1、一、流體微觀運(yùn)動(dòng)分析、剛體運(yùn)動(dòng)：旋轉(zhuǎn)、平移流體運(yùn)動(dòng)：旋轉(zhuǎn)、平移變形(線變形和角變形)，剛體的一般運(yùn)動(dòng)可分為移動(dòng)和旋轉(zhuǎn)兩部分。 流體和剛體的主要區(qū)別是具有流動(dòng)性，容易變形。 因此，任何流體微小團(tuán)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不僅能和剛體一樣移動(dòng)和旋轉(zhuǎn)，還會(huì)發(fā)生變形運(yùn)動(dòng)。 因此，一般流體微小團(tuán)的運(yùn)動(dòng)可以分解為直線移動(dòng)、旋轉(zhuǎn)、變形運(yùn)動(dòng)三個(gè)部分。 在平移和微小團(tuán)的移動(dòng)速度方面，o點(diǎn)坐標(biāo)(x0，y0，z0 )和時(shí)間t的函數(shù)，也就是幾何形狀不變，只是空間位置不變。 2、線變形，dt時(shí)間OO、MM、OM兩點(diǎn)的距離明顯比原來(lái)的距離長(zhǎng)。 其增量稱為線性變形。 (1)每單位時(shí)間的線性變形被稱為線性變形速度。 (2)每單位長(zhǎng)度的線性

2、變形，即每單位長(zhǎng)度的線性變形速度稱為線變形率，(3)微組的膨脹率、3、旋轉(zhuǎn)和(純)角變形、純角變形：各點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角度相同，方向相反。 純旋轉(zhuǎn)：各點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角度相同，方向相同。 流場(chǎng)中選擇邊長(zhǎng)與坐標(biāo)軸平行的長(zhǎng)方體的流體微組，邊長(zhǎng)為dx、dy、dz、xoy坐標(biāo)面上的投影為ABCD。 接著，如果考慮矩形ABCD的3個(gè)頂點(diǎn)b、c、d在dt時(shí)間內(nèi)相對(duì)于a點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，則如果只考慮c和d、b和a在y軸方向上存在相同的速度差，c和b、d和a在x軸方向上存在相同的速度差，則如果dt時(shí)間經(jīng)過(guò)，微組從ABCD到ABCD CB邊和DA邊沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)微小角度d，另一方面，當(dāng)CD邊和BA邊沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)微小角度d時(shí)，b、a

3、的速度的y軸方向的分量不同，因此圖中的a和b之間的垂直距離，x軸方向的分量不同，因此圖中的a和b之間的水平距離同樣僅發(fā)生角變形運(yùn)動(dòng)這樣，角變形運(yùn)動(dòng)和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)由速度成分的垂直方向的變化(即和)決定。 矩形ABCD首先逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，角變形，接著順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，最后角變形，ABCD的旋轉(zhuǎn)角度看：ABCD的變形角度，ABCD經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)d角度和角變形的角度移動(dòng)到ABCD，旋轉(zhuǎn)角速度，流體微小團(tuán)在垂直于z軸的xoy平面上的角即，將每單位時(shí)間的角變形的一半定義為角變形速度，流體微小團(tuán)的速度分解式將微小團(tuán)質(zhì)量中心A(x，y，z )點(diǎn)、速度成分定義為(ux，uy，uz )，將離a點(diǎn)極近的c點(diǎn)(dxd，y dy，z dz

4、 )點(diǎn)的同一瞬間的速度的三坐標(biāo)方向的成分定義為(ux，uz )。 右邊第一項(xiàng)是平移速度；右邊第二項(xiàng)是線變形速度的增加；右邊第三、四項(xiàng)是角變形引起的速度增加；右邊第五、六項(xiàng)是旋轉(zhuǎn)引起的速度增加。 由此可知，流體運(yùn)動(dòng)除了直線移動(dòng)、旋轉(zhuǎn)以外，線變形和角變形也很多。 例如設(shè)置平面流場(chǎng)，求出ux=x2y y2、uy=x2-y2x、該流場(chǎng)在點(diǎn)(1、2 )處的線變形率、角變形率和旋轉(zhuǎn)角速度. 解：線變形率：uz=0，平面流場(chǎng)，角變形率，旋轉(zhuǎn)角速度，一，無(wú)旋轉(zhuǎn)流和有旋轉(zhuǎn)流1，流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度不等于零的流被稱為有旋轉(zhuǎn)流(渦流)。 2、流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度等于零的流動(dòng)叫做無(wú)旋轉(zhuǎn)流動(dòng)(有勢(shì)流動(dòng)，簡(jiǎn)稱勢(shì)流)。 無(wú)

5、旋轉(zhuǎn)滿足以下條件：注意：將流體分為有旋轉(zhuǎn)或無(wú)旋轉(zhuǎn)，只有流體的質(zhì)點(diǎn)本身有無(wú)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，在此與流體本身的運(yùn)動(dòng)速度或流體的質(zhì)點(diǎn)本身的運(yùn)動(dòng)軌跡無(wú)關(guān)。 像層流管流一樣，流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡不旋轉(zhuǎn)，質(zhì)點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)的，所以是旋轉(zhuǎn)的。 當(dāng)沒(méi)有旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，函數(shù)與流場(chǎng)的速度有關(guān)，函數(shù)被稱為速度勢(shì)函數(shù)。因此，將速度勢(shì)函數(shù)存在的流稱為勢(shì)流，簡(jiǎn)稱為勢(shì)流。 無(wú)論是可壓縮的流體還是非壓縮的流體，無(wú)論是穩(wěn)定的流還是非穩(wěn)定的流，只要滿足沒(méi)有回轉(zhuǎn)的流的條件，就必然存在速度勢(shì)函數(shù)。 數(shù)學(xué)分析表明，這是成為某標(biāo)量函數(shù)全微分的充分條件。 對(duì)于速度勢(shì)函數(shù)、流函數(shù)、未壓縮流體的平面流，速度場(chǎng)必須滿足未壓縮流體的連續(xù)性方程式，根據(jù)數(shù)學(xué)分析，上式將u

6、xdy-uydx設(shè)為某個(gè)函數(shù)的全微分的充分條件，即滿足上式的條件的函數(shù)(x，y )設(shè)為對(duì)于流體的平面流動(dòng)，其流線的微分方程式將其改寫(xiě)為上式、常數(shù)、流線微分方程式，即平面流動(dòng)的流線方程式。 因此，常數(shù)的曲線是流線，如果給定常數(shù)值的集合，就可以得到流線簇。 或者，如果將某一定點(diǎn)的坐標(biāo)()代入流函數(shù)，就可以獲得通過(guò)該點(diǎn)的流線。 說(shuō)明：因?yàn)橥涣骶€上各點(diǎn)的流函數(shù)是一定的，所以流函數(shù)線是流線。 已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，在未壓縮的平面的流中，只需要流函數(shù)，而從流函數(shù)計(jì)算速度分布。 相反，只要流動(dòng)滿足非壓縮流體的連續(xù)性方程式，無(wú)論流動(dòng)場(chǎng)是否有旋轉(zhuǎn)，流動(dòng)都是否定的，流體是理想流體還是粘性流體，必然存在流動(dòng)函數(shù)。 在此說(shuō)明，

7、等流函數(shù)線與流線同等，只在平面流動(dòng)時(shí)成立。 三維流動(dòng)中不存在流函數(shù)，也不存在等流函數(shù)線，但流線還存在。 二、流函數(shù)的性質(zhì)，(1)對(duì)于非壓縮流體的平面流動(dòng)，流函數(shù)總是滿足連續(xù)性方程。 當(dāng)將流函數(shù)代入連續(xù)性方程式時(shí)，流函數(shù)總是滿足連續(xù)性方程式。 (2)相對(duì)于非壓縮流體的平面勢(shì)流，流函數(shù)滿足拉普拉斯方程，流函數(shù)也是調(diào)和函數(shù)。 當(dāng)平面上沒(méi)有回旋流時(shí)，在上式中代入流函數(shù)式，所以非壓縮流體平面上沒(méi)有回旋流的流函數(shù)也滿足拉普拉斯方程式，也是調(diào)和函數(shù)。 因此，平面非壓縮流體在有勢(shì)流場(chǎng)的求解問(wèn)題可以轉(zhuǎn)換為求解滿足邊界條件的拉普拉斯方程。 在平面流動(dòng)中，通過(guò)兩條流線之間的任意曲線單位的厚度的體積流量等于兩條流線的

8、流函數(shù)之差。 這就是流函數(shù)的物理意義。 如圖所示，在兩流線間的任一曲線AB中，每單位厚度的體積流量是用于說(shuō)明流函數(shù)的物理意義的圖，從上式可知，平面流中通過(guò)兩個(gè)流線間的流量等于這兩個(gè)流線上的流函數(shù)之差。 三、流函數(shù)與速度勢(shì)的關(guān)系為： 1、滿足柯西-黎曼條件，若無(wú)不可壓縮流體的平面流動(dòng)，則速度勢(shì)與流函數(shù)必然同時(shí)存在，比較式在速度勢(shì)函數(shù)與流函數(shù)之間能夠得到下列關(guān)系是非常重要的關(guān)系式因此，和是共軛調(diào)和函數(shù)可能利用稱為復(fù)函數(shù)的強(qiáng)工具來(lái)解決該問(wèn)題。 如果勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)都知道其中一方，則另一方可以利用柯西-黎曼條件式的關(guān)系來(lái)求出，最多只不同任意常數(shù)。 2、等流函數(shù)線和等速勢(shì)線相互垂直，即流線和等電位線相互垂直。 流線和等勢(shì)線相互正交，3、流網(wǎng)證明等勢(shì)線的簇常數(shù)和流線的簇常數(shù)是相互正交的條件，在同一流場(chǎng)中描繪對(duì)應(yīng)的一系列流線和等勢(shì)線的話，它們一定構(gòu)成直交網(wǎng)，稱為流網(wǎng)。 流網(wǎng)特性：等電位線和流線正交。 【例】不受壓力的流體平面流動(dòng)的速度分布。如果該平面流動(dòng)中是否存在流函數(shù)和速度勢(shì)函數(shù)，則求出其公式。如果流場(chǎng)中A(1m，1m