1、例4-2-2,要求畫出根軌跡。,某單位反饋系統(tǒng),分析：1個開環(huán)零點，3個開環(huán)極點，,-5,-2,-1,0,3 繪制根軌跡圖的基本規(guī)則,規(guī)則一、,根軌跡的分支數(shù)：根軌跡的分支數(shù)等于開環(huán)極點數(shù)n。,根軌跡的分支數(shù)即根軌跡的條數(shù)。既然根軌跡是描述閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根（即閉環(huán)極點）在s平面上的分布，那么，根軌跡的分支數(shù)就應等于系統(tǒng)特征方程的階數(shù)。,閉環(huán)系統(tǒng)的階次為3 ，有3條根軌跡 。,閉環(huán)極點數(shù) = 閉環(huán)特征方程的階次 = 開環(huán)傳遞函數(shù)的階次,= 開環(huán)極點數(shù),例,規(guī)則二、,根軌跡的起點和終點：每條根軌跡都起始于開環(huán)極點，終止于開環(huán)零點或無窮遠點。,根軌跡是Kr從0時的根變化軌跡，因此必須 起始于Kr

2、=0處，終止于Kr=處。,觀察幅值條件：,分三種情況討論：,如果n = m，即開環(huán)零點數(shù)與極點數(shù)相同時，根軌跡的起點與終點均有確定的值。,如果n m, m條根軌跡趨向開環(huán)的m 個零點（稱為有限零點）,而另n-m條根軌跡趨向無窮遠處（稱為有限零點）。,對于例題，3條根軌跡始于3個開環(huán)極點，一條止于開環(huán)零點，另兩條（n-m=2）趨于無窮遠處。,如果n m, 即開環(huán)零點數(shù)大于開環(huán)極點數(shù)時，除有n條根軌跡起始于開環(huán)極點(稱為有限極點)外，還有m-n條根軌跡起始于無窮遠點(稱為無限極點)。這種情況在實際的物理系統(tǒng)中雖不會出現(xiàn)，但在參數(shù)根軌跡中，有可能出現(xiàn)在等效開環(huán)傳遞函數(shù)中。,*規(guī)則三、,根軌跡的對稱性

3、：根軌跡各分支是連續(xù)的，且對稱于實軸。,證明：（1）連續(xù)性,系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益 Kr (實變量）與復變量s有一一對應的關系，當Kr由零到無窮大連續(xù)變化時，描述系統(tǒng)特征方程根的復變量s在平面上的變化也是連續(xù)的，因此，根軌跡是n條連續(xù)的曲線。,證明：（2）對稱性,由于實際的物理系統(tǒng)的參數(shù)都是實數(shù)，若它的特征方程有復數(shù)根，一定是對稱于實軸的共軛復根，因此,根軌跡總是對稱于實軸的。,規(guī)則四、,實軸上的根軌跡：在實軸的線段上存在根軌跡的條件是：其右邊開環(huán)零點和開環(huán)極點數(shù)目之和為奇數(shù)。,例如系統(tǒng)的開環(huán)零、極點分布如圖。,1,2,5,要判斷 和 之間的線段是否存在根軌跡，取實驗點,開環(huán)共軛極點和零點提供的相

4、角相互抵消，G(s0)的相角由實軸上的開環(huán)零極點決定。,處在G(s0)左邊的開環(huán)零極點提供的角度均為零， 相角條件由其右邊的零極點決定。,奇數(shù)個，無論如何加減組合，總能使l(l=1,3,)成立。,對于例題，,在實軸上的根軌跡：,一條始于開環(huán)極點，止于開環(huán)零點， 另兩條始于開環(huán)極點，止于無窮遠處。,規(guī)則四、實軸上的根軌跡：在實軸的線段上存在根軌跡的條件是：其右邊開環(huán)零點和開環(huán)極點數(shù)目之和為奇數(shù),1,2,5,漸近線：根軌跡有n-m條漸進線。,漸近線與實軸的夾角為：,漸近線與實軸的交點為：,l 它們是針對n-m條趨向無窮遠點的根軌跡而設立的 l 如果知道了漸近線，可以馬上畫出根軌跡的大致形狀,規(guī)則五

5、、,證明：,見圖4-5。, 對于位于根軌跡上某一動點s0，, 從各開環(huán)零極點到這一點的向 量的相角隨s0軌跡的變化而變化，, 當s0到達無窮遠處，各相角相等， 令其為，可寫成：, 進而求出漸近線夾角：,由對稱性知，,漸近線一定交于實軸上，其交點實際上相當于零極點的質(zhì)量重心。,按照重心的求法，可求知交點的坐標,對例4-2-2，,交點坐標為：,即（1，j0）。,漸近線與實軸夾角為：,規(guī)則六、,當兩條根軌跡在復平面上相遇又分開的點叫作分離點或會合點，大多發(fā)生在實軸上（僅討論實根）。,性質(zhì)：,在此點上必出現(xiàn)重根。,利用根軌跡的性質(zhì)可知，當根軌跡出現(xiàn)在實軸 上兩相鄰極點間時，必有一分離點。,若當根軌跡出

6、現(xiàn)在兩相鄰零點間（包括無窮遠零 點）時，必有一會合點。,根軌跡的分離點與會合點：分離點與會合點是方程式 的根。,根軌跡在該點上對應的Kr取這段實軸區(qū)域的極值。 分離點最大值，會合點最小值。,由求極值的公式求出：,它們可以利用代數(shù)重根法或極值法求出。(介紹后者),在實軸根軌跡上，求使Kr達到最大（最?。┲档膕 值:,注意：求出結(jié)果，需經(jīng)判斷，保留合理解。 如果根在實軸根軌跡上，保留，否則，舍去。,求出重根角為:,在例題4-2-2中，,解出：,對上圖的觀察，后兩個根不在根軌跡上，因此交點坐標為（-0.447,j0）處。,求出重根角為:,規(guī)則七、,根軌跡與虛軸的交點：交點和相應的Kr值利用勞斯判據(jù)求

7、出。,根軌跡與虛軸的交點對應于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，此時系統(tǒng)出現(xiàn)虛根。,在例4-2-2中，系統(tǒng)閉環(huán)特征方程式為：,即：,勞斯行列式,當6-2Kr=0時，特征方程出現(xiàn)共軛虛根，求出Kr=3。,虛根可利用s2行的輔助方程求出：,與虛軸的交點,與虛軸的交點為,例4-2-2的根軌跡如圖。,Kr=.084,1、畫出開環(huán)零極點,2、確定根軌跡根數(shù),3、畫出實軸上的根軌跡,4、求漸進線（nm）,5、求分離點,6、求與虛軸交點,7、畫出根軌跡,8、求出特殊點對應的Kr值,規(guī)則九：Kr值由根軌跡幅值條件求出：,如分離點（-0.447，j0）處的Kr值：,規(guī)則八、,根軌跡的出射角：,在開環(huán)復數(shù)極點px處，根軌跡的出射角為

8、：,在開環(huán)復數(shù)零點zy處，根軌跡的入射角為：,若系統(tǒng)存在復數(shù)開環(huán)零極點，需要知道根軌跡從此點出發(fā)（進入）的方向角度?？筛鶕?jù)相角條件求出。,證明：,設一系統(tǒng)的開環(huán)零、極點分布如圖所示，,點為從 出發(fā)的根軌跡上一點。 該點到所有零極點的應符合相角條件：,l 而p1、p2、p4、z都分別趨近于各開環(huán)零極點相對于P3點的向量的相角。,此時，出射角 可以計算：,同理可證明入射角。,例4-2-3,設系統(tǒng)開環(huán)零極點圖如圖4-7。,其中,確定根軌跡離開共軛復數(shù)根的出射角。,根據(jù)公式：,考慮到根軌跡的對稱性,出射角p3= -5，p4= 5,例,根軌跡起始角,-1,-2,1=108.5,90,59 ,37 ,19

9、 ,56.5 ,P2,P3,P4,P1,Z3,Z2,Z1,90 ,121 ,153 ,199 ,63.5 ,117 ,P2,P3,P4,P1,Z3,Z2,Z1,根軌跡終止角,（k=-1）,根軌跡示例1,根軌跡示例2,j,0,n=1;d=conv(1 2 0,1 2 2);rlocus(n,d),n=1 2;d=conv(1 2 5,1 6 10);rlocus(n,d),例4-2-4,作 的根軌跡。,開環(huán)極點3個：,分析：n=3，m=0, 沒有開環(huán)零點。,(在s平面上的極點處標以“”),根據(jù)規(guī)則一、二 、三 ：,根據(jù)規(guī)則四，實軸上0-為根軌跡。,分別起始于3個開環(huán)極點，均終止于無窮遠處。,根軌

10、跡有三個分支：,圖4-8,根據(jù)規(guī)則五，求漸近線:n-m=3條,例4-2-4,漸近線與實軸夾角：,漸近線與實軸的交點：,-2.767,60,沒有分離點。,例4-2-4,根據(jù)規(guī)則七：求出根軌跡與虛軸的交點。,閉環(huán)特征方程：,Kr=256，必對應于一對純虛根,以 的系數(shù)構(gòu)成輔助方程:,例4-2-4,根據(jù)規(guī)則八求出射角：,對P2，根軌跡的出射角為：,由對稱性知：-4-j4處的射角為45,根軌跡完成。,例4-2-5,作 的根軌跡。,該系統(tǒng) n=3 ，m=1。,根據(jù)規(guī)則一、二、三：,一個零點：,有三個開環(huán)極點：,該根軌跡有三個分支,分別起始于p = 0(兩條)和p = -12處，,有一個分支終止于z =

11、-1,另兩個分支趨于無窮遠。,根據(jù)規(guī)則四： 實軸上存在根軌跡是從-12到-1之間。,例4-2-5,根據(jù)規(guī)則五：漸近線有2條，n-m2。,-5.5,漸近線夾角：,漸近線與實軸的交點：,例4-2-5,根據(jù)規(guī)則七、 求根軌跡與虛軸的交點。,閉環(huán)特征方程是：,Kr0時，第一列元素都為正值，根軌跡與虛軸交點于Kr=0處。,例4-2-5,根據(jù)規(guī)則六、求分離點和會合點,則：,s1 =-5.18, s2= -2.31，s30。,可知一部分根軌跡為圓。 據(jù)此，可畫出根軌跡。,均在根軌跡上。,大Kr分離點， 小Kr會合點。,求出重根角為:,例4-2-5,利用幅值條件，可求出分離點和會合點處的Kr值。,s1是分離點

12、，s2是會合點。,完整的繪出根軌跡如圖4-9所示。,圖4-9,作業(yè)：4-1，4-2，4-3 看書p151，表4-1常規(guī)根軌跡。,s1 =-5.18, s2= -2.31，s30。,例4-2-6,根據(jù)規(guī)則一、二、三、有四個極點：,p1=0, p2= -2, p3,4= -1j2,分析：n=4，m=0。,該根軌跡共有四個分支，,-2,P1,P2,P3,P4,根據(jù)規(guī)則四、實軸上存在根軌跡是從-2到0之間。,終止于無窮遠。,分別起始于p1, p2, p3,4，,例4-2-6,根據(jù)規(guī)則五、n-m=4條漸近線,與實軸交點：,漸近線相角分別為：,p1=0, p2= -2, p3,4= -1j2,-1,根據(jù)規(guī)則八、計算出射角和入射角。,例4-2-6,復數(shù)極點p3= -1+j2的出射角：,復數(shù)極點p