩點的所有連線中， 哪條最短？為什么？,最短，因為兩點之間，線段最短.,2.如圖，點P是直線l外一點，點P與該直線l上各點連結(jié)的所有線段中，哪條最短？為什么？,PC最短，因為垂線段最短.,復(fù)習(xí)引入,3.在我們前面的學(xué)習(xí)中， 還有哪些涉及比較線段大小的基本事實？,三角形三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊；,斜邊大于直角邊.,4.如圖，如何做點A關(guān)于直線l的對稱點？,復(fù)習(xí)引入,“兩點的所有連線中，線段最短”“連結(jié)直線外一點與直

2、線上各點的所有線段中，垂線段最短”等的問題，我們稱之為最短路徑問題. 現(xiàn)實生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑問題，本節(jié)將利用數(shù)學(xué)知識探究數(shù)學(xué)史的著名的“牧馬人飲馬問題”及“造橋選址問題”.,新課講解,牧馬人飲馬問題,如圖，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地，牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？,作圖問題：在直線l上求作一點C,使AC+BC最短問題.,新課講解,問題1 現(xiàn)在假設(shè)點A、B分別是直線l異側(cè)的兩個點，如何在l上找到一個點，使得這個點到點A、點B的距離的和最短？,l,根據(jù)“兩點之間，線段最短”，可知這個交點即為所求.,連結(jié)AB,與直線l相交于一點C.,新課講解,問

3、題2 如果點A、B分別是直線l同側(cè)的兩個點，又應(yīng)該如何解決？,想一想：對于問題2，如何將點B“移”到l 的另一側(cè)B處，滿足直線l 上的任意一點C，都保持CB 與CB的長度相等？,l,利用軸對稱，作出點B關(guān)于直線l的對稱點B.,新課講解,作法： （1）作點B 關(guān)于直線l 的對稱點B； （2）連結(jié)AB，與直線l 相交于點C 則點C 即為所求,新課講解,問題3 你能用所學(xué)的知識證明AC +BC最短嗎？,證明：如圖，在直線l 上任取一點C（與點C 不重合），連結(jié)AC、BC、BC由軸對稱的性質(zhì)知， BC =BC，BC=BC AC +BC= AC +BC = AB， AC+BC= AC+BC,在ABC中，

4、ABAC+BC， AC +BCAC+BC 即 AC +BC 最短,新課講解,練一練：如圖，直線l是一條河，P、Q是兩個村莊.欲在l上的某處修建一個水泵站，向P、Q兩地供水，現(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案，圖中實線表示鋪設(shè)的管道，則所需要管道最短的是（ ）,D,新課講解,如圖，已知點D、點E分別是等邊三角形ABC中BC、AB邊的中點，AD=5，點F是AD邊上的動點，則BF+EF的最小值為（ ） A7.5 B5 C4 D不能確定,點撥：ABC為等邊三角形，點D是BC邊的中點，即點B與點C關(guān)于直線AD對稱.點F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可轉(zhuǎn)化為求CF+EF的最小值，故連結(jié)CE即可，線段CE的

5、長即為BF+EF的最小值.,B,新課講解,例1,方法總結(jié)：此類求線段和的最小值問題，找準(zhǔn)對稱點是關(guān)鍵，而后將求線段長的和轉(zhuǎn)化為求某一線段的長，而再根據(jù)已知條件求解.,新課講解,如圖，在直角坐標(biāo)系中，點A、B的坐標(biāo)分別為（1，4）和（3，0），點C是y軸上的一個動點，且A、B、C三點不在同一條直線上，當(dāng)ABC的周長最小時點C的坐標(biāo)是（ ） A（0，3） B（0，2） C（0，1） D（0，0）,點撥：作B點關(guān)于y軸的對稱點B，連結(jié)AB，交y軸于點C，此時ABC的周長最小，然后依據(jù)點A與點B的坐標(biāo)可得到BE、AE的長，然后證明BCO為等腰直角三角形即可,B,C,E,A,新課講解,例2,方法總結(jié)：求

6、三角形周長的最小值，先確定動點所在的直線和固定點，而后作某一固定點關(guān)于動點所在直線的對稱點，而后將其與另一固定點連線，連線與動點所在直線的交點即為三角形周長最小時動點的位置.,新課講解,如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN.橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）？,新課講解,造橋選址問題,【問題解決】,A1,M,N,如圖，平移A到A1，使AA1等于河寬，連結(jié)A1B交河岸于N作橋MN，此時路徑AM+MN+BN最短.,理由:另任作橋M1N，連結(jié)AM、BN、AN.,由平移性質(zhì)可知，AMAN，AAMNMN，AMAN.,AM+MN+BN轉(zhuǎn)化為

7、，而轉(zhuǎn)化為.,在ANB中，因為A1N1+BN1A1B，,因此 AM+MN+BN.,新課講解,A,證明：由平移的性質(zhì)，得 BNEM 且BN=EM, MN=CD, BDCE, BD=CE,所以A到B的路徑長為AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN. 若橋的位置建在CD處，連結(jié)AC、CD、DB、CE,則A到B的路徑長為AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN. 在ACE中，AC+CEAE, AC+CE+MNAE+MN, 即AC+CD+DB AM+MN+BN， 所以橋的位置建在MN處，A到B的路徑最短.,新課講解,解決最短路徑問題的方法,在解決最短路徑問題時，我們通常利用軸對稱、平移等變換把未知問題轉(zhuǎn)化為已解決的問題，從而作出最短路徑的選擇.,方法歸納,2.如圖，AOB=30，AOB內(nèi)有一定點P，且OP=10在OA上有一點Q，OB上有一點R若PQR周長最小，則最小周長是（ ） A10 B15 C20 D30,A,隨堂即練,3.如圖，牧童在A處放馬，其家在B處，A、B到河岸的距離分別為AC和BD，且AC=BD,若點A到河岸CD的中點的距離為500米，則牧童從A處把馬牽到河邊飲水再回家，所走的最短距離是 米.,1000,隨堂即練,4.如圖，邊長為1的正方形組成的網(wǎng)格中，AOB的頂點均在格點上，點A、B的坐標(biāo)分別是A