江蘇省專轉本高等數(shù)學第三節(jié) 極限的運算法則第四節(jié) 無窮小(量)和無窮大(量)_第1頁
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1、1,第三節(jié) 極限的運算法則,定理,證略,2,說明：,1.,有兩層意思:,(1) 在lim u和lim v都存在的前提下，,lim(u+v)也存在；,(2) lim (u+v)的數(shù)值等于 lim u+ lim v.,2. lim (u+v)存在, 不能倒推出lim u和lim v 都存在.,3. 若lim u存在,而 lim v不存在,則lim (u+v)必不存在.,4. 可推廣到有限多項.,反證:,若 lim (u+v) 存在,已知 lim u 存在,由定理知 lim v 存在, 矛盾,3,推論1,推論2,例1,4,例2,解,5,解,例3,消零因子法,6,一、無窮小(量),定義,以零為極限的函

2、數(shù)(或數(shù)列)稱為無窮小(量).,例如,注:,1.無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混為一談;,3.零是唯一可以作為無窮小的數(shù).,2.稱一個函數(shù)是無窮小，必須指明自變量的變化趨勢.,第四節(jié) 無窮小(量)和無窮大(量),7,無窮小和極限的關系:,定理 變量 y 以A為極限的充分必要條件是：變量 u 可以表示為 A 與一個無窮小量的和。即 lim u = A u = A+a ， 其中a 是無窮小 。,證略.,定理表明： 極限概念可以用無窮小量概念來描述.,無窮小量的性質：,1 有限多個無窮小量之和仍是無窮小量；,定理,2 無窮小量與有界變量之積仍是無窮小量；,3 有限多個無窮小量之積仍是無窮小量。,8,例

3、1,解,9,例2,例3,10,二、無窮大(量),定義 如果變量u在其變化過程中|u|無限增大，則稱u為無窮大(量)，記作,精確定義：,1. 無窮大量是一個變量，不可與很大很大的數(shù) 混為一談；,2. 稱函數(shù)是無窮大量，必須指明其自變量的變 化趨勢。,注:,11,證,得證.,例4,12,無窮大量與無界變量的關系,(1) 無窮大量顯然是無界變量；,(2) 但無界變量不一定是無窮大量。,例如數(shù)列,再如，,但它并不是無窮大量。,13,三、無窮大量與無窮小量的關系,意義 關于無窮大的討論,都可歸結為關于無窮小的討論.,例5,14,例6,解,所以原極限為-1；,所以,15,四、無窮小量的比較,例如,比值極限不同, 反映了兩者趨向于零的“快慢”程度不同.,觀察各極限,下節(jié)證,16,定義：,17,說明:,1、稱一個變量為高階或低階無窮小，是沒有意義的，只有在同一個變化過程中的兩個無窮小比較時，才能說它們階的高低或是否同階.,2、在同一極限過程中的兩個無窮小量，并不是總能比較階的高低的.,18,例7,19,例8,證,20,例9,證,21,例10,但是，,不存在，,22,例

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