1、單因素方差分析的基本原理與步驟,單因素方差分析的目的是考查一個(gè)因素的m個(gè)水平對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果是否存在顯著性差異。 假設(shè)某單因素試驗(yàn)有k個(gè)水平，每個(gè)水平有n次重復(fù)，共有nk個(gè)觀測(cè)值。這類試驗(yàn)資料的數(shù)據(jù)模式如表6-1所示。,下一張,主 頁(yè),退 出,上一張,1,表6-1 k個(gè)處理每個(gè)處理有n個(gè)觀測(cè)值的 數(shù)據(jù)模式,下一張,主 頁(yè),退 出,上一張,2,表中 表示第i個(gè)水平的第j個(gè)觀測(cè)值 （i=1,2,k；j=1,2,n）； 表示第i個(gè)水平n個(gè)觀測(cè)值的和； 表示全部觀測(cè)值的總和； 表示第i個(gè)水平的平均數(shù)； 表示全部觀測(cè)值的總平均數(shù)； 可以分解為,下一張,主 頁(yè),退 出,上一張,3,(6-1) 表示第i個(gè)水平觀測(cè)

2、值總體的平均數(shù)。 為了看出各水平的影響大小，將 再進(jìn)行分解，令 (6-2) (6-3) 則 (6-4) 其中 表示全試驗(yàn)觀測(cè)值總體的平均數(shù)；,下一張,主 頁(yè),退 出,上一張,4,因?yàn)?偏差平方和,5,其中 所以 （6-7） （6-7）式中， 為組間偏差平方和 ，反映了各樣本平均值間的差異，記為SSt，即,下一張,主 頁(yè),退 出,上一張,6,(6-7)式中， 為 組內(nèi)偏差平方和，反映了各水平下多次實(shí)驗(yàn)結(jié)果間的差異，記為SSe，即 于是有 SST =SSt+SSe （6-8） 這個(gè)關(guān)系式中三種平方和的簡(jiǎn)便計(jì)算公式如下：,下一張,主 頁(yè),退 出,上一張,7,(6-9) 其中，C= /kn稱為矯正數(shù)。

3、 方差分析統(tǒng)計(jì)量 在計(jì)算總平方和時(shí)，資料中的各個(gè)觀測(cè)值要受 這一條件的約束，故總自由度等于資料中觀測(cè)值的總個(gè)數(shù)減1，即kn-1?？傋杂啥扔洖閐fT，即dfT=kn-1。,下一張,主 頁(yè),退 出,上一張,8,在計(jì)算組間平方和時(shí)，各水平均數(shù) 要受 這一條件的約束，故組間自由度為水平數(shù)減1，即k-1。組間自由度記為dft，即dft=k-1。 在計(jì)算組內(nèi)平方和時(shí)，要受k個(gè)條件的約束，即 （i=1,2,k）。故組內(nèi)自由度為資料中觀測(cè)值的總個(gè)數(shù)減k，即kn-k 。組內(nèi)自由度記為dfe，即dfe=kn-k=k(n-1)。,下一張,主 頁(yè),退 出,上一張,9,因?yàn)?所以 (6-10) 綜合以上各式得： (6-

4、11),下一張,主 頁(yè),退 出,上一張,10,各部分偏差平方和除以各自的自由度便得到總均方、組間均方和組內(nèi)均方， 分別記為 MST（或 ）、MSt（或 ）和MSe（或 ）。 即 （6-12） 總均方一般不等于組間均方加組內(nèi)均方。,下一張,主 頁(yè),退 出,上一張,11,構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量 F=MSt/MSe 根據(jù)顯著性水平 ，F(xiàn)Fa，則拒絕原假設(shè)，認(rèn)為該因素或交互作用對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響；若F0Fa，則認(rèn)為該因素或交互作用對(duì)試驗(yàn)結(jié)果無(wú)顯著影響。,20,（6）正交試驗(yàn)方差分析說(shuō)明,由于進(jìn)行F檢驗(yàn)時(shí)，要用誤差偏差平方和SSe及其自由度dfe，因此，為進(jìn)行方差分析，所選正交表應(yīng)留出一定空列。當(dāng)無(wú)空列時(shí)，應(yīng)進(jìn)行

5、重復(fù)試驗(yàn)，以估計(jì)試驗(yàn)誤差。 誤差自由度一般不應(yīng)小于2，dfe很小，F(xiàn)檢驗(yàn)靈敏度很低，有時(shí)即使因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)有影響，用F檢驗(yàn)也判斷不出來(lái)。 為了增大dfe，提高F檢驗(yàn)的靈敏度，在進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)之前，先將各因素和交互作用的方差與誤差方差比較，若MS因（MS交） 2MSe，可將這些因素或交互作用的偏差平方和、自由度并入誤差的偏差平方和、自由度，這樣使誤差的偏差平方和和自由度增大，提高了F檢驗(yàn)的靈敏度。,21,表10-21 Ln（mk）正交表及計(jì)算表格,22,總偏差平方和：,列偏差平方和：,試驗(yàn)總次數(shù)為n，每個(gè)因素水平數(shù)為m個(gè)，每個(gè)水平作r次重復(fù)rn/m。,當(dāng)m2時(shí)，,23,總自由度：,因素自由度：,

6、24,表10-20 L9(34)正交表,分析第1列因素時(shí)，其它列暫不考慮，將其看做條件因素。,因素A第1水平3次重復(fù)測(cè)定值,因素A第2水平3次重復(fù)測(cè)定值,因素A第3水平3次重復(fù)測(cè)定值,單因素試驗(yàn)數(shù)據(jù)資料格式,25,3.2.2 不考慮交互作用等水平正交試驗(yàn)方差分析,例：自溶酵母提取物是一種多用途食品配料。為探討啤酒酵母的最適自溶條件，安排三因素三水平正交試驗(yàn)。試驗(yàn)指標(biāo)為自溶液中蛋白質(zhì)含量（）。試驗(yàn)因素水平表見(jiàn)表10-22，試驗(yàn)方案及結(jié)果分析見(jiàn)表10-23。試對(duì)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行方差分析。,表10-22 因素水平表,26,表10-23 試驗(yàn)方案及結(jié)果分析表,27,（1）計(jì)算,計(jì)算各列各水平的K值 計(jì)算各

7、列各水平對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)之和K1j、K2j、K3j及其平方K1j2、K2j2、K3j2。,計(jì)算各列偏差平方和及自由度,同理，SSB=6.49，SSC=0.31 SSe=0.83（空列）,28,自由度：dfAdfBdfCdfe3-1=2,計(jì)算方差,（2）顯著性檢驗(yàn),根據(jù)以上計(jì)算，進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，列出方差分析表，結(jié)果見(jiàn)表10-24,表10-24 方差分析表,29,因素A高度顯著，因素B顯著，因素C不顯著。因素主次順序A-B-C。,（3）優(yōu)化工藝條件的確定,本試驗(yàn)指標(biāo)越大越好。對(duì)因素A、B分析，確定優(yōu)水平為A3、B1；因素C的水平改變對(duì)試驗(yàn)結(jié)果幾乎無(wú)影響，從經(jīng)濟(jì)角度考慮，選C1。優(yōu)水平組合為A3B1C1。即

8、溫度為58，pH值為6.5，加酶量為2.0%。,30,3.2.3 考慮交互作用正交試驗(yàn)方差分析,例： 用石墨爐原子吸收分光光度法測(cè)定食品中的鉛，為了提高測(cè)定靈敏度，希望吸光度越大越好，今欲研究影響吸光度的因素，確定最佳測(cè)定條件。,（1）計(jì)算,計(jì)算各列各水平對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)之和K1j、K2j及（K1j-K2j）；計(jì)算各列偏差平方和及自由度。,31,表10-25 試驗(yàn)方案及結(jié)果分析表,32,表10-26 方差分析表,（2）顯著性檢驗(yàn),因素B高度顯著，因素A、C及交互作用AB、AC、BC均不顯著。各因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果影響的主次順序?yàn)椋築、A、AC、C、AB、BC。,33,（3）優(yōu)化條件確定,交互作用均不顯著，確定因素的優(yōu)水平時(shí)可以不考慮交互作用的影響。對(duì)顯著因素B，通過(guò)比較K1B和K2B的大小確定優(yōu)水平為B2；同理A取A2，C取C1或C2。優(yōu)組合為A2B2C1或A2B2C2。,方差分析可以分析出試驗(yàn)誤差的大小，